基本事實(shí)與定理

8、3基本事實(shí)與定理（一）自主學(xué)習(xí)下列命題是真命題嗎?1、如果a是有理數(shù)，那么a是實(shí)數(shù)；2、如果m是自然數(shù)，那么m是整數(shù)；3、如果a是整數(shù)，那么a是有理數(shù)；4、如果四邊形ABCD是正方形，那么它是矩形一、知識(shí)回眸：是是是是歐幾里得

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(Euclid，約公元前330—前275)對(duì)他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)知識(shí)作了系統(tǒng)化的總結(jié)，他挑選出一些人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來的公認(rèn)的真命題，作為證明的原始依據(jù)，稱這些真命題為公理.

歐幾里得以基本定義和公理作為推理的出發(fā)點(diǎn)，去判斷其他命題的真假，已經(jīng)判斷為真的命題稱為定理，它也可以作為判斷其他命題的真假的依據(jù).（一）自主學(xué)習(xí)（1）閱讀歐幾里得的簡(jiǎn)介，師友互談感想。小知識(shí)歐幾里得按照這種方法(現(xiàn)在稱為公理化方法)編寫了一本書，書名叫《原本》.全書共分13卷，包括有5條公理，5條公設(shè)，119個(gè)定義和465條命題，構(gòu)成了歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系．（注：歐幾里得把公設(shè)和公理加以區(qū)分，即公理是適用于一切科學(xué)的真理，而公設(shè)只適用于幾何.近代數(shù)學(xué)對(duì)此不再區(qū)分，都稱為公理.)《原本》.（一）自主學(xué)習(xí)知識(shí)梳理

（2）叫公理，

(3).,.

叫定理。（4）公理與定理之間有什么關(guān)系:.

。人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來的公認(rèn)的真命題，并作為證明其它命題的依據(jù)，稱這些真命題.已經(jīng)判斷為真的命題并作為證明其它命題的依據(jù)，稱這些真命題公理是不需要證明的,由實(shí)踐得出的結(jié)論,定理是由公理得出來的,也可以說是公理的推論,

是需要證明的

（一）自主學(xué)習(xí)檢測(cè)

下面關(guān)于公理和定理的聯(lián)系說法不正確的是（）A公理和定理都是真命題，B公理就是定理，定理也是公理，C公理和定理都可以作為推理論證的依據(jù)D公理的正確性不需證明，定理的正確性需證明B把哪些真命題作為公理應(yīng)當(dāng)遵循下列原則：直觀，易于被大家所公認(rèn)；相互之間不鬧矛盾等．

根據(jù)上述原則并且考慮到同學(xué)們的實(shí)際情況，我們這套教材到目前為止選擇了八條真命題作為公理：（一）自主學(xué)習(xí)知識(shí)梳理

你能記下P42面的八條公理嗎？

1.兩點(diǎn)確定一條直線．

2.兩點(diǎn)之間線段最短

．3.同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與直線垂直4.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行;

5.經(jīng)過一條直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．

6.兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;7.兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;8.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)都可以看作公理．“在等式或不等式中,一個(gè)量可以用它的等量來代替”.這一性質(zhì)也看作公理,簡(jiǎn)稱為“等量代換”.其它公理推理的依據(jù)：1、已知條件2、定義3、公理4、定理5、等式（不等式）的性質(zhì)

動(dòng)腦筋（二）經(jīng)典例題例1：由上面給出的公理，證明如下命題的正確性：

等角的補(bǔ)角相等。

已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180，∠2+∠4=180。求證：∠3=∠4證明：∵∠1+∠3=180，∠2+∠4=180(已知)，∴∠3=180-∠1，∠4=180-∠2(等式的性質(zhì))∵∠1=∠2(已知)，∴∠3=∠4(等式的性質(zhì))。

第一步：根據(jù)題意，畫出圖形．先根據(jù)命題的條件即已知事項(xiàng)，畫出圖形，再把命題的結(jié)論即求證的需要在圖上標(biāo)出必要的字母或符號(hào)，以便于敘述或推理過程的表達(dá)．第二步：根據(jù)條件、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫出已知、求證。把命題的條件化為幾何符號(hào)的語言寫在已知中，命題的結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何符號(hào)的語言寫在求證中．第三步：經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程．一般情況下，分析的過程不要求寫出來，有些題目中，已經(jīng)畫出了圖形，寫好了已知，求證，這時(shí)只要寫出“證明”一項(xiàng)就可以了．證明的一般步驟：

（二）經(jīng)典例題例2：如圖，已知：在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于O，求證：（1）△ABC≌△ADC,(2)OB=OD,AC⊥BD證明：（1）∵AB=AD,BC=DC,AC=AC∴△ABC≌△ADC(2)由（1）知△ABC≌△ADC∴∠BCA=∠DCA,又∵BC=DC∴BO=OD,AC⊥BD用所學(xué)公理、定理、定義說明1、“兩點(diǎn)之間，線段最短”這個(gè)語句是（）

A、定理B、公理C、定義D、只是命題2、“同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”這個(gè)語句是（）

A、定理B、公理C、定義D、只是命題3、下列命題中，屬于定義的是（）

A、兩點(diǎn)確定一條直線B、同角的余角相等

C、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

D、點(diǎn)到直線的距離是該點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度4、下列句子中，是定理的是（），是公理的是（），是定義的是（），

A、三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；B、對(duì)頂角相等

C、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等

D、有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形

E、兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等三、鞏固練習(xí)BCDB、CA、ED誰得優(yōu)？A、B、C、D、E五名學(xué)生猜自己的數(shù)學(xué)成績(jī)：

A說：“如果我得優(yōu)，那么B也得優(yōu)?！?/p>

B說：“如果我得優(yōu)，那