2022山東省濟(jì)南市平陰縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022山東省濟(jì)南市平陰縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)，則“”是“”的（

）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A【分析】先解不等式，再根據(jù)兩個(gè)解集包含關(guān)系得結(jié)果.【詳解】,又，所以“”是“”的充分不必要條件，選A.【點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．2.下列關(guān)于函數(shù)的判斷正確的是

（

）

①

②是極小值，是極大值

③有最小值，沒(méi)有最大值

④有最大值，沒(méi)有最小值

A．①③

B．①②③

C．②④

D．①②④參考答案：A略3.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是()參考答案：B略4.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0對(duì)，

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】奇函數(shù)的性質(zhì)；分段函數(shù)的應(yīng)用.

B4C

解析：因?yàn)?，所以，故選C.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，以及分段函數(shù)的函數(shù)值的意義求解.

5.若隨機(jī)變量X~B(100,p)，X的數(shù)學(xué)期望EX=24，則p的值是

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C6.已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，對(duì)任意正實(shí)數(shù)，下面不等式恒成立的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D7.A．2i

B．－2i

C．2

D．-2參考答案：A故選A.

8.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為A．

B．

C．

D．參考答案：A略9.已知正項(xiàng)等比數(shù)列=

（

）

A．

B．2

C．4

D．參考答案：A10.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是A.(－∞,2]B．[0,2]C．[2,4]D．[2,+∞)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)P的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P的直線l與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則的最小值為

參考答案：4略12.函數(shù)在x=1處連續(xù)，則實(shí)數(shù)m=(A)；

(B)；

(C)；

(D)參考答案：D13.若滿足約束條件：；則的取值范圍為

。參考答案：[-3,0]14.（理科）對(duì)任意x∈R，|2－x|＋|3＋x|≥a2－4a恒成立，則a滿足的范圍是

參考答案：[－1,5]15.函數(shù)為奇函數(shù)，則增區(qū)間為

參考答案：略16.已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則該不等式組表示的區(qū)域面積為_(kāi)_____．參考答案：3【分析】畫(huà)出可行域，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合可得解【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：則，，，則三角形的面積，故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式組的可行域，屬于基礎(chǔ)題.17.若在曲線f（x，y）=0上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的“自公切線”．下列方程：①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|；③y=3sinx+4cosx；④對(duì)應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有

．參考答案：②③【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】新定義．【分析】①x2﹣y2=1是一個(gè)等軸雙曲線，沒(méi)有自公切線；②在x=和x=﹣處的切線都是y=﹣，故②有自公切線．③此函數(shù)是周期函數(shù)，過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線都重合或過(guò)圖象的最低點(diǎn)的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．④結(jié)合圖象可得，此曲線沒(méi)有自公切線．【解答】解：①x2﹣y2=1是一個(gè)等軸雙曲線，沒(méi)有自公切線；②y=x2﹣|x|=，在x=和x=﹣處的切線都是y=﹣，故②有自公切線．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函數(shù)是周期函數(shù)，過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線都重合或過(guò)圖象的最低點(diǎn)的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．④由于，即x2+2|x|+y2﹣3=0，結(jié)合圖象可得，此曲線沒(méi)有自公切線．故答案為②③．【點(diǎn)評(píng)】正確理解新定義“自公切線”，正確畫(huà)出函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3+x2+ax+b（a，b為常數(shù)），其圖象是曲線C．（1）當(dāng)a=﹣2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若存在唯一的實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f′（x0）=0同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）已知點(diǎn)A為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A處作曲線C的切線l1與曲線C交于另一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處作曲線C的切線l2，設(shè)切線l1，l2的斜率分別為k1，k2．問(wèn)：是否存在常數(shù)λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可；（2）由于存在唯一的實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f′（x0）=0同時(shí)成立，則存在唯一的實(shí)數(shù)根x0，即b=2x3+x2+x存在唯一的實(shí)數(shù)根x0，就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題；（3）假設(shè)存在常數(shù)λ，依據(jù)曲線C在點(diǎn)A處的切線l1與曲線C交于另一點(diǎn)B，曲線C在點(diǎn)B處的切線l2，得到關(guān)于λ的方程，有解則存在，無(wú)解則不存在．【解答】解：（1）當(dāng)a=﹣2時(shí)，函數(shù)f（x）=x3+x2﹣2x+b則f′（x）=3x2+5x﹣2=（3x﹣1）（x+2）令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣2，）；（2）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為由于存在唯一的實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f′（x0）=0同時(shí)成立，則即x3+x2+（﹣3x2﹣5x﹣1）x+b=0存在唯一的實(shí)數(shù)根x0，故b=2x3+x2+x存在唯一的實(shí)數(shù)根x0，令y=2x3+x2+x，則y′=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=﹣或x=﹣，則函數(shù)y=2x3+x2+x在（﹣∞，），（﹣，+∞）上是增函數(shù)，在（，﹣）上是減函數(shù)，由于x=﹣時(shí)，y=﹣；x=﹣時(shí)，y=﹣；故實(shí)數(shù)b的取值范圍為：（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）；（3）設(shè)點(diǎn)A（x0，f（x0）），則在點(diǎn)A處的切線l1的切線方程為y﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），與曲線C聯(lián)立得到f（x）﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），即（x3+x2+ax+b）﹣（x03+x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（x﹣x0），整理得到（x﹣x0）2[x+（2x0+）]=0，故點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為xB=﹣（2x0+）由題意知，切線l1的斜率為k1=f′（x0）=3x02+5x0+a，l2的斜率為k2=f′（﹣（2x0+））=12x02+20x0++a，若存在常數(shù)λ，使得k2=λk1，則12x02+20x0++a=λ（3x02+5x0+a），即存在常數(shù)λ，使得（4﹣λ）（3x02+5x0）=（λ﹣1）a﹣，故，解得λ=4，a=，故a=時(shí)，存在常數(shù)λ=4，使得k2=4k1；a≠時(shí)，不存在常數(shù)，使得k2=4k1．【點(diǎn)評(píng)】本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查曲線的切線，同時(shí)還考查了方程根的問(wèn)題，一般要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)解決．19.已知直線l過(guò)定點(diǎn)P（1，1），且傾斜角為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程；（2）若直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求|AB|及|PA|?|PB|的值．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為ρ2=2ρcosθ+3，將ρ2=x2+y2，ρcosθ=x代入，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；由直線l過(guò)定點(diǎn)P（1，1），且傾斜角為，能求出直線l的參數(shù)方程．（2）將直線l的參數(shù)方程代入x2+y2﹣2x﹣3=0，得，設(shè)方程兩根分別為t1，t2，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式能求出|AB|及|PA|?|PB|的值．【解答】解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為，∴ρ2=2ρcosθ+3，將ρ2=x2+y2，ρcosθ=x代入，得x2+y2=2x+3，即x2+y2﹣2x﹣3=0．∵直線l過(guò)定點(diǎn)P（1，1），且傾斜角為，則直線l的參數(shù)方程為，即（t為參數(shù)）．（2）將直線l的參數(shù)方程代入x2+y2﹣2x﹣3=0，得，設(shè)方程兩根分別為t1，t2，則，∴AB的長(zhǎng)|AB|=|t1﹣t2|===，|PA|?|PB|=|t1t2|=3．20.（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(Ⅰ)當(dāng)a＝－2時(shí)，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(Ⅱ)設(shè)a＞－1，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)≤g(x)，求a的取值范圍．參考答案：y<0，所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．

21.(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)。（Ⅰ）若不等式的解集為，求的值；（2）若存在，使，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。參考答案：（Ⅰ）由題意可得可化為，即，解得。

··········

5分（Ⅱ）令，

22.一個(gè)袋中裝有大小相同的球10個(gè)，其中紅球8個(gè)，黑球2個(gè)，現(xiàn)從袋中有放回地取球，每次隨機(jī)取1個(gè)．求：（Ⅰ）連續(xù)取兩次都是紅球的概率；（Ⅱ）如果取出黑球，則取球終止，否則繼續(xù)取球，直到取出黑球，但取球次數(shù)最多不超過(guò)4次，求取球次數(shù)ξ的概率