專題26奇偶分析

閱讀與思考整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)，一個(gè)整數(shù)要么是奇數(shù)，要么是偶數(shù)，因此奇偶性是一個(gè)整數(shù)的固有屬性，即奇數(shù)≠偶數(shù)．由于奇偶性是整數(shù)的固有屬性，因此可以說奇偶性是整數(shù)的一種不變性，通過分析整數(shù)的奇偶性來解決問題的方法叫奇偶分析．運(yùn)用奇偶分析解題，常常要用到奇數(shù)和偶數(shù)的基本性質(zhì)：1.奇數(shù)≠偶數(shù).2.奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù) =奇數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù) =偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和為偶數(shù)，若干個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù) .3.若干個(gè)奇數(shù)之積是奇數(shù)，偶數(shù)與任意整數(shù)之積是偶數(shù) .4.若a是整數(shù)，則 a與a， a，an（n為自然數(shù)）有相同的奇偶性 .5.設(shè)a，b是整數(shù)，則

a

b，a

b，

a

b

，

a

b

都有相同的奇偶數(shù)

.6.偶數(shù)的平方是

4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方是

4的倍數(shù)加

1.例題與求解【例1】數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，?的排列規(guī)律是：前兩個(gè)數(shù)是開始，每一個(gè)數(shù)是它前面兩個(gè)數(shù)的和，這個(gè)數(shù)列叫做斐波那契數(shù)列，在斐波那契數(shù)列的前

1，從第三個(gè)數(shù)2004個(gè)數(shù)中共有____個(gè)偶數(shù)．(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題 )解題思路：本例關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的各項(xiàng)奇偶性的規(guī)律 .【例2a，b，c都是正整數(shù)，且a，b是奇數(shù)，則3a(b1)2c是().】如果A．只當(dāng)c為奇數(shù)時(shí)，其值為奇數(shù)B．只當(dāng)c為偶數(shù)時(shí)，其值為奇數(shù)C．只當(dāng)c為3的倍數(shù)時(shí)，其值為奇數(shù)D．無論c為任意正整數(shù)時(shí)，其值均為奇數(shù)（五城市聯(lián)賽試題）解題思路：直接運(yùn)用奇數(shù)偶數(shù)的性質(zhì)作出選擇．【例3】能否找到自然數(shù)a和b，使a22002b2.（“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：假設(shè)存在自然數(shù)a和b，使等式成立，則(ab)(ab)2002，從ab，ab的奇偶性展開推理．【例4】在6張紙片的正面分別寫上整數(shù) 1，2，3，4，5，6，打亂次序后，將紙片翻過來，在它們的反面也隨意寫上 1~6這6個(gè)整數(shù)，然后計(jì)算每張紙片正面與反面所寫數(shù)字之差的絕對(duì)值，得出 6個(gè)數(shù)，請(qǐng)你證明：所得的 6個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)是相同的 .（北京市競(jìng)賽試題）解題思路：從反面入手，即設(shè)這 6個(gè)數(shù)兩兩都不相等，利用 ai bi與ai bici=1，2，3，4，5，6的奇偶性相同，引入字母進(jìn)行推理證明 .【例5】表甲是一個(gè)英文字母電子顯示盤， 每一次操作可以使某一行 4個(gè)字母同時(shí)改變， 或者使某一列4個(gè)字母同時(shí)改變，改變的規(guī)則是：按照英文字母表的順序，每個(gè)英文字母變成它下一個(gè)字母（即 A變成B，B變成C?最后字母Z變成A）.問：能否經(jīng)過若干次操作，使表甲變成表乙？如果能，請(qǐng)寫出變化過程，如不能，說明理由.SOBRKBDSTZEPHEXGHOCNRTBSADVXCFYA表甲 表乙（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：表甲與表乙看上去沒有規(guī)律，似乎不太容易將表甲變?yōu)楸硪遥梢栽囈辉嚕?，看是否能成功？如果是不能，就應(yīng)找出不能的理由，解題的關(guān)鍵是如何將問題“數(shù)字化” ，挖掘操作變化過程中的不變量或不變性 .【例6】設(shè)x1，x2，?xn為＋1或－1，并且x1x2x3x4 x2x3x4x5 x3x4x5x6 xn3xn2xn1xnxn2xn1xnx1 xn1xnx1x2 xnx1x2x3 0.證明n能被4整除.解題思路：應(yīng)用整數(shù)的奇偶性解題，常需變化角度去考察問題，從而化難為易．能力訓(xùn)練1．若按奇偶分類，則11223320112011是______數(shù).2．已知a是質(zhì)數(shù)，b是奇數(shù)，且a2b2001，則ab_______.（江蘇省競(jìng)賽試題）3．若質(zhì)數(shù)m，n滿足5m7n129，則mn的值為____________.（河北省競(jìng)賽試題）2222這95個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有____________個(gè).4．在1，2，3，?，95（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）5．將1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字排成一排，最后一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個(gè)數(shù)之和都能被這三個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)整除，那么，滿足要求的排法有()種.A.2B.3C.4D.56．設(shè)a，b為整數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論1）若a5b是偶數(shù)，則a3b是偶數(shù)2）若a5b是偶數(shù)，則a3b是奇數(shù)3）若a5b是奇數(shù)，則a3b是偶數(shù)4）若a5b是奇數(shù)，則a3b是奇數(shù)其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()．A.0B.2C.4D.1或3（“五羊杯”競(jìng)賽試題）7．如果a，b，c是三個(gè)任意整數(shù)，那么ab，bc，ca()．222A.都不是整數(shù)B.至少有兩個(gè)是整數(shù)C.至少有一個(gè)是整數(shù)D.都是正數(shù)（“T1杯”全國(guó)競(jìng)賽試題）8．將1000到1997這998個(gè)自然數(shù)任意排成一行，然后依次地求出三個(gè)相鄰數(shù)的和，在這些和中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)至多有()．A.499個(gè)B.496個(gè)C.996個(gè)D.995個(gè)．設(shè)a，a，?a是，，，?，1999的一個(gè)排列，求證：(a1)(a22)(a1999)91219912311999為偶數(shù).10．在黑板上記上數(shù)1，2，3，?，1974，允許擦去任意兩個(gè)數(shù)，且寫上它們的和或差.重復(fù)這樣的操作手續(xù)，直至在黑板上留下一個(gè)數(shù)為止.求證：這個(gè)數(shù)不可能為零．（數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題）11．你能找到三個(gè)整數(shù) a，b，c，使得關(guān)系式(a b c)(a b c)(a b c)(b c a) 3388成立嗎？如果能找到，請(qǐng)舉一例；如果找不到，請(qǐng)說明理由 .（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）12．設(shè)標(biāo)有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G記號(hào)的七盞燈順次排成一行，每盞燈安裝一個(gè)開關(guān)E，G四盞燈開著，其余三盞燈是關(guān)的，小剛從燈 A開始，順次拉動(dòng)開關(guān)，即從 A到次拉動(dòng)開關(guān)，即又從 A到G，?，他這樣拉動(dòng)了 1999次開關(guān)后，問哪幾盞是開的？

.現(xiàn)在A，C，G，再?gòu)腁開始順專題26奇偶分析例1668提示：裴波拉數(shù)列各項(xiàng)的奇偶性規(guī)律是：從第一個(gè)數(shù)開始，每組連續(xù)的3個(gè)數(shù)中，前兩個(gè)數(shù)是奇數(shù)，第三個(gè)數(shù)是偶數(shù)，又因?yàn)?004÷3＝668.所以前2004個(gè)數(shù)中共有668個(gè)偶數(shù).例2D例3假設(shè)存在自然數(shù)a和b，使a22002b2.則（a＋b）(a－b)＝＝20022×1001，若a，b同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，則（a＋b）×（a－b）必定是“偶數(shù)×偶數(shù)”；若a，b為一奇一偶，則(a＋b)(a－b)必定是“奇數(shù)×奇數(shù)”上.述兩種情況均與等式右邊的“偶數(shù)×奇數(shù)”相矛盾，故找不到自然數(shù)a和b，使a22002b2.例4提示：設(shè)6張卡片正面寫的數(shù)是a1,a2,a3,a4,a5,a6，反面寫的數(shù)對(duì)應(yīng)為b1,b2,b3,b4,b5,b6，則這6張卡片正面寫的數(shù)與反面寫的數(shù)的絕對(duì)值分別為a1b1,a2b2,...,a6b6.設(shè)這6個(gè)數(shù)兩兩都不相等，則它們只能取0，1，2，?，5這6個(gè)值，于是a1b1,a2b2,...,a6b6＝0＋1＋2＋?＋5＝15是個(gè)奇數(shù).aibiaba1b1+a2b2...a6b6又與ii（i＝，，3?，126）的奇偶性相同，所以與a1b1a2b2...a6b6a1...a6b1b2...b60的奇偶性相同，是個(gè)偶數(shù)，導(dǎo)致矛盾 .例5 提示：不能，理由如下：將表中的英文字母分別用它們?cè)谧帜副碇械男蛱?hào)代替（即 A用1，B用2，?，Z用26代替），這樣表甲和表乙就分別變成了表丙和表丁：1915218112419202661685247815314182021914222436251表丙 表丁這樣，每一次操作中字母的置換就相當(dāng)于下面的置換：1→2，2→3，?，25→26，26→1.顯然，每次操作不改變這 16個(gè)數(shù)字和的奇偶性，但表丙、表丁 16個(gè)數(shù)字的和分別為 213，174，它們的奇偶性不同，故表丙不能變成表丁，即表甲不能變成表乙．例6由于乘積x1x2x3x4,x2x3x4x5,...,xnx1x2x3都是＋1或－1，且總和為0．所以一定有偶數(shù)項(xiàng)，即n一定是偶數(shù)2m.m將上面的n個(gè)數(shù)相乘，一方面，其中的＋1和－1各有m個(gè)，所以它們的乘積為1，另一方面，在乘積中，作為因數(shù)都出現(xiàn)四次，所以乘積為＋1，于是，m為偶數(shù)，故n是4的倍數(shù)．【能力訓(xùn)練】1．偶2.1999提示：由 ＋b＝2001知 ，b必為一奇一偶．又∵a是質(zhì)數(shù)且a為偶數(shù)．∴a＝2，b＝997，故a＋b＝1999.19或254.19提示：在 中，十位數(shù)字是奇數(shù)的只有 ＝16， ＝36，兩位數(shù)的平方可以表示為=100 ＋20ab＋ ，它的十位數(shù)的奇偶性與 十位數(shù)字的奇偶性相同，因此， b只能取4與6，即相鄰的每 10個(gè)數(shù)中有兩個(gè)數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)．5．D 提示：設(shè) 是1，2，3，4，5中一個(gè)滿足要求的數(shù)列，首先，對(duì)于 不能連續(xù)兩個(gè)都是偶數(shù)，否則這兩個(gè)之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾，其次，如果 (1≤i≤3)是偶數(shù)，是奇數(shù)，則 是奇數(shù)，這說明一個(gè)偶數(shù)后面一定要接兩個(gè)或兩個(gè)以上的奇數(shù)，除非接的這個(gè)奇數(shù)是最后一個(gè)數(shù)．所以， 只能是偶奇奇偶奇，故有如下 5種情形滿足條件：① 2，1，3，4，5;②2，3，5，4，1;③2，5，1，4，3;④4，3，1，2，5；⑤4，5，3，2，1.6．B 7．C 8．D9.提示：10．考慮黑板上保留奇數(shù)的個(gè)數(shù) .經(jīng)過一次操作，如果是一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，則和或差仍為奇數(shù)，奇數(shù)的個(gè)數(shù)保持不變．如果是兩個(gè)奇數(shù)，則和或差為偶數(shù)．奇數(shù)的個(gè)數(shù)減少2個(gè)；如果是兩個(gè)偶數(shù)，則和或差為偶數(shù)．奇數(shù)的個(gè)數(shù)保持不變.由以上分析知，經(jīng)過操作，黑板上奇數(shù)的個(gè)數(shù)的奇偶性不變．由于一開始黑板上共有奇數(shù)，即有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)．經(jīng)過若干次操作后，黑板上一定仍保留著奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，故留下的一個(gè)數(shù)不可能為0．11．找不到滿足條件的三個(gè)整數(shù)，理由如下：假設(shè)存在整數(shù)a，b，c滿足等式，則左邊四個(gè)式子中至少有一個(gè)是偶數(shù)，不妨a＋b＋c為偶數(shù)，則a－b＋c＝(a＋b＋c)－2b，a＋b－c＝(a＋b＋c)－2c，－－(a＋b＋c)－2a