參考分析案例

一.多元函數(shù)積線面積分知識(shí)（按積分區(qū)域分類3.一.多元函數(shù)積線面積分知識(shí)（按積分區(qū)域分類積分區(qū) 積分區(qū)

一型：對(duì)弧

若：1.xOy平面上閉區(qū)域D由分段光滑的曲線LD2.在D上函數(shù)Px,y),Qx,yCD定積

曲線積

二型：對(duì)坐

則 PdxQdy(QP推 D Stokes公 其中L是D的整個(gè)正向邊界曲線二重積 曲面積

一型：對(duì)面 二型：對(duì)坐

特殊情況(D是復(fù)連通的)下，公式成為 PdxQdyPdxQdy(QP D (逆 (順三重積

公 若在D內(nèi)又有QP,則PdxQdyPdx (逆

(逆第Ⅰ型、第Ⅱ型曲線積分的比

曲線積標(biāo)準(zhǔn)形物理意計(jì)算方相似不同曲線積標(biāo)準(zhǔn)形物理意計(jì)算方相似不同第一(對(duì)弧長(zhǎng)f(x,f(x,y,L指曲fx,y)fxy)ds表件的質(zhì)量Mytdsφ2(t)2(t積分下限<此處下限是,上限是第二(對(duì)坐標(biāo)PdxPdxQdyL方向：從WPdx表示力FPdxφ(t)dtdy(t積分下限為起點(diǎn)At值上限為終點(diǎn)B的t值PdxQdy(PcosQcos其中xyx,y)為有向曲線弧Lx,y)處切向量的方向角例如橢圓Lxayb

,02A1

xdyy212

(abcos2absin2)d第Ⅰ型、第Ⅱ型曲面積分的比 4.平面曲線積分的四個(gè)等價(jià)命曲面積標(biāo)準(zhǔn)形物理意計(jì)算方第一曲面積標(biāo)準(zhǔn)形物理意計(jì)算方第一(對(duì)面積f(x,y,指空間fxyzfxyz)dS殼的質(zhì)量M設(shè)曲面：zzx,y)且在xOy面投影區(qū)域?yàn)镈,則fx,yz)dSf[x,y,z(x,y)]1z2z2第二(對(duì)坐標(biāo)Pdydz為有向曲表示在速度場(chǎng)曲面指定一設(shè)有向曲面：zzx,y),R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,在DPx,yQx,yC則下面的四個(gè)命題等價(jià)沿D內(nèi)任何一閉路L上的積分為零，

PdxQdy0曲線積

PdxQdy與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)A與終點(diǎn)B有關(guān)

0Pyx在 成立40在Dux,y使duPdxQdy等價(jià)的意義是：若其中一個(gè)成立，另外三個(gè)也5.公式

解決曲面積分與三重積分的聯(lián)系問題 積分概念的聯(lián)fM)d ffM)d fM)fM)點(diǎn)函1在?上函數(shù)Px,yz),Qx,yzRx,yzC則 (PQR)dVPdydzQdzdx 定積 當(dāng)R上區(qū)間[a,b]時(shí) (PcosQcosRcos

f(M)df(其中是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè) 二重積 當(dāng)R2上區(qū)域D時(shí)Dcos,cos,cos是在點(diǎn)(x,y,z)處外法向的方向余弦 f(M)df(x,y)dDStokes 解決曲線積分與曲面積分的聯(lián)若：1.Γ為分段光滑的空間有向

問題

曲線積 當(dāng)R2上平面曲線L時(shí) f(M)df(x,是以Γ為邊界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向與的側(cè)符合右手法則

三重積

當(dāng)R3上區(qū)域時(shí)2.在包含曲面函數(shù)Px,yz),Qx,yzRx,yzC1

f(M)df(x,y,R P Q 曲線積 當(dāng)R3上空間曲線時(shí)(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdyPdxQdy f(M)d f(x,y,或記

PdxQdyRdz

曲面積

當(dāng)R3上曲面S時(shí)

f(M)df(x,y, 曲線積分和曲面積分的應(yīng)用:填空已知變FPx,y)iQx,yj，則F沿平面有向曲線CWPdx點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功

y(xfx,y)d[fx,y)dy]dx,(d面元素若變力FPx,yz)iQx,yzjRx,yz)k，則F沿空

y1(xDWPdxQdy

by(x

z(x,y曲線C從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功

f(x,y,z)dVdx

dy

fx,yz)dz,(dV體元素若流速VPx,yz)iQx,yzjRx,yz)k

y1(x z1(x,ybΦPdydzQdzdx單位時(shí)間內(nèi)流過曲面的流量

Lf(x,y)ds

fxyx)]1y2dx,(ds線元素(曲b已知平面曲線xx(t),yy(t)(t)上任一點(diǎn)的密 f(x,y)dxf[x,y(x)]dx,(dx線元素(投影b 為xy),

M [x(t),y(t)]x(t)y(t)dt fx,yz)dS fxyzx,y)]1z2z 場(chǎng)論 gradu

(dS面元素(曲R(x,y,z)dxdyf[x,y,z(x,

梯 xiyjz通量PdydzQdzdx

(dxdy面元素(投影

散 divAPQ其中LPdxQdyL(PcosQcos PdydzQdzdx 環(huán)流量PdxQdy 旋 P Q(PcosQcosRcos

rotA(yz)i(zx)j(xyuf(xyzC2求div(gradu).div(gradu)fff定積分與不

Green公式,Guass公式,Stokes公式ff(x)dxF(b)F (F(x)f(PdxQdyPdxQdy(QxQdxPdy( PxAM)為平面推推PdxQdyRdzdydzdzdxdxdy xy(An)dsdivAdS(rotAn二重積分與曲線積分的QP)dxdy PdxQdy(沿L的正向 公三重積分與曲面積分的

單項(xiàng)選擇(1)L為曲線yx從點(diǎn)A(1,1)到B(0,0)xdyC z)dv PdydzQdzdxP R (A)xdy (B) (C)2x曲面積分與曲線積分的

(2)L是圓域(x1)(y4)9按順時(shí)針方向的邊界曲線，則(yx)dx(3xy)dyB. ( )dydz ( )dydz dzdx ( ( PdxQdyS是xyzR的下半球面的下側(cè)，則IzdxdyB(A)d

Rd (B)d

R(C)d Rd (D)d R計(jì)算題xy)ds，L是以原點(diǎn)為圓心的單位圓介于點(diǎn)A(1,0B(0,1)之

1(zx2y2dS，是曲面zxy介于0z4 的劣弧AB與連接點(diǎn)B,C(1,2)的直線段BC組成的分段光滑曲線

型曲面積:zx型曲面積I (xy)ds(xy)ds(x I4dz1z2z2dxdy1x2y24y1y1x2yysin其中A⌒Bysin

Iy

(1

x2yz

)dS

A(–1,0)

dsx2(t)y2(t)dt x2y2其中：D:z 用平面極坐2 BC:yx2 11r ds1y2(x)dx2 I2d rdr2d 1r2d(1r2(xy)ds

π(costsint)dt

3212dx2 π(1r2)2

13

0 xy2.1dx1dy，L是曲線yx2上從點(diǎn)A(1,1)到B(2,4)的有向弧段 xydydz，是曲面z (0zh)上側(cè)的xyL I與直線y4上從點(diǎn)B到C(1,4)的線段BC組成的有向分段光滑曲線I

解類型：II型曲面積 由第一卦限和第二卦限中的錐面和構(gòu)成hz2hz2 2:x

其上側(cè)在yOz平面的投影為負(fù)z2其上側(cè)在yOz平面z2 2(112x)dx1

1x 2 z=z=

z2y2ydydzz2z2y

z2y2) 2

2

D圖形

2x1

y2dzyz2y2也可以用也可以用下面的方法

也可以用下面的也可以用下面的方法6方xy 1dx1dy，L是曲線yx2上從點(diǎn)A(1,1)到B(2,4)的有向弧段 xydydz，是曲面z (0zh)上側(cè)方xyL

貼補(bǔ)， 公式與直線y4上從點(diǎn)B到C(1,4)的線段BC組成的有向分段光滑曲線 解類型：II貼補(bǔ)， 公式型曲線型曲線積

需貼補(bǔ)側(cè)面（右側(cè)）和半圓頂面（下側(cè)o (11oyx yx 4

dvdy(2

2

(y2y2y2

y(h

x2y2

Dxy圖形 極坐標(biāo)sindr2hr)dr 31dx1dy3

4CA

又因xydydz

xydydz

xydydz6 1 i 設(shè)有平面力場(chǎng)F4x(y4x(y1)j，力場(chǎng)的點(diǎn)M在場(chǎng)力F的作用下，沿著圓周xy4的逆時(shí) I{1[f(x,y,z)3方向運(yùn)動(dòng)一周，試求場(chǎng)力F1的功 3 W

dx 4x2(y 4x2(y [2f(x,y,z)y] [f(x,y,z)3 333CoP 1Co4x(yP

Q 4x(y

(xy因

x對(duì)xy(0,1)成 取曲線C4x2y1)21 其參數(shù)式,Cx2cosy1sin

0t 3D3D

3dxdy2W11sint1sint π

cost 求流速場(chǎng)A(x3R)i(y3R2)j(z3R3)k通過上半 求力F(y,z,x)沿有向閉曲線所作R2x2y面z (R0)的上側(cè)的流量Φ 功,其中為平面x+y+zR2x2y 角形的整個(gè)邊界,從z軸正向看去沿順時(shí)針方向 ΦxR)dydzyR)dzdx(zR 提示:方法 ΦV

3(xyz W

ydxzdyxd

yd2dφ3r2r2sinφ

利用對(duì) 6π

ydxzdyR3dxdyR3dxdyπ xd

6π

11πR5

31(1z)dzΦ

πR 方法2利 公 計(jì) 設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?方向向上,I[f(x,y,z)x]dydz[2f(x,y,z)

W

ydxzdyxdfxyzz]dxdyfxyz為連續(xù)函數(shù)

1ox為平面xyz1在第四卦限部分的上側(cè) 1oxn解利用兩類曲面積分之間的關(guān)n

的法向量為n1cos1,cos1,cos 1

(3)d 3dxdy 計(jì)

I (x2ydxy2x)dy其中L是沿L

I

(xy)2z22yzdS時(shí)針方向以原點(diǎn)為中心,a為半徑的上半圓周 中是球面x2y2z22x2z解法1令Px2y,Qy2x, 解 I(x2y2z2)2xy2yzQ1

(2x2z)dS2(x 用重心公利用對(duì)稱這說明用重心公利用對(duì)稱I

(x2y)dx(y2 A

2(xz)dSax2dx2 解法2添加輔助線段BA,它與L所圍區(qū)域?yàn)镈, 11.設(shè)L是平面xyz2與柱面xy1的交I (x2ydxy2xd z軸正向看去,L為逆時(shí)針方向,計(jì)BDBDAx(x2y)dx(y2x)d I(y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2y2a 2

a解為平面xyz2L所圍部分的上側(cè)aD0dxd

dx3 (利 公式 D為在xoy面上的投影. 公思考若L改為順時(shí)針方向,如何計(jì)算下述積分

I

3 dLI1L

(x23y)dx(y2x)d

y2z 2z2

3x2yL同例2,如何計(jì)算下述積分I2L(x2yy2)dx(y2x)d

(4x2y思考題解答 I2(4x2yI1L(x23y)dx(y2x)d

:xyz2,(x,y)DyoD1D的形DyoD1D的形L

A D:xy2dxdy2a3a2(2a (xy6) LI2(x2yy2)dx(y2x)d 12L(x2y)dx(y2x)dy

y2

L:xacost,yasint,t:0Ia3sin3tdt2a32a321 計(jì)算曲線積

(x2y2z2ds,其中

當(dāng)(0,0)D時(shí)在D內(nèi)作圓周lx2y2r2,取逆線xacost,yasint,zkt(0t2)的一段弧 針方向,記L和lˉ所圍的區(qū)域?yàn)镈1,對(duì)區(qū)域D1應(yīng)用解:(x2y2z2) 林公式,2

[(acost)2(asint)2(kt)2

xdyydx Lx xdy

x2y2

Ll

x2

2 k23 xdyydxxdy0akat3t Lx2y lx2y03

a2k2(3a242k2

0

r2cos2r2sin2r

d計(jì) y2dx,其中L 15.設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)Fk(y,x)作用下沿曲線LBA r BA半徑為a圓心在原點(diǎn)

y2cosxA0,2)移動(dòng)到B(2,0)求力場(chǎng)所作的功x2y上半圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向 x2y從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)B(–a,0). 其中r k(ydxxdy)解:(1)取L的參數(shù)方程為xacost,yasint,t:0 解:WLFdsLr

y2dxa2sin2t(asint)d0

Pky,Qkx,則r r

B 3

4

sintdt2a

1 Pk(xy) (x2y20(2)取L的方程為y0,x:aa, r y2dxa0dx

可見 在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān) 計(jì)算xdyydx,其中L為一無(wú)重點(diǎn)且不過原 取圓弧AB:xcos,ysin(:0Lx2y 的分段閉曲線

W k(ydxxd解P

,Q x2y x2y

ABr k0(sin2cos2)則當(dāng)x2y20時(shí),Q y B (x2y2 設(shè)L所圍區(qū)域?yàn)镈,當(dāng)(0,0)D時(shí),由公式 xdyydx Lx

思考積分路徑是否AOOB為什么無(wú)關(guān)!設(shè)gradu(x,y)(x44xy3,6x2y25y4),求u(x, 19. :x2y2z2a2(z0),1為在設(shè)提示:du(x,y)(x44xy3)dx(6x2y25y4) 一卦限中的部分,則有( u(x,y)(x,y)(x44xy3)dx(6x2y25y4)dy

(A)xdS4xdSxx4dxy(6x2y25y4)dy (B)ydS41xdS 1x52x2y3y5 5

zdS

xdS(x, (D)xyzdS(x, 設(shè)C為 x2y2a2從點(diǎn)(0,a)依逆時(shí) 20.已知曲面 z3(x2y2)的面密y2到點(diǎn)(0,a)的半圓,計(jì) x2y2z,求此曲面殼在平面z＝1以上部分y2 dxax2yln(xa2x2)質(zhì)量MC解:添加輔助線如圖,利 公式 解:在xoy面上的投影為Dxy:x2y22,1414r

M

dS

14(x2y2)dC 2

2 dxd

Dxa2a2

Da(2ylna)d

a2x2 0

d

d12

68

14r2d(14r2)質(zhì)點(diǎn)M沿著以AB為直徑的半圓,從A(1,2)運(yùn)動(dòng) 21.計(jì)算曲面積分(z2x)dydzzdxdy,其中點(diǎn)B(3,4),在此過程中F作用F的大小等M銳角,求變力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)M所作的功.(90考研)

旋轉(zhuǎn)拋物面z1(x2y2介于平面z=2y2z=2之間部分的下側(cè)2y2解:利用兩類曲面積分的聯(lián)系,解:由圖知F(y,x),故所求功 (z2x)dyd W Fds

ydxxd

(z2x)cos (ydxxd M(x, AB

(z2x)cosdxd

dxdy

12

zdxd 2

y243(x ∴原式 (3

x)(11

I2(xyz)dxdydz

h2dxdz2(xy代入

原式

1(x2y2)24

利用重心公式注意xy2y1(x2y2)dxd 2y

zdxdydz

x21(x2y2)d 2hzz2dz02d

2

1

111

2r)r 設(shè)為曲面z2x2y2,1z2取上側(cè),求 24.利用 公式計(jì)算積分zdxxdyydzI(x3zx)dydzx2yzdzdxx2z2dxd 其中為平面x+y+z=1被三坐標(biāo)面所截三角形的整解:作取下側(cè)的輔

邊界,方向如圖所示 zo11xzox111:z1(x,yDxy:x2y2 解o11xzox111I

zdxxdyyd用極坐用極坐

用柱坐dxdydz(1)(x2)dxd 用柱坐

dydx

dzdy

dxdzd d

1r3d 0d dz

cosd

dydzdzdxdxdy

dxdy2 利用對(duì)稱利用Gauss公式計(jì)算積 25.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且于零I (x2cosy2cosz2cos)d f(x2y2z2)d

F(t)

(t D(t其中為錐面x2y2z2介于z=0 1 f(x2y D(tz=h之間部分的下側(cè)解:作輔助

2

G(t)

D(tt

f(x2y2)f(x2)d1:zh,(x,y)Dxy:x在1上在1上

h,取上 其 (t){(x,y,z)x2y2z2tD(t){(x,y)x2y2tI(