直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

直線與平面垂直的

判定與性質(zhì)2.3.1直線和平面的位置關(guān)系復(fù)習(xí)1直線在平面內(nèi)直線與平面相交直線與平面平行旗桿與地面的位置關(guān)系觀察線面垂直大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系思考1直線和平面垂直旗桿與地面中的直線的位置關(guān)系如何？將一本書打開直立在桌面上，觀察書脊（想象成一條直線）與桌面的位置關(guān)系呈什么狀態(tài)？此時書脊與每頁書和桌面的交線的位置關(guān)系如何？思考2思考3一條直線與一平面垂直的特征是什么？特征：直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線．BAC直線和平面垂直如果直線l

與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說直線l

與平面互相垂直.定義平面的垂線直線l

的垂面垂足平面內(nèi)任意一條直線如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？思考4lα如圖，準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，做一個試驗(yàn)：過ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD，DC于桌面接觸）．（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直．探究當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面α垂直．

（1）有人說，折痕AD所在直線與桌面所在平面上的一條直線垂直，就可以判斷AD垂直平面，你同意他的說法嗎？

（2）如圖，由折痕，翻折之后垂直關(guān)系不變，，．由此你能得到什么結(jié)論？思考5線面垂直的判定判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．作用：判定直線與平面垂直．直線與平面垂直直線與直線垂直思想：例

一旗桿高8m，在它的頂點(diǎn)處系兩條長10m的繩子，拉緊繩子并把它們的下端固定在地面上的兩點(diǎn)（與旗桿腳不在同一條直線上）.如果這兩點(diǎn)與旗桿腳距6m，那么旗桿就與地面垂直，為什么？ABOP解：如圖，旗桿PO=8m，兩繩長PA=PB=10m，OA=OB=6m.因?yàn)锳，O，B三點(diǎn)不共線，所以A，O，B三點(diǎn)確定平面α.又因?yàn)?，所以，又因?yàn)樗约雌鞐UPO與地面垂直.思考

：長方體中，棱AA′

、BB

’、CC’DD’所在的直線.都垂直于平面ABCD，它們之間具有怎樣的位置關(guān)系

ABDCA′B′CD′′思考1:一個平面的垂線有多少條？這些直線彼此之間具有什么位置關(guān)系？線面垂直的性質(zhì)定理：符號語言：圖形語言：垂直于同一平面的兩直線互相平行.abα√√√小試牛刀1、線面垂直的定義2、判定定理3、性質(zhì)定理課堂小結(jié)

如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說直線l與平面互相垂直，直線與平面垂直的判定定理可簡述為“線線垂直，則線面垂直”小結(jié)通過直線間的垂直，推證直線與平面垂直，即將直線與平面的垂直關(guān)系（空間問題）轉(zhuǎn)化為直線間的垂直關(guān)系（平面問題）.思想方法前面討論了直線與平面垂直的問題，那么直線與平面不垂直時情況怎么樣呢？問題提出直線與平面所成的角第2課時線面角相關(guān)概念αP斜線PA與平面所成的角為PABl平面的斜線A斜足A斜線PA在平面內(nèi)的射影垂足BB平面的垂線1.斜線與平面所成的角是指斜線和它在平面上的射影所成的角2.平面的垂線與平面所成的角為直角3.一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，則這條直線與平面所成的角的00角一條直線與平面所成的角的取值范圍是例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直線A1B和平面ABCD所成的角；（2）求直線A1B和平面A1B1CD所成的角.D1ABA1CB1C1DO例2如圖，AB為平面的一條斜線，B為斜足，AO⊥平面，垂足為O，直線BC在平面內(nèi)，已知∠ABC=60°，OBC=45°，求斜線AB和平面α所成的角.ABCOαD如圖，∠BAD為斜線AB與平面α所成的角，AC為平面α內(nèi)的一條直線，那么∠BAD與∠BAC的大小關(guān)系如何？DαCAB∠BAD>∠BACE解：作BOAD于O，BEAC于E，則BD<BEsinBAD<sinBAC思考1o兩條平行直線與同一個平面所成的角的大小關(guān)系如何？反之成立嗎？一條直線與兩個平行平面所成的角的大小關(guān)系如何？思考21.兩條平行直線在同一個平面內(nèi)的射影可能是哪些圖形？2.兩條相交直線在同一個平面內(nèi)的射影可能是哪些圖形？3.兩條異面直線在同一個平面內(nèi)的射影可能是哪些圖形？思考3小結(jié)1.直線與平面的位置關(guān)系可以用直線與平面所成的角來度量.線面垂直和線面平行是特殊情況.2.斜線與平面所成的角是該斜線與平面內(nèi)任意直線所成角中最小的角.3.求一斜線與平面所成的角的關(guān)鍵是找出該斜線在平面內(nèi)的射影.作業(yè)P67練習(xí)1，2，3平面與平面垂直的判定2.3.2衛(wèi)星軌道面地球赤道面概念直線上的一點(diǎn)將直線分割成兩部分，每一部分都叫做射線.平面上的一條直線將平面分割成兩部分，每一部分叫半平面.半平面半平面射線射線概念從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線，構(gòu)成平面角.同樣,從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.m記為：二面角-m-記作AOBABO二面角的圖示二面角的記號（1）以直線為棱，以為半平面的二面角記為：（2）以直線AB為棱，以為半平面的二面角記為：AB思考3兩個相交平面有幾個二面角？如何用平面角來表示二面角的大??？探究lαβOABlαβOAB二面角-l-二面角的平面角

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.平面角∠AOB即為二面角α-AB-β的

注意：二面角的平面角必須滿足：

（1）角的頂點(diǎn)在棱上.（2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi).（3）角的邊都要垂直于二面角的棱.二面角的取值范圍0度角180度角lαβ00~1800例1.在正方體中，找出二面角C1-AB-C的平面角，并指出大小.端點(diǎn)例2在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B的正切值.AA1BCDB1C1D1O例3如圖所示，河堤斜面與水平面所成二面角為300，堤面上有一條直道CD，它與堤角的水平線AB的夾角為450

，沿這條直道從堤腳C向上行走10m到達(dá)E處，此時人升高了多少m？ABCDEOF小結(jié)二面角的平面角的作法：1.定義法：根據(jù)定義作出來.2.作垂面：作與棱垂直的平面與兩半平面的交線得到.3.應(yīng)用三垂線定理：應(yīng)用三垂線定理或其逆定理作出來.oABoAoABB平面與平面垂直的判定第2課時平面與平面垂直的判定定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.αβaAb記為

判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．αβaA面面垂直線面垂直線線垂直例1如圖，⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥α，C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC.PABCO證明:例2在四面體ABCD中，已知AC⊥BD,∠

BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，求證：平面ABC⊥平面ACD.ABCDE

例3如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M為AB的中點(diǎn)，求證：平面PMC⊥平面PCD.PABCDMEF請問哪些平面互相垂直的,為什么?探究：ABCD小結(jié)1.知識小結(jié)1）二面角及其平面角

2）兩個平面互相垂直2.思想方法面面垂直線線垂直線面垂直作業(yè)P69練習(xí)P73習(xí)題2.3A，1，2，3，4.直線與平面垂直的

性質(zhì)2.3.3直線與平面垂直的判定定理是什么？復(fù)習(xí)直線與平面垂直的定義是什么？aαa思考1如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直線與底面ABCD的位置關(guān)系如何？它們彼此之間具有什么位置關(guān)系？AA1BCDB1C1D1思考2如果直線a，b都垂直于同一條直線l，那么直線a，b的位置關(guān)系如何？ablablab

l相交平行異面思考3如果直線a，b都垂直于平面α，那么a與b一定平行嗎？垂直于同一個平面的兩條直線平行直線與平面垂直的性質(zhì)定理直線與平面垂直b’Oabαc性質(zhì)定理的證明反證法證明：

例1如圖，已知于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，求證：

.ABCαβla小結(jié)直線與平面垂直的性質(zhì)定理可簡述為“線面垂直，則線線平行”思想方法線面垂直的性質(zhì)定理不但提供了用線面垂直來證明線線平行的方法，也提供了作平行線的一種方法.“線面垂直，則線線垂直”作業(yè)P71練習(xí)1，2P73習(xí)題2.3A組，5，6.B組1，2平面與平面垂直的性質(zhì)2.3.4復(fù)習(xí)1αβlαβlγ兩個平面相互垂直三個平面兩兩垂直兩個平面垂直的判定

判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直．復(fù)習(xí)2αβl

1.黑板所在平面與地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直線與地面垂直？若存在，怎樣畫線？αβ思考？思考？2.如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1與平面ABCD垂直，其交線為AD，直線A1A，D1D都在平面A1ADD1內(nèi)，且都與交線AD垂直，這兩條直線與平面ABCD垂直嗎？AA1BCDB1C1D13.設(shè)，,垂足為B，那么直線AB與平面的位置關(guān)系如何？為什么？αβABDCE思考？

兩個平面垂直的性質(zhì)性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.面面垂直線面垂直αβaAl若α⊥β，過平面α內(nèi)一點(diǎn)A作平面β的垂線a，那么垂線a與平面具有什么樣的位置關(guān)系?BαβA