第3章 隨機(jī)誤差

第3章隨機(jī)誤差作者：劉兆平部門(mén)：機(jī)電設(shè)備系主菜單結(jié)束3-1教學(xué)目標(biāo)本章闡述隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因與特征，減小隨機(jī)誤差的途徑。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)會(huì)分析隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因以及減少隨機(jī)誤差的途徑；掌握用算術(shù)平均值表示測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)，并用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差以及置信區(qū)間來(lái)表示該隨機(jī)誤差的大小。本章內(nèi)容是從事精密測(cè)量工作所必須掌握的基本方法，也是學(xué)習(xí)后續(xù)章節(jié)的基礎(chǔ)。

主菜單結(jié)束3-2隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因隨機(jī)誤差的本質(zhì)特征算術(shù)平均值貝塞爾公式試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)置信區(qū)間教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)主菜單結(jié)束3-3第一節(jié)隨機(jī)誤差概述

本節(jié)介紹隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因，隨機(jī)誤差的本質(zhì)特征以及減少隨機(jī)誤差的技術(shù)途徑。主菜單結(jié)束4一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因舉例：某臺(tái)激光數(shù)字波面干涉儀，對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確度考核，在相同測(cè)量條件下對(duì)某標(biāo)準(zhǔn)平晶的表面面形進(jìn)行150次重復(fù)測(cè)量獲得面形峰谷值數(shù)據(jù)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析，查詢(xún)有關(guān)的技術(shù)資料和其他信息，可知隨機(jī)誤差來(lái)源結(jié)論：對(duì)具體測(cè)量問(wèn)題具體分析，從所用的設(shè)備、人員、測(cè)量方法等資源以及環(huán)境等要素中去分析尋找主要的隨機(jī)誤差來(lái)源。主菜單結(jié)束5150次的面形峰谷值數(shù)據(jù)0.1240.1200.1180.1190.1210.1250.1210.1230.1200.1180.1190.1170.1180.1210.1190.1180.1190.1190.1150.1200.1190.1190.1190.1160.1160.1180.1210.1200.1220.1220.1190.1210.1210.1240.1210.1180.1180.1190.1200.1180.1190.1220.1180.1190.1190.1170.1180.1180.1180.1200.1190.1180.1200.1240.1200.1180.1180.1190.1210.1230.1240.1230.1180.1190.1190.1200.1200.1190.1190.1180.1230.1210.1190.1180.1200.1200.1200.1190.1200.1230.1180.1210.1190.1210.1200.1230.1230.1210.1180.1190.1200.1210.1220.1190.1210.1220.1190.1200.1170.1250.1190.1270.1200.1240.1230.1230.1180.1190.1240.1220.1230.1240.1210.1230.1230.1210.1200.1210.1230.1270.1250.1210.1200.1240.1230.1230.1240.1230.1190.1210.1230.1290.1210.1200.1210.1240.1230.1210.1250.1190.1220.1270.1210.1200.1220.1210.1220.1230.1240.121主菜單結(jié)束6數(shù)據(jù)列表明，各次測(cè)值不盡相同，這說(shuō)明各次測(cè)量中含有隨機(jī)誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒(méi)有確定的規(guī)律，即前一個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)后，不能預(yù)測(cè)下一個(gè)數(shù)據(jù)的大小。但就數(shù)據(jù)整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這個(gè)規(guī)律可以用統(tǒng)計(jì)直方圖來(lái)表示。數(shù)據(jù)特點(diǎn)主菜單結(jié)束70.130.1140.1160.1180.120.1220.1240.1260.12801020304050

統(tǒng)計(jì)直方圖統(tǒng)計(jì)直方圖在對(duì)稱(chēng)性方面有一些偏離理想正態(tài)分布的情形。對(duì)于測(cè)量狀態(tài)不完好的光電類(lèi)測(cè)量?jī)x器，特別是對(duì)傳動(dòng)機(jī)械部件磨損較嚴(yán)重而規(guī)律尚未掌握的儀器，其測(cè)量隨機(jī)誤差可能就呈現(xiàn)其他分布的特征。對(duì)于測(cè)量狀態(tài)比較完好的光電類(lèi)測(cè)量?jī)x器，其隨機(jī)誤差的分布往往較好的呈現(xiàn)正態(tài)分布的特征主菜單結(jié)束8激光數(shù)字波面干涉儀的隨機(jī)誤差主要來(lái)源測(cè)量裝置方面的因素

氦氖激光源輻射激光束的頻率不夠穩(wěn)定造成激光波長(zhǎng)的漂移

CCD光電探測(cè)器采集信號(hào)及其電信號(hào)處理電路造成干涉圖像信號(hào)的隨機(jī)噪聲

離散化采樣誤差、各次裝夾定位不一致

測(cè)量環(huán)境方面的因素

放置測(cè)量主機(jī)和被測(cè)試樣的隔震臺(tái)不能很好消除外界的低頻震動(dòng)

儀器所在實(shí)驗(yàn)室氣流和溫度的波動(dòng)

空氣塵埃的漂浮、穩(wěn)壓電源供電電壓的微小波動(dòng)

操作人員方面的因素

操作人員的裝夾調(diào)整不當(dāng)引起被采集的測(cè)量干涉圖像質(zhì)量低、條紋疏密不當(dāng)

采集干涉圖像的攝像頭變焦倍數(shù)過(guò)小造成較大的離散化采樣誤差

主菜單結(jié)束9減小隨機(jī)誤差的技術(shù)途徑

(1)測(cè)量前，找出并消除或減小其隨機(jī)誤差的物理源;(2)測(cè)量中，采用適當(dāng)?shù)募夹g(shù)措施，抑制和減小隨機(jī)誤差;(3)測(cè)量后，對(duì)采集的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)處理，抑制和減小隨機(jī)誤差。對(duì)防震臺(tái)充氣減震、關(guān)空調(diào)減少氣流、開(kāi)機(jī)對(duì)激光器預(yù)熱等。

戴工作手套裝夾工件，調(diào)整光路要盡量減少離焦、傾斜，并使干涉條紋疏密適當(dāng)，人員盡量遠(yuǎn)離測(cè)量光路；必要的話(huà)，適當(dāng)增加重復(fù)測(cè)量次數(shù)取算術(shù)平均值等

視需要，有針對(duì)性地對(duì)采集的測(cè)量干涉圖進(jìn)行預(yù)處理，如用低通濾波、平滑濾波等方法來(lái)消除中高頻隨機(jī)噪聲，用高通濾波法則可以有效消除低頻隨機(jī)噪聲。

主菜單結(jié)束10二、隨機(jī)誤差的本質(zhì)特征主菜單結(jié)束3-11隨機(jī)誤差的表述

表述方法被測(cè)量的真值

一系列測(cè)量值，假設(shè)各次測(cè)量值中不含有系統(tǒng)誤差

主菜單結(jié)束12當(dāng)測(cè)量次數(shù)n充分大時(shí)，有以及抵償性是各種隨機(jī)誤差所共有的本質(zhì)特征。

隨機(jī)誤差的抵償性主菜單結(jié)束13隨機(jī)誤差的隨機(jī)性影響

對(duì)于任何的測(cè)量，其中的隨機(jī)誤差源客觀(guān)存在，它造成對(duì)每次測(cè)量數(shù)據(jù)的不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)性影響

影響表現(xiàn)在該測(cè)量總體服從某種分布

誤差大小可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)估計(jì)

誤差界限則可用置信區(qū)間表示

主菜單結(jié)束14含有隨機(jī)誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)問(wèn)題的處理方法

有條件獲取較大樣本數(shù)據(jù)的情形

可以做出實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)直方圖，定性定量地給出測(cè)量總體及其誤差分布的判斷，進(jìn)而從中提取表示被測(cè)量大小的數(shù)字特征，并給出完整的測(cè)量結(jié)果

無(wú)條件獲取大樣本數(shù)據(jù)的情形

必須依據(jù)小樣本的測(cè)量數(shù)據(jù)以及可能了解到的有關(guān)測(cè)量信息，合理給出代表測(cè)量總體的測(cè)量結(jié)果，包括其最佳估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)差、置信區(qū)間等

主菜單結(jié)束15

第二節(jié)

算術(shù)平均值

本節(jié)主要介紹算術(shù)平均值的意義以及如何計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。主菜單結(jié)束16一、算術(shù)平均值的意義在等權(quán)測(cè)量條件下，對(duì)某被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，得到一系列測(cè)量值,常取算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)。主菜單結(jié)束17無(wú)限多次測(cè)量算術(shù)平均值作為真值的理論依據(jù)

若測(cè)量次數(shù)無(wú)限增多，且無(wú)系統(tǒng)誤差下，由概率論的大數(shù)定律知，算術(shù)平均值以概率為1趨近于真值因?yàn)楦鶕?jù)隨機(jī)誤差的抵償性，當(dāng)n充分大時(shí)，有

主菜單結(jié)束18最佳估計(jì)的意義若測(cè)量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該測(cè)量總體期望的一個(gè)最佳的估計(jì)量，即滿(mǎn)足無(wú)偏性、有效性、一致性滿(mǎn)足最小二乘原理在正態(tài)分布條件下，滿(mǎn)足最大似然原理該所有測(cè)量值對(duì)其算術(shù)平均值之差的平方和達(dá)到最小該測(cè)量事件發(fā)生的概率最大

主菜單結(jié)束19二、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差適當(dāng)增加測(cè)量次數(shù)取其算術(shù)平均值表示測(cè)量結(jié)果，是減小測(cè)量隨機(jī)誤差的一種常用方法。計(jì)算公式算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量總體標(biāo)準(zhǔn)差

主菜單結(jié)束2010次算術(shù)平均值與單次測(cè)量的分布關(guān)系

兩者的分布類(lèi)型和峰值位置未發(fā)生變化，只是分散性不同。主菜單結(jié)束21

測(cè)量次數(shù)愈大時(shí)，也愈難保證測(cè)量條件的不變，從而帶來(lái)新的誤差。另外，增加測(cè)量次數(shù)，必與測(cè)量次數(shù)的關(guān)系

當(dāng)一定時(shí)， 以后， 已減小得較緩慢。然會(huì)增加測(cè)量的工作量及其成本。因此一般情況下，取以?xún)?nèi)較為適宜?？傊岣邷y(cè)量準(zhǔn)確度，應(yīng)選用適當(dāng)準(zhǔn)確度的測(cè)量?jī)x器，選取適當(dāng)?shù)臏y(cè)量次數(shù)。主菜單結(jié)束22第三節(jié)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差主菜單結(jié)束3-23實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差定義貝塞爾公式極差法最大誤差法對(duì)于一組測(cè)量數(shù)據(jù)，用其標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表述這組數(shù)據(jù)的分散性如果這組數(shù)據(jù)是來(lái)自于某測(cè)量總體的一個(gè)樣本，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是對(duì)該測(cè)量總體標(biāo)準(zhǔn)差的一個(gè)估計(jì)，稱(chēng)其為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，又稱(chēng)為實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差

主菜單結(jié)束24一、貝塞爾公式公式意義總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)(實(shí)驗(yàn)樣本標(biāo)準(zhǔn)差)計(jì)算公式是方差的無(wú)偏估計(jì)，但s并不是標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)為殘余誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)殘差。主菜單結(jié)束25

修正貝塞爾公式貝塞爾公式的修正因子２34567891015201.251.131.091.061.051.041.041.031.031.021.01值隨減少明顯偏離系數(shù)1在樣本數(shù)較小的情形（如），為了提高對(duì)s估計(jì)的相對(duì)誤差，最好用無(wú)偏修正的貝塞爾公式主菜單結(jié)束26標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差

在n次測(cè)量服從正態(tài)分布且獨(dú)立的條件下，有

適用的估計(jì)貝塞爾公式的相對(duì)誤差的公式

估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差，用百分?jǐn)?shù)表示，該百分?jǐn)?shù)愈小，表示估計(jì)的信賴(lài)程度愈高。主菜單結(jié)束27幾種估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差貝塞爾公式0.80修正貝塞爾公式0.60極差法0.76最大誤差法0.750.51４1230.570.460.520.450.470.390.430.40５0.400.340.370.36６0.360.310.340.33７0.320.280.310.31８0.300.260.290.2990.280.250.270.28100.260.230.260.27200.170.160.200.23當(dāng)樣本數(shù)較小的情形（如），用貝塞爾公式估計(jì)的信賴(lài)程度已經(jīng)開(kāi)始低于極差法和最大誤差法，應(yīng)當(dāng)改用修正的貝塞爾公式來(lái)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差

主菜單結(jié)束28用某儀器測(cè)某物水份含量，測(cè)得50個(gè)數(shù)據(jù)如下（單位：水份百分比（％））3.4,2.9,4.6,3.9,3.5,2.8,3.4,4.0,3.1,3.7,3.5,3.1,2.5,4.4,3.7,3.2,3.8,3.2,3.7,3.2,3.6,3.0,3.3,4.0,3.4,3.0,4.3,3.8,3.8,3.6,3.4,2.7,3.5,3.6,3.6,3.3,3.7,3.5,4.1,3.1,3.7,3.2,3.9,4.2,3.5,2.9,3.9,3.6,3.4,3.3試評(píng)價(jià)該儀器的測(cè)量重復(fù)性及其相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差。【例3-1】【解】分別計(jì)算故該儀器的測(cè)量重復(fù)性為0.44,其估計(jì)相對(duì)誤差為0.10。

主菜單結(jié)束29二、極差法對(duì)多次獨(dú)立測(cè)得的數(shù)據(jù)，最大值，最小值當(dāng)測(cè)量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式

估算時(shí)的相對(duì)誤差

極差是測(cè)量總體標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)

主菜單結(jié)束30

極差法系數(shù)２1.130.7692.970.27163.530.2131.690.52103.080.26173.590.2142.060.43113.170.25183.640.2052.330.37123.260.24193.690.2062.530.34133.310.23203.740.2072.700.31143.410.2282.850.29153.470.22主菜單結(jié)束31三、最大誤差法測(cè)量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式

估算時(shí)的相對(duì)誤差

在已知被測(cè)量的真值的情形，多次獨(dú)立測(cè)得的數(shù)據(jù)的真誤差，其中的絕對(duì)值最大在只進(jìn)行一次性實(shí)驗(yàn)中，是唯一可用的方法主菜單結(jié)束32最大殘差法

在一般情況下，被測(cè)量的真值難以知道，無(wú)法應(yīng)用最大誤差法估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差

最大殘余誤差估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差

最大殘差法不適用于n=1的情形

主菜單結(jié)束33最大誤差法系數(shù)0.880.511.77４1230.750.451.020.680.400.83５0.640.360.74６0.610.330.68７0.580.310.64８0.560.290.61100.530.270.57200.460.230.251.250.75主菜單結(jié)束34

對(duì)某量測(cè)得數(shù)據(jù)7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，試分別用貝塞爾公式、修正貝塞爾公式、極差法、最大誤差法估計(jì)其測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差及其標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差?！纠?-2】【解】(1)用貝塞爾公式估算查表，并插值計(jì)算

主菜單結(jié)束35(2)用修正貝塞爾公式估算查表，并插值計(jì)算

(3)用極差法估算查表，得故計(jì)算結(jié)果1主菜單結(jié)束36（4）用最大誤差法估算真值未知，計(jì)算最大殘差

查表，插值計(jì)算得

故計(jì)算結(jié)果2主菜單結(jié)束37

進(jìn)行一次導(dǎo)彈發(fā)射實(shí)驗(yàn)，導(dǎo)彈著落點(diǎn)距靶心35，試求射擊的標(biāo)準(zhǔn)差?！纠?-3】【解】查表，得

故射擊的標(biāo)準(zhǔn)差為

標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差本例測(cè)量一次的情形,唯有最大誤差法可以估計(jì)其實(shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)差,由于樣本數(shù)為1，故其估計(jì)的信賴(lài)程度只有25%。主菜單結(jié)束38第四節(jié)置信區(qū)間

本節(jié)介紹如何確定誤差分布的區(qū)間性指標(biāo)，即可用于表述誤差界限的置信區(qū)間。在置信概率一定的情況下，置信區(qū)間還與誤差分布的具體形態(tài)密切相關(guān)。本節(jié)對(duì)置信區(qū)間給出一般的數(shù)學(xué)描述，而且還要針對(duì)幾種常見(jiàn)的誤差分布進(jìn)行具體討論。由于測(cè)量誤差分布與測(cè)量總體的分布之間對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的描述方式上，只是相差一個(gè)常數(shù)值，故以下均按測(cè)量總體分布來(lái)描述。主菜單結(jié)束39置信區(qū)間的基本概念置信區(qū)間計(jì)算公式測(cè)量總體的概率密度

置信概率或置信水平,為顯著水平

期望值

下半置信區(qū)間寬度，上半置信區(qū)間寬度

概率密度呈對(duì)稱(chēng)分布的情形，常取高置信水平下的置信區(qū)間半寬度又稱(chēng)為極限誤差主菜單結(jié)束40置信區(qū)間半寬度的常用表示方法或或置信因子標(biāo)準(zhǔn)差

確定置信區(qū)間半寬度的關(guān)鍵是在已估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差下如何確定置信因子

主菜單結(jié)束41一、正態(tài)分布的置信區(qū)間主菜單結(jié)束3-421、總體標(biāo)準(zhǔn)差或大樣本標(biāo)準(zhǔn)差已知的情形置信區(qū)間半寬度為置信因子由計(jì)算得到正態(tài)積分函數(shù)，可查表獲得總體標(biāo)準(zhǔn)差已知總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，但已知大樣本標(biāo)準(zhǔn)差置信概率或置信水平(單次測(cè)量)(n次測(cè)量)(單次測(cè)量)(n次測(cè)量)主菜單結(jié)束432.03.02.580.990.010.9540.0461.960.950.051.6450.900.101.00.6830.3170.67450.50.50.99730.00273.300.9990.001一些常用置信因子對(duì)應(yīng)的置信水平

主菜單結(jié)束442、小樣本標(biāo)準(zhǔn)差已知的情形

置信區(qū)間半寬度為(單次測(cè)量)置信區(qū)間半寬度為(n次測(cè)量)自由度，為樣本容量

自由度，為測(cè)量次數(shù)值可通過(guò)查分布表得到，為顯著水平

主菜單結(jié)束453、沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)差已知信息的情形

置信區(qū)間半寬度為主菜單結(jié)束46（1）大樣本情形，估計(jì)置信區(qū)間的置信因子都用正態(tài)分布；小樣本情形，則用t分布。（2）單次測(cè)量情形，估計(jì)置信區(qū)間的標(biāo)準(zhǔn)差都用單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差；多次測(cè)量情形，則用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。總結(jié)主菜單結(jié)束47

用游標(biāo)卡尺對(duì)某一試樣尺寸測(cè)量10次，假定測(cè)量服從正態(tài)分布，并已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下（單位mm）：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08(1)求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差，并估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的信賴(lài)程度；(2)求算術(shù)平均值的極限誤差（=0.9973）。【例3-5】【解】(1)分別計(jì)算故該標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)的信賴(lài)程度為

。

主菜單結(jié)束48（2）先按小樣本估計(jì)，查分布臨界值表,

有再按大樣本估計(jì)，查正態(tài)分布臨界值表，

有綜上所述：（1）算術(shù)平均值是處理等權(quán)測(cè)量數(shù)據(jù)的一個(gè)最佳估計(jì)量；（2）一般按貝塞爾公式計(jì)算和，樣本數(shù)時(shí)只能用最大誤差法計(jì)算；（3）算術(shù)平均值的極限誤差一般按確定。計(jì)算結(jié)果主菜單結(jié)束49二、其他分布的置信區(qū)間

對(duì)稱(chēng)性分布

與處理正態(tài)分布置信區(qū)間的方法相仿，可以從概率密度函數(shù)直接計(jì)算該區(qū)間概率的方式得到,并用下式表示非對(duì)稱(chēng)性分布

將非對(duì)稱(chēng)分布折算為對(duì)稱(chēng)正態(tài)分布來(lái)處理，實(shí)質(zhì)上是依分布于中點(diǎn)值表示，而折算到依均值表示。

或主菜單結(jié)束50非正態(tài)分布按正態(tài)分布折算估計(jì)范圍分別依均值和中點(diǎn)值折算到正態(tài)