2021-2022學(xué)年湖南省衡陽市耒陽三都中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

2021-2022學(xué)年湖南省衡陽市耒陽三都中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若函數(shù)在處取最小值，則a等于()A.1＋

B.1＋

C.3

D.4參考答案：C因為，所以，所以＝4，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，故選C．

2.為了了解某學(xué)校2000名高中男生的身體發(fā)育情況，抽查了該校100名高中男生的體重情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖，據(jù)此估計該校高中男生體重在70～78kg的人數(shù)為(

)A．240

B．160

C．80

D．60參考答案：A略3.方程的圖象如圖所示，那么函數(shù)的圖象是（

）參考答案：C略4.函數(shù)的定義域為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.若，則下列不等式：①；②；③；④中正確的不等式是（***）

A.①②

B.②③

C．③④

D．①④參考答案：D略6.不等式x2>3x的解集是

（

）A.{x|x>3}

B.{x|x<0或x>3}

C.{x|0<x<3}

D.R參考答案：B略7.曲線在點處的切線方程為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A8.設(shè)命題，；命題：若，則方程表示焦點在軸上的橢圓．那么，下列命題為真命題的是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B9.設(shè)離心率為的雙曲線的右焦點為，直線過焦點，且斜率為，則直線與雙曲線的左、右兩支都相交的充要條件是A．B．C．D參考答案：C略10.曲線上的點到直線的最短距離是（

）A．

B.

C.

D.0參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為

（用數(shù)字作答）．參考答案：【考點】幾何概型．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】設(shè)小張到校的時間為x，小王到校的時間為y．（x，y）可以看成平面中的點試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一個矩形區(qū)域，則小張比小王至少早5分鐘到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合題意的圖象，由圖根據(jù)幾何概率模型的規(guī)則求解即可．【解答】解：設(shè)小張到校的時間為x，小王到校的時間為y．（x，y）可以看成平面中的點試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一個矩形區(qū)域，對應(yīng)的面積S=20×20=400，則小張比小王至少早5分鐘到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合題意的圖象，則符合題意的區(qū)域為△ABC，聯(lián)立得C（45，50），聯(lián)立得B（30，35），則S△ABC=×15×15，由幾何概率模型可知小張比小王至少早5分鐘到校的概率為=，故答案為：．【點評】本題考查幾何概率模型與模擬方法估計概率，求解的關(guān)鍵是掌握兩種求概率的方法的定義及規(guī)則，求出對應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵．12.如圖陰影部分是圓的內(nèi)接正方形，隨機撒粒黃豆，則預(yù)測黃豆落在正方形內(nèi)的約________粒．參考答案：20013.已知則cosα＝________.參考答案：14.已知對任意正實數(shù)，，，都有，類比可得對任意正實數(shù)，，，，，都有

▲

．參考答案：由任意正實數(shù)，都有，推廣到則.

15.已知0<x<6，則(6－x)·x的最大值是________．參考答案：9略16.已知橢圓與雙曲線（）有相同的焦點F1、F2、P是兩曲線的一個交點，則等于

.參考答案：17.以橢圓=1的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程為

．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】通過橢圓的焦點、頂點坐標可知雙曲線的a=、c=2，進而計算可得結(jié)論．【解答】解：∵橢圓方程為：=1，∴其焦點坐標為：（﹣，0）、（，0），頂點坐標為：（﹣2，0）、（2，0），∴雙曲線的焦點坐標為：（﹣2，0）、（2，0），頂點坐標為：（﹣，0）、（，0），∴雙曲線方程：中a=、c=2，∴b2=c2﹣a2=8﹣3=5，∴雙曲線方程：，故答案為：．【點評】本題考查雙曲線方程，注意解題方法的積累，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）一條長椅上有7個座位，4個人坐，還有3個空位子，求：(1)至少有兩人坐在一起，有多少種不同的坐法？(2)三個空位不都相鄰，有多少種不同的坐法？參考答案：(1)利用間接法，沒有限制的坐法A＝840種，其中4個人都不相鄰的有A＝24種，故至少有兩個坐在一起，有840－24＝816(種)不同的坐法．(2)利用間接法，沒有限制的坐法A＝840種，其中三個空位都相鄰的有A＝120種，故三個空位不都相鄰，有840－120＝720(種)不同的坐法．19.設(shè)函數(shù)在及時取得極值．(1)求a,b的值；（2）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍．[來參考答案：因為對于任意的，有恒成立，20.(本小題滿分13分)已知x，y滿足條件，求z＝x2＋y2的最大值與最小值．參考答案：解得點A的坐標(9,8)．所以因為原點O到直線BC的距離為所以21.（16分）抽取某種型號的車床生產(chǎn)的10個零件，編號為A1，A2，…，A10，測量其直徑（單位：cm），得到下面數(shù)據(jù)：編號A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直徑1.511.491.491.511.491.481.471.531.521.47其中直徑在區(qū)間內(nèi)的零件為一等品．（1）從上述10個零件中，隨機抽取一個，求這個零件為一等品的概率；（2）從一等品零件中，隨機抽取2個．①用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果；②求這2個零件直徑相等的概率；（3）若甲、乙分別從一等品中各取一個，求甲取到零件的直徑大于乙取到零件的直徑的概率．參考答案：【考點】等可能事件的概率；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】分類討論；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】（1）由條件利用古典概率及其計算公式，求得從10個零件中，隨機抽取一個為一等品的概率．（2）①設(shè)一等品零件的編號為A1、A2、A3、A4、A5，從這5個一等品零件中隨機抽取2個，所有可能的結(jié)果用列舉法求得共有10個．②設(shè)“從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等”（記為事件B）的所有可能結(jié)果用列舉法求得共有4個，可得從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等概率．（3）由（2）知甲、乙分別從一等品中各取一個，共有20種可能（有序），而甲取到零件的直徑大于乙取到零件的直徑的有6種可能．由此求得甲取到零件的直徑大于乙取到零件的直徑的概率．【解答】解：（1）由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有5個，設(shè)“從10個零件中，隨機抽取一個為一等品”為事件A，則p（A）==．所以，從10個零件中，隨機抽取一個為一等品的概率為．（2）①解：一等品零件的編號為A1、A2、A3、A4、A5，從這5個一等品零件中隨機抽取2個，所有可能的結(jié)果有：A1、A2；A1、A3；A1、A4；A1、A5；A2、A3；A2、A4；A2、A5；A3、A4；A3、A5；A4、A5，共計10個．②解“從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等”（記為事件B）的所有可能結(jié)果有：A1、A4；A2、A3；A2、A5；A3、A5，共有4種．

故從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等概率為=．

（3）由（2）知甲、乙分別從一等品中各取一個，共有20種可能（有序），甲取到零件的直徑大于乙取到零件的直徑的有6種可能．記“甲取到零件的直徑大于乙取到零件的直徑”為事件C，則甲取到零件的直徑大于乙取到零件的直徑的概率為=．【點評】本題主要考查古典概率及其計算公式，等可能事件的概率，屬于中檔題．22.請閱讀問題1的解答過程，然后借鑒問題1的解題思路完成問題2的解答：問題1：已知數(shù)集A={a1，a2，…an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性質(zhì)P：對任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj與兩數(shù)中至少有一個屬于A．若數(shù)集{a1，2，3，a4}具有性質(zhì)P，求a1，a4的值．解：對于集合中最大的數(shù)a4，因為a4×a4＞a4，3×a4＞a4，2×a4＞a4．所以，，都屬于該集合．又因為1≤a1＜2＜3＜a4，所以．所以，，故a1=1，a4=6．問題2：已知數(shù)集A={a1，a2，…an}（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性質(zhì)P：對任意的i，j（1≤i≤j≤n），ai+aj與aj﹣ai兩數(shù)中至少有一個屬于A．若數(shù)集{a1，1，3，a4}具有性質(zhì)P，求a1，a4的值．參考答案：【考點】元素與集合關(guān)系的判斷．【分析】可模仿問題1的解答過程，判斷最大的數(shù)a4，由a4+a4＞a4，3+a4＞a4，1+a4＞a4便可根據(jù)條件得出a4﹣a4，a4﹣3，a4﹣1