2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章解三角形習(xí)題課正弦定理和余弦定理學(xué)案5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE習(xí)題課正弦定理和余弦定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1。學(xué)會利用三角形中的隱含條件.2。進(jìn)一步熟練掌握正弦、余弦定理在解各類三角形中的應(yīng)用。3.初步應(yīng)用正弦、余弦定理解決一些和三角函數(shù)、向量有關(guān)的綜合問題．知識點一有關(guān)三角形的隱含條件思考我們知道y＝sinx在區(qū)間（0，π）上不單調(diào),所以由0＜α＜β＜π得不到sinα＜sinβ。那么由A，B為△ABC的內(nèi)角且A＜B，能得到sinA＜sinB嗎？為什么？梳理“三角形”這一條件隱含著豐富的信息,利用這些信息可以得到富有三角形特色的變形和結(jié)論：（1）由A＋B＋C＝180°可得sin(A＋B）＝________,cos（A＋B)＝________，tan（A＋B）＝________，sineq\f(A＋B,2)＝________，coseq\f(A＋B，2)＝________。（2)由三角形的幾何性質(zhì)可得acosC＋ccosA＝____,bcosC＋ccosB＝____，acosB＋bcosA＝____.(3）由大邊對大角可得sinA＞sinB?A____B。(4）由銳角△ABC可得sinA____cosB。知識點二解三角形的基本類型完成下表：已知條件適用定理解的個數(shù)三邊兩邊及其夾角兩邊及一邊對角____________或____________一邊及兩角知識點三三角形有關(guān)問題的解決思路這類問題通常要借助正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角互化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題或者三角恒等式，再利用三角恒等變換解決問題,中間往往會用到一些三角形的隱含條件如內(nèi)角和等．類型一利用正弦、余弦定理解三角形引申探究1．對于例1中的條件，c·cosB＝b·cosC，能否使用余弦定理？2．例1中的條件c·cosB＝b·cosC的幾何意義是什么？例1在△ABC中,若c·cosB＝b·cosC，cosA＝eq\f（2，3），求sinB的值．反思與感悟（1）邊、角互化是處理三角形邊、角混合關(guān)系的常用手段；(2)解題時要畫出三角形，將題目條件直觀化,根據(jù)題目條件，靈活選擇公式．跟蹤訓(xùn)練1在△ABC中,已知b2＝ac,a2－c2＝ac－bc.(1)求A的大??；（2）求eq\f(bsinB，c）的值．類型二正弦、余弦定理與三角變換的綜合應(yīng)用例2在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對邊，4sin2eq\f（B＋C，2）－cos2A＝eq\f（7，2）。(1）求A的度數(shù);（2)若a＝eq\r（3),b＋c＝3，求b和c的值．反思與感悟（1)解三角形的實質(zhì)是解方程，利用正弦、余弦定理,通過邊、角互化，建立未知量的代數(shù)方程或三角方程．（2)三角形內(nèi)角和定理在判斷角的范圍、轉(zhuǎn)化三角函數(shù)、檢驗所求角是否符合題意等問題中有著重要的作用．跟蹤訓(xùn)練2在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a,b，c,a2＋c2－b2＝eq\f（6,5）ac。求2sin2eq\f(A＋C,2)＋sin2B的值．類型三正弦、余弦定理與平面向量的綜合應(yīng)用例3在△ABC中，a，b,c分別是角A，B，C的對邊，cosB＝eq\f(3，5），a＝7且eq\o(AB，\s\up6（→)）·eq\o（BC，\s\up6(→）)＝－21.求角C。反思與感悟利用向量的有關(guān)知識,把問題化歸為三角形的邊角關(guān)系,再結(jié)合正弦、余弦定理解三角形．跟蹤訓(xùn)練3已知△ABC的三內(nèi)角A，B,C所對的邊分別是a，b，c，設(shè)向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(eq\r（3)a＋c,sinB－sinA），若m∥n,則角B的大小為________．1．在銳角△ABC中，角A，B所對的邊分別為a,b，若2asinB＝eq\r(3）b，則角A等于（)A.eq\f（π,12)B。eq\f（π,6）C。eq\f（π,4）D。eq\f(π，3）2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r(10），則eq\o（BA，\s\up6(→））·eq\o(AC，\s\up6(→))＝________.3．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若這個三角形有兩解,則x的取值范圍是________．1．對于給出條件是邊角關(guān)系混合在一起的問題，一般運用正弦定理和余弦定理，把它統(tǒng)一為邊的關(guān)系或把它統(tǒng)一為角的關(guān)系．再利用三角形的有關(guān)知識，三角恒等變形方法、代數(shù)恒等變形方法等進(jìn)行轉(zhuǎn)化、化簡，從而得出結(jié)論．2．解決正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用問題，應(yīng)注意根據(jù)具體情況引入未知數(shù),運用方程思想來解決問題;平面向量與解三角形的交匯問題，應(yīng)注意準(zhǔn)確運用向量知識轉(zhuǎn)化為解三角形問題，再利用正弦、余弦定理求解．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考能．由于三角形中大邊對大角,∴當(dāng)A＜B時，有a＜b。由正弦定理，得2RsinA＜2RsinB，從而有sinA＜sinB。梳理（1)sinC－cosC－tanCcoseq\f（C,2)sineq\f(C，2）（2）bac（3)＞(4）＞知識點二余弦定理1余弦定理1正弦定理余弦定理0，1，2正弦定理1題型探究例1解由c·cosB＝b·cosC，結(jié)合正弦定理，得sinCcosB＝sinBcosC，故sin（B－C）＝0，∵0<B〈π，0<C〈π，∴－π<B－C<π，∴B－C＝0，B＝C，故b＝c.∵cosA＝eq\f（2,3)，∴由余弦定理，得3a2＝2b2，再由余弦定理，得cosB＝eq\f(\r(6),6)，故sinB＝eq\f(\r(30)，6)。引申探究1．解由余弦定理,得c·eq\f（a2＋c2－b2,2ac)＝b·eq\f(a2＋b2－c2，2ab)?；喌胊2＋c2－b2＝a2＋b2－c2,∴c2＝b2，從而c＝b。2．解如圖，作AD⊥BC，垂足為D.則c·cosB＝BD，b·cosC＝CD?！郼cosB＝bcosC的幾何意義為邊AB，AC在BC邊上的射影相等．跟蹤訓(xùn)練1解（1)由題意知，b2＝ac?cosA＝eq\f（b2＋c2－a2，2bc）＝eq\f(ac＋bc－ac，2bc）＝eq\f(1，2)，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π，3)。(2）由b2＝ac，得eq\f(b，c）＝eq\f（a，b)，∴eq\f(bsinB,c)＝sinB·eq\f（a，b）＝sinB·eq\f（sinA,sinB)＝sinA＝eq\f（\r（3),2）.例2解（1）由4sin2eq\f(B＋C，2)－cos2A＝eq\f（7，2)及A＋B＋C＝180°，得2[1－cos（B＋C）］－2cos2A＋1＝eq\f(7,2），4(1＋cosA)－4cos2A＝5,即4cos2A－4cosA＋1＝0，∴（2cosA－1）2＝0，解得cosA＝eq\f(1，2）.∵0°<A〈180°，∴A＝60°。（2)由余弦定理，得cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc）.∵cosA＝eq\f(1,2)，∴eq\f（b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，化簡并整理,得（b＋c）2－a2＝3bc，將a＝eq\r（3）,b＋c＝3代入上式,得bc＝2。則由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝3，，bc＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,c＝2)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（b＝2，,c＝1。)）跟蹤訓(xùn)練2解由已知得eq\f(a2＋c2－b2，2ac）＝eq\f（3,5)，所以cosB＝eq\f(3，5），sinB＝eq\r(1－cos2B）＝eq\f（4，5)，所以2sin2eq\f（A＋C，2）＋sin2B＝2cos2eq\f（B，2）＋sin2B＝1＋cosB＋2sinBcosB＝1＋eq\f(3,5）＋2×eq\f（4,5）×eq\f(3，5）＝eq\f（64,25）。例3解∵eq\o（AB,\s\up6(→）)·eq\o（BC，\s\up6(→)）＝－21，∴eq\o(BA,\s\up6(→）)·eq\o（BC，\s\up6（→）)＝21.∴eq\o(BA，\s\up6（→）)·eq\o(BC,\s\up6(→)）＝|eq\o（BA,\s\up6(→））｜·｜eq\o(BC，\s\up6（→))|·cosB＝accosB＝21。∴ac＝35，又∵a＝7，∴c＝5.∵cosB＝eq\f（3，5），∴sinB＝eq\f（4,5）.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝32，∴b＝4eq\r(2)。由正弦定理,得eq\f(c,sinC）＝eq\f(b,sinB),∴sinC＝eq\f(c，b）sinB＝eq\f（5,4\r（2))×eq\f（4,5)＝eq\f（\r（2),2)?！遚<b且B為銳角,∴C一定是銳角．∴C＝45°.跟蹤訓(xùn)練3150°解析∵m∥n，∴（a＋b）（sinB－sinA)－sinC（eq\r（3）a＋c）＝0，由正弦定理,得（a＋b)(b－a）＝c（