高中數(shù)學算法的教學法處理1 新課標 人教 必修3(A)

算法的教學法處理華南師范大學數(shù)學系吳躍忠2023/2/41.前言：算法解讀一、解題步驟與算法1．兩種不同的解題方法2．算法的基本性質(zhì)二、算法的要素與結(jié)構(gòu)1．三個不同的例子2．算法的要素三、偽代碼1.賦值語句2.輸入、輸出語句3.條件語句4.循環(huán)語句四、算法小結(jié)2023/2/42.前言:算法的教育價值1．有利于培養(yǎng)學生的思維能力算法一方面具有具體化、程序化、機械化的特點，同時又有高度抽象性、概括性和精確性．對于一個具體算法而言，從算法分析到算法語言的實現(xiàn)，任何一個疏漏或錯誤都將導致算法的失?。惴ㄊ撬季S的條理化、邏輯化！算法所體現(xiàn)出來的邏輯化特點被有些學者看成是邏輯學繼形式邏輯和數(shù)理邏輯之后邏輯學發(fā)展的第三個階段．因此，培養(yǎng)邏輯思維能力，不僅可以通過平面幾何的論證，代數(shù)運算的嚴密演繹等手段進行培養(yǎng)，還可以通過算法設(shè)計的學習來達到．2023/2/43.2．有利于培養(yǎng)學生理性精神和實踐能力算法既重視“算則”，更重視“算理”．對于算法而言，一步一步的程序化步驟，即“算則”固然重要，但這些步驟的依據(jù)，即“算理”有著更基本的作用，“算理”是“算則”的基礎(chǔ)，“算則”是“算理”的表現(xiàn)．算法思想可以有很豐富的層次遞進的素材，應(yīng)該貫穿于整個中學數(shù)學內(nèi)容之中．由于算法的具體實現(xiàn)可以和信息技術(shù)相聯(lián)系，因而，算法有利于培養(yǎng)學生理性精神和實踐能力，也是實施探究性學習的良好素材．2023/2/44.3．有利于學生理解構(gòu)造性數(shù)學算法是一般意義上解決問題策略的具體化，即有限遞歸構(gòu)造和有限非遞歸構(gòu)造，這兩點也恰恰構(gòu)成了算法的核心（如下圖所示）．

構(gòu)造性地解決數(shù)學問題不僅是重要的解決數(shù)學問題的方法，在數(shù)學哲學上也有著重要的意義．構(gòu)造性數(shù)學是一個重要的數(shù)學哲學學派，

他們只承認能夠構(gòu)造出來的數(shù)學．這種觀念有其特定的真理性．

當然排斥了許多無限推理的數(shù)學，

也具有局限性．

有限遞歸構(gòu)造有限非遞歸構(gòu)造

輸入輸出2023/2/45.4．算法內(nèi)容反映了時代的特點，同時也是中國數(shù)學課程內(nèi)容的新特色

中國古代數(shù)學以算法為主要特征，取得了舉世公認的偉大成就．現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展使算法重新?lián)Q發(fā)了前所未有的生機和活力，算法進入中學數(shù)學課程，既反映了時代的要求，也是中國古代數(shù)學思想在一個新的層次上復興，毫無疑問，也就成為中國數(shù)學課程的一個新的特色．我國吳文俊在繼承中國傳統(tǒng)數(shù)學的算法特征的基礎(chǔ)上，

創(chuàng)造性地發(fā)展了機器證明，

于2000年獲得國家科學最高獎．

這是將我國傳統(tǒng)特色與信息技術(shù)創(chuàng)造性結(jié)合的典范．

2023/2/46.二、設(shè)置算法的依據(jù)

1．計算機與算法在現(xiàn)代社會里，計算機已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ鞑豢扇鄙俚墓ぞ撸犚魳?、看電影、玩游戲、畫卡通畫、處理?shù)據(jù)…計算機幾乎可以是一個全能的助手，你可以用它來做你想做的任何事情．那么，計算機是怎樣工作呢？要想弄清楚這個問題，就需要學習算法．

2023/2/47.2．算法小史（1）人類最早關(guān)于算法的記錄是在兩河流域發(fā)現(xiàn)的公元前兩三千年的黏土板，其中的一個典型例子就是計算利息何時能夠等于本金．

（2）算法早期發(fā)展中一個成果應(yīng)歸功于古希臘的歐幾里德，他提出的計算最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法（又稱歐幾里德算法）

（3）用我國傳統(tǒng)的開方術(shù)求高次方程的近似根，

是算法上的一大成就．

（4）在社會上得到廣泛使用的珠算口訣就可以看作是典型的算法，它把復雜的計算（例如除法）描述為一系列按口訣執(zhí)行的簡單的算珠撥動操作，

口訣就是算法．

2023/2/48.（5）文藝復興以后，隨著近代數(shù)學的開拓和蓬勃發(fā)展，算法研究也取得了許多成果．人們研究了許多數(shù)學問題的計算過程，提出了許多算法．但是，稍微復雜一點的算法，如果由人（即使借助于某些計算工具）來做，就可能耗費成年累月的時間．如果沒有自動化計算工具的出現(xiàn)，復雜的計算過程實際上是無法完成的．

2023/2/49.（6）現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成．比如，我們非常熟悉的帶余除法、解線性方程組的消元法等，都是算法．

2023/2/410.3．中國數(shù)學的特點其中最具代表性的就是《九章算術(shù)》．《九章算術(shù)》是戰(zhàn)國、秦、漢封建社會創(chuàng)立并鞏固時期數(shù)學發(fā)展的總結(jié)，就其數(shù)學成就來說，堪稱是世界數(shù)學名著．其內(nèi)容按類分章，以數(shù)學問題的形式出現(xiàn)，包括分數(shù)四則運算、開平方與開立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(shù)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數(shù)運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等．其中方程組解法和正負數(shù)加減法則在世界數(shù)學發(fā)展史上是遙遙領(lǐng)先的．就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數(shù)學完全不同的獨立體系．

2023/2/411.在隨后11～14世紀約300年期間著名的數(shù)學家的數(shù)學著作，如賈憲的《黃帝九章算法細草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數(shù)書九章》，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》中，其中包括發(fā)展了一套求高次方程近似根的方法，

算法的特點得到了進一步的強化和發(fā)展．

2023/2/412.一、解題步驟與算法

1．兩種不同的解題方法例1．求和1＋2＋3＋4解法一：逐步求和．第一步：計算1＋2，得到3；第二步：計算3＋3，得到6；第三步：計算6＋4，得到10．2023/2/413.解法二：根據(jù)計算公式第一步：??；第二步：計算；第三步：得出結(jié)果10.2023/2/414.例2．求．解：設(shè)數(shù)列，解法一：選代法第一步：設(shè)，計算,得；2023/2/415.第二步：代入，計算，

得；

第三步：代入，計算，得，約等于：；2023/2/416.第四步：代入，計算，得，約等于：（注：約等于：）等等，以至無窮步．可以逐步逼近，得到任意的精確值，這個求值的過程是無限的．2023/2/417.解法二：求極限

第一步：令，（則）；第二步：對于兩邊取極限，即：．

2023/2/418.第三步：解方程：

第四步：給出方程的解：

注：這種解法并沒有給出的值．

2023/2/419.2．算法的基本性質(zhì)

例1的兩個解答過程，就是算法．可觀察到如下的性質(zhì)：

有窮的步驟（例1和例2的差異主要是在于例1的步驟是有窮的，例2的步驟是無窮的）．存在初始步；每一步都跟著一個后繼步；最后一步，有解答或無解答．2023/2/420.

一般書上歸納算法的基本性質(zhì)有四條：A.有窮性；B.

唯一的初始動作；C.每個動作都有唯一的后繼動作；D.動作序列終止時，表示問題得到解答或沒有解答．2023/2/421.二、

算法的要素與結(jié)構(gòu)1．1．三個不同的例子

例3．用框圖表述例1的算法．

2023/2/422.

2023/2/423.例4．給出一元二次方程

的一個算法，并用流程圖形表示．2023/2/424.

2023/2/425.例5．寫出計算下式的流程圖：2023/2/426.2023/2/427.2．算法的要素

（1）

操作

（2）

控制結(jié)構(gòu)

3．基本結(jié)構(gòu)

（1）順序結(jié)構(gòu)

（2）選擇結(jié)構(gòu)

（3）循環(huán)結(jié)構(gòu)

2023/2/428.三、

偽代碼

1.賦值語句例6．寫出求多項式的算法．2023/2/429.解：算法一2023/2/430.

算法二

2023/2/431.2．輸入、輸出語句

例7．寫出方程組

一個算法．

2023/2/432.2023/2/433.偽代碼寫法：InputPrint2023/2/434.3.條件語句

例8．寫出函數(shù)的算法．2023/2/435.解：

（1）用條件語表示：InputIfthenElseifthenElse2023/2/436.（2）用流程圖表示：

2023/2/437.4．循環(huán)語句

ForIfrom“初值”to“終值”step“步長”…Endfor.例9．設(shè)計計算的一個算法．2023/2/438.解：(1)算法步驟S1；S2；S3；S4；S5如果，那么轉(zhuǎn)S3；S6輸出．

2023/2/439.2023/2/440.（3）

用循環(huán)語句

ForIfrom3to99step2EndforPrint

EndforPrintEndforPrintEndforPrintEndforPrint2023/2/441.

例10．設(shè)計計算的一個算法．2023/2/442.(1)

算法步驟S1；S2；S3

；S4輸出．

2023/2/443.（2）

循環(huán)語句

2023/2/444.2023/2/445.五、算法的教學建議（1）在教學中，要注意不要把算法上成算法語言課或程序設(shè)計課．（2）在算法的教學中，應(yīng)通過實例來說明由數(shù)學的算法到計算機使用的算法的過渡過程，從而說明學習算法的必要性，理解算法各個基本內(nèi)容（結(jié)構(gòu)、框圖、語言等）的作用．（3）如果條件允許，盡可能的讓學生上機實現(xiàn)