數(shù)學(xué)歸納法經(jīng)典例題及答案

數(shù)學(xué)歸納法(2016.4.21)一、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)命題的步驟是：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n(如n=1或2等)時(shí)結(jié)論正確；00假設(shè)當(dāng)n€k(k,N*,k>n)時(shí)結(jié)論正確，證明n=k?1時(shí)結(jié)論也正確.0綜合(1)、(2)，……注意：數(shù)學(xué)歸納法使用要點(diǎn)：兩步驟,一結(jié)論。二、題型歸納:題型1?證明代數(shù)恒等式例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:?—1、—1x33x55x7 ……2n-1）＜2n+1）—2n+1證明：①n=1時(shí)，左邊€占€3，右邊€二€1，左邊=右邊，等式成立.1x3 3 2+1 3②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即:1 + 1 + 1 + +J_k1X3 3x5 5X7 ……2k-1）（2k+1）€2k+1當(dāng)n=k+1時(shí).1?1?1?11X3 3^5 5^7 … …2k-1）（2k+1）（2k+1）6k+3）€ k 丄/ 1 、€2k+1 （2k+1）（2k+3）2k2+3k+1、€（2k+1）（k+1）、（2k+1）＜2k+3）€（2k+1）（2k+3）€k+1€k+1€2k+3€2(k+1)+1這就說明，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式亦成立，由①、②可知，對一切自然數(shù)n等式成立.

題型2.證明不等式111一例2.證明不等式1+色+右+…+而€2"（淀N）.證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1,右邊=2.左邊＜左邊＜右邊，不等式成立.②假設(shè)n=k時(shí)，111―不等式成立，即1②假設(shè)n=k時(shí)，111―不等式成立，即1+右+右+…+真€“k-那么當(dāng)n=k+1時(shí)，11++忑\/!+12.k^k+l+1

x/i+r€k+(k+J+1，2(k+1?，

v'lrr ■這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立.由①、②可知，原不等式對任意自然數(shù)n都成立.由①、②可知，原不等式對任意自然數(shù)n都成立.說明:這里要注意，當(dāng)n=k+1時(shí)，要證的目標(biāo)是111.+…+真+羔訂€Uk+1，當(dāng)代入歸納假設(shè)后，就是要證明:一1 2次+ €2、；k+1.'Jk+1認(rèn)識了這個(gè)目標(biāo)，于是就可朝這個(gè)目標(biāo)證下去，并進(jìn)行有關(guān)的變形，達(dá)到這個(gè)目標(biāo).題型3.證明數(shù)列問題例3 (x+1)n=a0+a1(x—1)+a2(x—1)2+a3(x—1)3 a”(x_1)n(n三2,n^N*).當(dāng)n=5時(shí)，求°0+。1+。2+。3+。4+。5的值.a設(shè)b=嚴(yán)，T=b2+b3+b4+-+b.試用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n±2時(shí)，T=n2n—3 n2 3 4 n nn(n+1)(n—1)3 -解：⑴當(dāng)n=5時(shí)，

原等式變?yōu)?x+1)5-a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5令x二2得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35-243.(2)因?yàn)?x+1)n二[2+(x-1)]n，所以a2二C/?2n-2b=-a^二2C2二n(n-1)(n22)n2n-3 n①當(dāng)n_2時(shí).左邊_T2_b2_2，右邊二2(2+1)(2-1)_2,左邊二右邊，等式成立.②假設(shè)當(dāng)n_k(k±2,k^N*)時(shí)，等式成立，即T_k(k+1)(k-1)成立k那么，當(dāng)n二k+1時(shí)，左邊二t+b_k(k+13(k-1)+(k+1)[(k+1)-1]_k(k+13(k-1)+k(k+1)kk+1二k(k+1)€』+1?€3丿_k(k+