第四章 位置線與船位理論

第四章位置線與船位理論

§4—1位置線與船位線一、基本概念1、等值線：觀測值函數(shù)為常數(shù)的幾何軌跡，在數(shù)學(xué)上稱為等值線。例如：等深線、等高線、等磁差曲線等。2、位置線（lineofposition,LOP）在航海定位中，測者對物標進行觀測時，其觀測值為常數(shù)的點的幾何軌跡，稱為觀測者的位置線。3、船位線推算船位附近一小段曲線或其切線所代替的位置線，叫船位線。2/5/20231二、位置線的種類1、方位位置線在近距離上，是和所觀測已知位置的物標具有相同方位的點的軌跡。⑴船測岸：在地球表面上是恒位線（如圖2-2-6所示）2/5/20232⑵岸測船：在地球表面上是大圓?。ㄈ鐖D2-2-5所示）⑶在墨卡托海圖上：大圓弧與恒位線以恒向線為對稱軸2/5/20233⑷平面上：方位位置線都是物標與測者兩點間的直線。（如圖2-2-1a船測岸、圖2-2-1b岸測船所示）2/5/202342、距離位置線●平面上：是以物標為圓心，所測距離為半徑的圓。（如圖2-2-2所示）●球面上：是以M為極點，以所測距離D為極距的球面小圓。2/5/202353、方位差位置線（水平角位置線）平面上：是船與兩物標所連的三角形的外接圓圓弧的一部分。(如圖2-2-3所示)2/5/202364、距離差位置線是以兩物標為焦點的雙曲線。(如圖2-2-4所示)2/5/20237§4—2位置線梯度及其誤差位置線是觀測時刻符合觀測值的點的軌跡。就是說，當觀測值變化時，必然會導(dǎo)致位置線的變化。例如，當觀測值存在誤差時，船位就不可能在此位置線上。因此，討論觀測值的變化與位置線的變化之間的相互關(guān)系，對研究船位線誤差是必需的。同時，也為減少船位誤差的方法提供了理論依據(jù)。2/5/20238一、位置線梯度的定義位置線梯度（gradientofLOP）是用來表示觀測值的變化量與其位置線的位移量之間的比值的向量。（如圖2-2-10所示）：2/5/20239當△u一定時：若△n越小，說明此間位置線的密度越大。船舶運動時的觀測值變化越快；反之，若△n越大，密度越稀，變化越慢。航海上，近似認為：位置線梯度的模：g=△u/△n梯度的方向：τ=α±90o(即與位置線法線方向一致指向△u增加的方向)α：船位線方向，即位置線在船位處的切線方向。2/5/202310二、幾種常用的平面位置線梯度1、方位位置線梯度⑴岸測船（如圖2-2-11所示）：Δn=D·ΔBD：測者至船位間距（＇）ΔB：方位觀測值增量（rad）∴gB=Δu/Δn=ΔB/D·ΔB

=1/D（rad/nmile）或gB

=ΔBo/D·ΔB/57o.3

=57o.3/D(o/nmile)

方向：τ=TB+90o.2/5/202311⑵船測岸（如圖2-2-12所示）：Δn=D·ΔB∴gB=Δu/Δn

=1/D（rad/nmile）

或gB=57o.3/D(o/nmile)

方向：τ=TB–90o.2/5/2023122、距離位置線梯度（如圖2-2-13所示）：Δn=D+ΔD–D=ΔDgD=Δu/Δn=ΔD/ΔD

=1τ=TB+180o.

(背離物標方向)TB：物標的真方位。2/5/2023133、方位差(水平角)位置線梯度數(shù)學(xué)證明:兩函數(shù)的代數(shù)和(差)的梯度,等于該兩函數(shù)的梯度的幾何和(差)。因而方位差位置線梯度可以用兩方位位置線梯度的幾何差來表示。即：gα=g2–g1方位位置線梯度的模：gα=D/D1D2方位差位置線梯度的方向：是從船位P指向方位差位置線圓心的方向。

2/5/2023142/5/2023154、距離差位置線梯度（如圖2-2-15所示）：模：γ——測者對基線的張角。方向：與雙曲線P點的法線一致，并與P點和基線張角γ的平分線相垂直。2/5/202316

綜上所述，現(xiàn)將位置線的梯度列表總結(jié)如下：（表見下頁）梯度的方向：表明觀測值增加時，位置線變化的方向；梯度的模：表明觀測值的變化與所引起的位置線變化的量的關(guān)系。∵g=Δu/Δn∴Δn=Δu/g即：當Δu一定時，也就是觀測誤差Δu一定時，梯度g越大，位置線位移量Δn越??；反之，梯度g越小，位置線位移量Δn越大。2/5/202317種類模方向方位gB=1/Dτ=TB±90o.距離gD=1τ=TB+180o.方位差g△B=D/D1D2.τ=TB1+α2.距離差g△D=2（sinγ/2）τ=[（TB1+TB2）/2]±90o.下面來分析如何運用梯度來表示位置線的誤差。2/5/202318三、位置線的誤差1、若測量值為系統(tǒng)誤差ε則，位置線系統(tǒng)誤差公式：Eε=ε/g⑴方位位置線系統(tǒng)誤差：⑵距離位置線系統(tǒng)誤差：⑶方位差位置線系統(tǒng)誤差：

⑷距離差位置線系統(tǒng)誤差：2/5/2023192、若測量值為隨機誤差σ則，位置線的標準差公式為：Eσ=σ/g⑴方位標準差：⑵距離標準差：⑶方位差標準差：⑷距離差標準差：2/5/202320這樣，只要知道測量值的系統(tǒng)誤差ε和隨機誤差的標準差σ，利用上述公式，就可確定位置線的系統(tǒng)誤差和隨機誤差的標準差。例：

用六分儀測M、N兩物標間的水平角，若測角系統(tǒng)誤差+１＇.2，隨機誤差標準差為±3＇.0，M、N間距4＇.0，船距M、N的距離分別為4＇.5和8＇.6。求該水平角位置線系統(tǒng)誤差和標準差。解：系統(tǒng)誤差：

標準差：2/5/202321當我們測定船位時，若同時獲得兩條位置線，且都不存在誤差。則，該兩條位置線的交點即為觀測時刻的船位。但是，測量一定存在誤差，導(dǎo)致測得的位置線也一定存在誤差。那么，這兩條同一時刻含有誤差的位置線的交點，只能是我們觀測時刻含有誤差的船位。下面，將分別按位置線僅存在系統(tǒng)誤差或隨機誤差兩種情況來進行討論。2/5/202322§4—3系統(tǒng)誤差影響下的船位誤差及其校正方法一、系統(tǒng)誤差影響下的船位誤差（如圖2-2-17所示）P點是存在系統(tǒng)誤差的船位線Ⅰ、Ⅱ的交點（觀測船位），Ⅰ、Ⅱ的梯度分別為g1和g2。Ⅰ的測量系統(tǒng)誤差為+ε或-ε，所導(dǎo)致的船位線誤差分別為△n1和－△n1。2/5/202323消除測量系統(tǒng)誤差+ε或-ε導(dǎo)致的船位線誤差△n（+E）或-△n（-E）后的船位線將向梯度g的反方向或g方向上移動△n的距離。消除了系統(tǒng)誤差后的觀測船位應(yīng)為P1、P2、P3、P4中的一點。它們與P之間的距離反映了在系統(tǒng)誤差影響下船位P的誤差大小。2/5/2023241、當Ⅰ、Ⅱ的系統(tǒng)誤差同號時，消除了系統(tǒng)誤差后的船位P1、P2與P之間的距離為δ。2、當Ⅰ、Ⅱ的系統(tǒng)誤差異號時，消除了系統(tǒng)誤差后的船位P3、P4與P之間的距離為δ1，則：2/5/202325若ε1=ε2=ε；g1=g2=g,則上述兩公式可簡化為：2/5/2023263、船位誤差三角形（cockedhat）如果同時測得三條船位線，由于每條船位線必存在誤差。因此，這三條船位線通常相交成一個小三角形，即船位誤差三角形。（如圖2-2-18所示）：2/5/202327二、如何在航海實踐中判斷位置線存在系統(tǒng)誤差1、船位誤差三角形短邊長超過正常界限。（在大比例尺1:200,000海圖上，邊長＞5mm）；2、短時間內(nèi)連續(xù)測得相同類型的幾條船位線定位，其誤差三角形相似；3、連續(xù)觀測兩標方位所得船位的連線，在改換觀測其它物標時，發(fā)現(xiàn)斷開現(xiàn)象。2/5/202328三、系統(tǒng)誤差的消除和船位校正1、系統(tǒng)誤差的消除系統(tǒng)誤差是觀測值與真值之差，即：ε=l–L可用差值法消除系統(tǒng)誤差?！咴谙嗤瑮l件下，測得不同物標的兩個觀測值l1、l2則：L1=l1–ε；L2=l2–ε∴L2–L1=l2–l1。表明：兩物標觀測值之差=兩物標真值之差即：消除了系統(tǒng)誤差的影響。航海實踐中，可將三標羅方位定位轉(zhuǎn)換成三標兩水平角定位；可將三標距離定位轉(zhuǎn)換成三標兩距離差定位。2/5/2023292、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生誤差三角形的船位校正對于由于系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的船位誤差三角形來說，消除了系統(tǒng)誤差的船位P到誤差三角形的三邊的距離，應(yīng)分別等于其位置線誤差E1、E2、E3。∵E1=ε1/g1；E2=ε2/g2；E3=ε3/g3。若ε=ε1=ε2=ε3，且g=g1=g2=g3；

則：E1=E2=E3=E2/5/202330◆當三標分布范圍＞180o時，校正后的船位應(yīng)在船位誤差三角形的內(nèi)心上（內(nèi)切圓圓心）上。（如圖2-2-22所示）2/5/202331◆當三標分布范圍＜180o時，校正后的船位應(yīng)在船位誤差三角形的中標位置線外側(cè)的旁心上（旁切圓圓心）上。（如圖2-2-23所示）2/5/202332§4—4隨機誤差影響下的船位精度一、兩條船位線定位（船位）誤差平行四邊形（errorparallelogram）（如圖2-2-24所示）設(shè)Ⅰ、Ⅱ是兩條同時觀測到的船位線，其交點P是最概率船位。若Ⅰ、Ⅱ分別存在的標準差為±E1、±E2，則，以±E1、±E2分別所作船位線Ⅰ、Ⅱ的平行線交成船位誤差四邊形ABCD，且：2/5/202333E1=σ1/g1，E2=σ2/g2；已知：σ、E的概率均為68.3%，根據(jù)概率乘法定律，可得兩條船位線的標準差同時出現(xiàn)在標準誤差四邊形內(nèi)的概率為：1E1、1E2:P=P1×P2=68.3%×68.3%=46.6%；2E1、2E2:P=P1×P2=95.4%×95.4%=91.0%；3E1、3E2:P=P1×P2=99.7%×99.7%=99.4%；2/5/2023342、(船位)誤差橢圓（errorellipseofposition）由船位誤差理論可知，在均方誤差四邊形周界內(nèi)，將真實船位出現(xiàn)的概率相等的各點連接起來，將是一個橢圓。據(jù)船位線標準差求得的橢圓，稱為標準誤差橢圓。該橢圓內(nèi)切于標準誤差四邊形，且切點為各邊中點。▲船位誤差橢圓的長軸在船位線夾角的銳角區(qū)域內(nèi)，且靠近精度較高的一條船位線。2/5/202335▲真實船位落在標準誤差橢圓內(nèi)的概率為：1a、1b：39.4%；2a、2b：86.5%；3a、3b：98.9%稱以3a、3b所作的船位誤差橢圓為極限誤差橢圓?！谡`差橢圓內(nèi)：短軸方向上，船位分布范圍最小，精度最高；長軸方向上，船位分布范圍最廣，精度最低；2/5/202336▲在航海實踐中，例如通過狹水道，應(yīng)要求航線左右方向上船位分布盡量小，而在前后方向上船位分布偏大些對航行安全的影響相對小些?？梢姡降狼昂蠓较蛏嫌袃蓚€以上可供定位的物標時，用方位定位有利；而在正橫方向上有物標定位時，用距離定位較有利。（如圖2-2-25和2-2-26所示）2/5/2023373.（船位）誤差圓（Circleofuncertainty）是以觀測船位為圓心，以觀測船為標準差M為半徑的圓。且：式中：E1、E2——分別為兩條位置線的標準差。