空間解析幾何初步

第七章空間解析幾何初步ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過空間一定點o,

坐標面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標系的基本概念機動目錄上頁下頁返回結(jié)束Ⅰ在直角坐標系下坐標軸上的點

P,Q,R;坐標面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標:有序數(shù)組(稱為點M的坐標)原點O(0,0,0);機動目錄上頁下頁返回結(jié)束坐標軸:坐標面:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二.兩點間的距離公式兩點間的距離公式:對兩點與機動目錄上頁下頁返回結(jié)束|AB|例4.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

在z軸上求與兩點等距解:

設(shè)該點為解得故所求點為及思考:(1)如何求在xoy面上與A,B等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點的軌跡方程?離的點.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束提示(1)設(shè)動點為利用得(2)設(shè)動點為利用得且機動目錄上頁下頁返回結(jié)束四、二次曲面第二節(jié)一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面

三、柱面機動目錄上頁下頁返回結(jié)束曲面及其方程第七章一、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動點為軌跡方程.

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點的坐標都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故所求方程為例1.

求動點到定點方程.特別,當M0在原點時,球面方程為解:

設(shè)軌跡上動點為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.研究方程解:

配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個球面,或點,或虛軌跡.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義2.一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當繞

z軸旋轉(zhuǎn)時,若點給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點轉(zhuǎn)到機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考：當曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

求坐標面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面三、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意

z,平行z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義3.平行定直線并沿定曲線C移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于z軸;準線為xoy面上的拋物線.

z軸的橢圓柱面.z軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C叫做準線,l

叫做母線.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準線

xoz

面上的曲線l3.母線柱面,準線

xoy

面上的曲線l1.母線準線

yoz面上的曲線l2.母線機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程球面旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z軸的旋轉(zhuǎn)曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y軸的直線平行于yoz面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z軸的平面思考與練習(xí)1.指出下列方程的圖形:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四節(jié)一、平面的點法式方程二、平面的一般方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束平面及其方程第七章當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程.時,平面方程為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點法式方程任取一組滿足上述方程的數(shù)則②機動目錄上頁下頁返回結(jié)束特殊情形?

當

D=0時,Ax+By+Cz=0表示

通過原點的平面;?當

A=0時,By+Cz+D=0平面平行于x軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束此方程稱為平面的一般方程.例2.

求通過x軸和點(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通過

x軸,設(shè)