2021-2022年高中數(shù)學(xué)第三章直線(xiàn)與方程3.4兩條平行直線(xiàn)間的距離4教案新人教版必修2202202262102

PAGEPAGE12點(diǎn)到直線(xiàn)的距離兩條平行直線(xiàn)間的距離●三維目標(biāo)1．知識(shí)與技能(1)理解點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的推導(dǎo)過(guò)程．(2)掌握點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式．(3)掌握點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用．2．過(guò)程與方法(1)通過(guò)探索點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的推導(dǎo)過(guò)程，滲透算法的思想．(2)通過(guò)自學(xué)教材上利用直角三角形的面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力．(3)通過(guò)靈活運(yùn)用公式的過(guò)程，提高學(xué)生類(lèi)比化歸、數(shù)形結(jié)合的能力．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀(1)引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)看問(wèn)題，體驗(yàn)在探索問(wèn)題的過(guò)程中獲得的成功感．(2)培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、分析、歸納等數(shù)學(xué)能力．(3)在推導(dǎo)過(guò)程中，滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化(或化歸)等數(shù)學(xué)思想以及特殊與一般的方法．●重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的推導(dǎo)及應(yīng)用、兩平行直線(xiàn)之間的距離求法．難點(diǎn)：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的推導(dǎo)思路．重難點(diǎn)突破：利用由特殊到一般及類(lèi)比歸納的思想，由淺入深的引導(dǎo)學(xué)生探究點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的推導(dǎo)思路，同時(shí)，教師借助于多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解距離公式的導(dǎo)出過(guò)程，突破教學(xué)難點(diǎn)，最后通過(guò)課堂典例訓(xùn)練，師生互動(dòng)，突出教學(xué)重點(diǎn)．●教學(xué)建議根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況、認(rèn)知特點(diǎn)，本課采用類(lèi)比發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式．從學(xué)生熟知的實(shí)際生活背景出發(fā)，通過(guò)由特殊到一般、從具體到抽象的課堂教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生探索點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的求法．讓學(xué)生在合作交流、共同探討的氛圍中，認(rèn)識(shí)公式的推導(dǎo)過(guò)程及知識(shí)的運(yùn)用，進(jìn)一步提高學(xué)生幾何問(wèn)題代數(shù)化的數(shù)學(xué)能力．對(duì)于兩平行直線(xiàn)之間的距離，由于兩平行線(xiàn)間的距離處處相等，故教學(xué)時(shí)，可采用類(lèi)比化歸的思想，將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離來(lái)解決問(wèn)題．●教學(xué)流程創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引出問(wèn)題：如何探求一點(diǎn)到一直線(xiàn)的距離？?eq\x(引導(dǎo)學(xué)生嘗試用已有知識(shí)探求“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”的方法.)?eq\x(通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回答所提問(wèn)題理解點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的求解原理，明確其公式.)?eq\x(通過(guò)例1及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握點(diǎn)到直線(xiàn)距離的求法.)?eq\x(通過(guò)例2及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握兩平行直線(xiàn)距離的求法.)?eq\x(歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識(shí)本節(jié)課所學(xué)知識(shí).)?eq\x(完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固所學(xué)知識(shí)并進(jìn)行反饋矯正.)課標(biāo)解讀1.掌握點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式．(重點(diǎn))2.能用公式求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．(難點(diǎn))3.會(huì)求兩條平行直線(xiàn)間的距離．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))點(diǎn)到直線(xiàn)的距離【問(wèn)題導(dǎo)思】1．如圖，點(diǎn)P(x0，y0)到直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)的距離d同線(xiàn)段PS，PR，RS間存在什么關(guān)系？【提示】d＝eq\f(|PR||PS|,|RS|).2．受問(wèn)題1的啟發(fā)，如何描述d同A，B，C及x0，y0間的具體關(guān)系？【提示】d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).點(diǎn)到直線(xiàn)的距離(1)概念：過(guò)一點(diǎn)向直線(xiàn)作垂線(xiàn)，則該點(diǎn)與垂足之間的距離，就是該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．(2)公式：點(diǎn)P(x0，y0)到直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).兩條平行直線(xiàn)間的距離【問(wèn)題導(dǎo)思】如圖l1∥l2，兩平行線(xiàn)間的距離等于其中任意一條直線(xiàn)上的任意點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離嗎？【提示】等于．兩條平行直線(xiàn)間的距離(1)概念：夾在兩條平行直線(xiàn)間的公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度就是兩條平行直線(xiàn)間的距離．(2)求法：兩條平行直線(xiàn)間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．(3)公式：兩條平行直線(xiàn)l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求點(diǎn)P0(－1,2)到下列直線(xiàn)的距離：(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.【思路探究】對(duì)于(1)可用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解，對(duì)于(2)(3)除了公式法求距離外還可以用數(shù)形結(jié)合法求解．【自主解答】(1)由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式知d＝eq\f(|2×－1＋2－10|,\r(22＋12))＝eq\f(10,\r(5))＝2eq\r(5).(2)法一直線(xiàn)方程化為一般式為x－2＝0.由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式知d＝eq\f(|－1＋0×2－2|,\r(12＋02))＝3.法二∵直線(xiàn)x＝2與y軸平行，∴由圖(1)知d＝|－1－2|＝3.(3)法一由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得d＝eq\f(|－1×0＋2－1|,\r(02＋12))＝1.法二∵直線(xiàn)y－1＝0與x軸平行，∴由圖(2)知d＝|2－1|＝1.1．求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，首先要把直線(xiàn)化成一般式方程，然后再套用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式．2．當(dāng)點(diǎn)與直線(xiàn)有特殊位置關(guān)系時(shí)，也可以用公式求解，但是這樣會(huì)把問(wèn)題變復(fù)雜了，要注意數(shù)形結(jié)合．3．幾種特殊情況的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離：(1)點(diǎn)P0(x0，y0)到直線(xiàn)y＝a的距離d＝|y0－a|；(2)點(diǎn)P0(x0，y0)到直線(xiàn)x＝b的距離d＝|x0－b|.若點(diǎn)(a,2)到直線(xiàn)l：y＝x－3的距離是1，則a＝________.【解析】直線(xiàn)l：y＝x－3可變形為x－y－3＝0.由點(diǎn)(a,2)到直線(xiàn)l的距離為1，得eq\f(|a－2－3|,\r(1＋－12))＝1，解得a＝5±eq\r(2).【答案】5±eq\r(2)求兩條平行直線(xiàn)間的距離求兩條平行直線(xiàn)l1：6x＋8y＝20和l2：3x＋4y－15＝0的距離．【思路探究】解答本題可先在直線(xiàn)l1上任取一點(diǎn)A(2,1)，然后再求點(diǎn)A到直線(xiàn)l2的距離即為兩條平行直線(xiàn)間的距離；或者直接應(yīng)用兩條平行線(xiàn)間的距離公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【自主解答】法一若在直線(xiàn)l1上任取一點(diǎn)A(2,1)，則點(diǎn)A到直線(xiàn)l2的距離即為所求的平行線(xiàn)間的距離，則d＝eq\f(|3×2＋4×1－15|,\r(32＋42))＝1.法二直接應(yīng)用兩條平行直線(xiàn)間的距離公式．l1：3x＋4y－10＝0，l2：3x＋4y－15＝0，故d＝eq\f(|－10－－15|,\r(32＋42))＝1.針對(duì)這種類(lèi)型的題目一般有兩種思路：(1)利用“化歸”思想將兩平行直線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化為求其中一條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離．(2)直接用公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，但要注意兩直線(xiàn)方程中x，y的系數(shù)必須分別相同．求與直線(xiàn)l：5x－12y＋6＝0平行且與直線(xiàn)l距離為3的直線(xiàn)方程．【解】∵與l平行的直線(xiàn)方程為5x－12y＋b＝0，根據(jù)兩平行直線(xiàn)間的距離公式得eq\f(|b－6|,\r(52＋－122))＝3，解得b＝45或b＝－33.所以所求直線(xiàn)方程為：5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.巧用數(shù)形結(jié)合思想求兩平行線(xiàn)間距離的最值問(wèn)題(12分)兩條互相平行的直線(xiàn)分別過(guò)點(diǎn)A(6,2)和B(－3，－1)，如果兩條平行直線(xiàn)間的距離為d，求：(1)d的變化范圍；(2)當(dāng)d取最大值時(shí)，兩條直線(xiàn)的方程．【思路點(diǎn)撥】解答本題可以利用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，讓兩直線(xiàn)分別繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察它們之間距離的變化情況，從而得d的范圍．【規(guī)范解答】(1)如圖，當(dāng)兩條平行直線(xiàn)與AB垂直時(shí)，兩平行直線(xiàn)間的距離最大，為d＝|AB|＝eq\r(6＋32＋2＋12)＝3eq\r(10)，當(dāng)兩條平行線(xiàn)各自繞點(diǎn)B，A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，距離逐漸變小，越來(lái)越接近于0，所以0<d≤3eq\r(10)，即所求的d的變化范圍是(0,3eq\r(10)].6分(2)當(dāng)d取最大值3eq\r(10)時(shí)，兩條平行線(xiàn)都垂直于AB，所以k＝－eq\f(1,kAB)＝－eq\f(1,\f(2－－1,6－－3))＝－3，8分故所求的直線(xiàn)方程分別為y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.12分?jǐn)?shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化的思想和方法是數(shù)學(xué)中常用的思想方法．當(dāng)圖形中的元素運(yùn)動(dòng)變化時(shí)我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進(jìn)而可求出這些量的變化范圍．類(lèi)似地，當(dāng)一條直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)B到這條直線(xiàn)l的距離d也是當(dāng)l⊥AB時(shí)最大，l過(guò)B點(diǎn)時(shí)，最小為零．1．應(yīng)用點(diǎn)P(x0，y0)到直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0(A、B不同時(shí)為零)距離公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))的前提是直線(xiàn)方程為一般式．特別地，當(dāng)直線(xiàn)方程A＝0或B＝0時(shí)，上述公式也適用，且可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求解．2．兩條平行線(xiàn)間的距離處理方法有兩種：一是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，其體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的化歸轉(zhuǎn)化思想．二是直接套用公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，其中l(wèi)1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，需注意此時(shí)直線(xiàn)l1與l2的方程為一般式且x，y的系數(shù)分別相同．1．原點(diǎn)到直線(xiàn)x＋2y－5＝0的距離為()A．1B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)【解析】d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))＝eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).【答案】D2．兩條平行線(xiàn)l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距離為()A．3B．2C．1D.eq\f(1,2)【解析】d＝eq\f(|－7－－12|,\r(32＋42))＝1.【答案】C3．若點(diǎn)P在直線(xiàn)x＋y－4＝0上，O為原點(diǎn)，則|OP|的最小值是________．【解析】|OP|的最小值，即為點(diǎn)O到直線(xiàn)x＋y－4＝0的距離．d＝eq\f(|0＋0－4|,\r(1＋1))＝2eq\r(2).【答案】2eq\r(2)4．直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn)，且點(diǎn)(2,1)到l的距離為1，求l的方程．【解】由題意可知，直線(xiàn)l的斜率一定存在．又直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為y＝kx，即kx－y＝0.由點(diǎn)(2,1)到l的距離為1，得eq\f(|2k－1|,\r(k2＋1))＝1.解得k＝0或k＝eq\f(4,3).∴直線(xiàn)l的方程為y＝0或4x－3y＝0.一、選擇題1．(2013·長(zhǎng)春高一檢測(cè))若點(diǎn)(1，a)到直線(xiàn)x－y＋1＝0的距離是eq\f(3\r(2),2)，則實(shí)數(shù)a為()A．－1B．5C．－1或5D．－3或3【解析】由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式：eq\f(|1－a＋1|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，∴a＝－1或5，故選C.【答案】C2．到直線(xiàn)3x－4y－11＝0的距離為2的直線(xiàn)方程為()A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0【解析】設(shè)所求的直線(xiàn)方程為3x－4y＋c＝0.由題意eq\f(|c－－11|,\r(32＋42))＝2，解得c＝－1或c＝－21.故選B.【答案】B3．(2013·威海高一檢測(cè))已知直線(xiàn)3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，則它們之間的距離是()A．4B.eq\f(2\r(13),13)C.eq\f(5,26)eq\r(13)D.eq\f(7,26)eq\r(13)【解析】由兩直線(xiàn)平行可知eq\f(3,6)＝eq\f(2,m)≠eq\f(－3,1)，故m＝4.又方程6x＋4y＋1＝0可化簡(jiǎn)為3x＋2y＋eq\f(1,2)＝0，∴平行線(xiàn)間的距離為eq\f(|\f(1,2)－－3|,\r(22＋32))＝eq\f(7\r(13),26).故選D.【答案】D4．直線(xiàn)2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程是()A．3x－2y－6＝0B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0【解析】法一設(shè)所求直線(xiàn)的方程為2x＋3y＋C＝0，由題意可知eq\f(|2－3－6|,\r(22＋32))＝eq\f(|2－3＋C|,\r(22＋32)).∴C＝－6(舍)或C＝8.故所求直線(xiàn)的方程為2x＋3y＋8＝0.法二令(x0，y0)為所求直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)(x0，y0)關(guān)于(1，－1)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2－x0，－2－y0)，此點(diǎn)在直線(xiàn)2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直線(xiàn)方程為2x＋3y＋8＝0.【答案】D5．(思維拓展題)兩平行線(xiàn)分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,0)，B(0,12)，它們之間的距離d滿(mǎn)足的條件是()A．0<d≤5B．0<d≤13C．0<d<12D．5≤d≤12【解析】當(dāng)兩平行線(xiàn)與AB垂直時(shí)，兩平行線(xiàn)間的距離最大，為|AB|＝13，所以0<d≤13.【答案】B二、填空題6．點(diǎn)(2,1)到x軸的距離為_(kāi)_______，到y(tǒng)軸的距離為_(kāi)_______，到直線(xiàn)y＝x的距離為_(kāi)_______．【解析】點(diǎn)(2,1)到x軸的距離為1，到y(tǒng)軸的距離為2，到直線(xiàn)x－y＝0的距離為eq\f(|2－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).【答案】12eq\f(\r(2),2)7．分別過(guò)點(diǎn)A(－2,1)和點(diǎn)B(3，－5)的兩條直線(xiàn)均垂直于x軸，則這兩條直線(xiàn)的距離為_(kāi)_______．【解析】如圖所示：兩直線(xiàn)的距離為：2＋3＝5.【答案】58．已知x＋y－3＝0，則eq\r(x－22＋y＋12)的最小值為_(kāi)_______．【解析】設(shè)P(x，y)，A(2，－1)，且點(diǎn)P在直線(xiàn)x＋y－3＝0上，eq\r(x－22＋y＋12)＝|PA|.|PA|的最小值為點(diǎn)A(2，－1)到直線(xiàn)x＋y－3＝0的距離d＝eq\f(|2＋－1－3|,\r(12＋12))＝eq\r(2).【答案】eq\r(2)三、解答題9．已知點(diǎn)A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，求△ABC的面積．【解】如圖，設(shè)AB邊上的高為h，則S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·h.|AB|＝eq\r(3－12＋1－32)＝2eq\r(2)，AB邊上的高h(yuǎn)就是點(diǎn)C到AB的距離．AB邊所在直線(xiàn)的方程為eq\f(y－3,1－3)＝eq\f(x－1,3－1)，即x＋y－4＝0.點(diǎn)C(－1,0)到x＋y－4＝0的距離h＝eq\f(|－1＋0－4|,\r(12＋12))＝eq\f(5,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2).因此，S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(5\r(2),2)＝5.10．(2013·鄭州高一檢測(cè))求過(guò)點(diǎn)M(－1,2)，且與點(diǎn)A(2,3)，B(－4,5)距離相等的直線(xiàn)l的方程．【解】由題意得l∥AB或l過(guò)AB的中點(diǎn)，當(dāng)l∥AB時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的斜率為kAB，直線(xiàn)l的斜率為kl，則kAB＝kl＝eq\f(5－3,－4－2)＝－eq\f(1,3)，此時(shí)直線(xiàn)l的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)l過(guò)AB的中點(diǎn)(－1,4)時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x＝－1.綜上所述，直線(xiàn)l的方程為x＝－1或x＋3y－5＝0.11．(2013·長(zhǎng)沙高一檢測(cè))直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)A(0,1)，l2過(guò)點(diǎn)B(5,0)，如果l1∥l2，且l1與l2的距離為5，求l1、l2的方程．【解】若l1、l2的斜率存在，∵l1∥l2，∴設(shè)兩直線(xiàn)的斜率為k.由斜截式得l1的方程y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.由點(diǎn)斜式得l2的方程y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.由兩平行線(xiàn)間的距離公式得eq\f(|－5k－1|,\r(k2＋－12))＝5，解得k＝eq\f(12,5)，∴l(xiāng)1的方程為12x－5y＋5＝0，l2的方程為12x－5y－60＝0.若l1、l2的斜率不存在，則l1的方程為x＝0，l2的方程為x＝5，它們之間的距離為5，同樣滿(mǎn)足條件．則滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)方程有以下兩組：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；或l1：x＝0，l2：x＝5.已知正方形ABCD的相對(duì)頂點(diǎn)A(0，－1)和C(2,5)，求頂點(diǎn)B和D的坐標(biāo)．【思路探究】根據(jù)正方形的性質(zhì)，頂點(diǎn)B和D在線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)上，且到直線(xiàn)AC的距離相等，故可列方程組求解．【自主解答】線(xiàn)段AC的中點(diǎn)為M(1,2)，直線(xiàn)AC的斜率kAC＝eq\f(5－－1,2－0)＝3.因?yàn)锳C⊥BD，所以kBD＝－eq\f(1,3)，所以直線(xiàn)BD的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x－1)，即x＋3y－7＝0.直線(xiàn)AC的方程為y－(－1)＝3(x－0)，即3x－y－1＝0.又因?yàn)閨AC|＝eq\r(2－02＋