彈塑性力學(xué)第11章

第十一章

塑性力學(xué)基礎(chǔ)§11-1金屬材料的力學(xué)實驗及幾種簡化力學(xué)模型§11-2一維問題彈塑性分析§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)§11-4屈服條件§11-5理想彈塑性厚壁筒受內(nèi)壓力§11-6彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論2/5/20231§11-1金屬材料的力學(xué)實驗及幾種簡化力學(xué)模型1.1單向拉壓實驗：不同材料在單向拉壓實驗中，有不同的應(yīng)力－應(yīng)變曲線。

BAC

so

p

e

e

pBAC

so

p

e’sO’軟鋼-合金鋼-

2/5/20232§11-1金屬材料的力學(xué)實驗及幾種簡化力學(xué)模型當(dāng)應(yīng)力－應(yīng)變曲線在OA范圍內(nèi)變化，材料為彈性變化。當(dāng)應(yīng)力達到s時（軟鋼有明顯屈服發(fā)生(AB段），合金鋼無明顯屈服發(fā)生）將發(fā)生塑性變形。確定材料發(fā)生塑性變形的條件為BAC

so

p

e

e

pBAC

so

p

e’sO’軟鋼-

合金鋼-

2/5/20233§11-1金屬材料的力學(xué)實驗及幾種簡化力學(xué)模型

f()=-s=0

初始屈服條件（函數(shù)）當(dāng)軟鋼應(yīng)力達到A點后，軟鋼有明顯屈服（塑性流動）階段。經(jīng)過屈服階段后，荷載可再次增加（稱為強化階段，BC段），但強化階段

增幅較少。BAC

so

p

e

e

pBAC

so

p

e’sO’軟鋼-合金鋼-

2/5/20234§11-1金屬材料的力學(xué)實驗及幾種簡化力學(xué)模型對于此種材料（有明顯屈服流動，強化階段應(yīng)力較少）屈服條件是不變的。當(dāng)應(yīng)力滿足屈服條件時，卸載將有殘余變形，即塑性變形存在。卸載按線性彈性。BAC

so

p

e

e

pBAC

so

p

e’sO’軟鋼-合金鋼-

2/5/20235§11-1金屬材料的力學(xué)實驗及幾種簡化力學(xué)模型而對于合金鋼，無明顯屈服，當(dāng)

s時進入強化階段，在加載即發(fā)生彈性變形和塑性變形，卸載按線彈性。對于強化特性明顯的材料，由O’點繼續(xù)加載，在O’B段又是線性彈性變化，當(dāng)

達到B點再次發(fā)生塑性變形，BAC

so

p

e’sO’-’s=0——后繼屈服函數(shù)’s=’s(p)2/5/20236§11-1金屬材料的力學(xué)實驗及幾種簡化力學(xué)模型BAC

so’sO’’s’’

包辛格效應(yīng)當(dāng)卸載后，反向加載時，有些金屬材料反映出反向加載的屈服極限’’s

s——稱為包辛格效應(yīng)（Bauschinger.J.德國人）。2/5/20237§11-1金屬材料的力學(xué)實驗及幾種簡化力學(xué)模型小結(jié)：

（1）在彈性階段（

s）：=e

應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系一一對應(yīng)。（2）當(dāng)應(yīng)力達到初始屈服條件（=s時），材料進入彈塑性階段，=

e+p，應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系不再是一一對應(yīng)關(guān)系，而要考慮加載變形歷史。（3）對于有明顯屈服流動且強化階段較小的材料，屈服條件采用初始屈服條件。對于無明顯屈服流動且強化階段較高的材料，將有后繼屈服函數(shù)產(chǎn)生。（4）有些強化材料具有包辛格效應(yīng)。2/5/20238§11-1金屬材料的力學(xué)實驗及幾種簡化力學(xué)模型1.2常見的幾種簡化力學(xué)模型

1.理想彈塑性模型：加載時：

=E

s

=s

s

so

s理想彈塑性模型2/5/20239§11-1金屬材料的力學(xué)實驗及幾種簡化力學(xué)模型2.線性強化彈塑性模型：

加載時：=E

s

=Es+Et(-s)

s

so

sEEt線性強化彈塑性模型2/5/202310§11-1金屬材料的力學(xué)實驗及幾種簡化力學(xué)模型在實際問題中，有時當(dāng)彈性應(yīng)變

e

p

塑性應(yīng)變，可忽略彈性變形。上述兩種模型分別簡化為：

s

時,=0

so

=s

soEt

s+Et理想剛塑性模型

線性強化剛塑性模型2/5/202311§11-1金屬材料的力學(xué)實驗及幾種簡化力學(xué)模型1.3金屬材料在靜水壓力實驗：

前人（Bridgman）對大量金屬進行水壓力實驗及拉壓和靜水壓力聯(lián)合實驗，得到下列結(jié)果：在靜水壓力(高壓)p作用下,金屬體積應(yīng)變e=V/V=p/k成正比，當(dāng)p達到或超過金屬材料的s時，e與p仍成正比；并且除去壓力后，體積變化可以恢復(fù)，金屬不發(fā)生塑性變形。2/5/202312§11-1金屬材料的力學(xué)實驗及幾種簡化力學(xué)模型2.金屬受靜水壓力和拉壓聯(lián)合作用與金屬單獨受拉壓作用比較，發(fā)現(xiàn)靜水壓力對初始屈服應(yīng)力s沒有影響。結(jié)論：靜水壓力與塑性變形無關(guān)。2/5/202313§11-2一維問題彈塑性分析1.拉壓桿的彈塑性問題圖示為兩端固定的等截面桿(超靜定桿)，

aPN2EAxN1b設(shè)材料為理想彈塑性材料，在x=a處（ba）作用一逐漸增大的力P。平衡條件:

N1+N2=P變形協(xié)調(diào)條件：a+b=0

so

s理想彈塑性模型2/5/202314§11-2一維問題彈塑性分析（1）彈性解：

當(dāng)桿處于彈性階段，桿兩部分的伸長為代入變形協(xié)調(diào)方程為或由于ba，所以N1N2，將代入平衡方程。2/5/202315§11-2一維問題彈塑性分析

得

最大彈性荷載

力P

作用點的伸長為

2/5/202316§11-2一維問題彈塑性分析(2)彈塑性解Pp

P

Pe:P=Pe

后，P可繼續(xù)增大，而N1=sA

不增加（a段進入塑性屈服，但b段仍處于彈性）

N2=P-N1=P-sA

力P

作用點的伸長取決于b段桿的變形2/5/202317§11-2一維問題彈塑性分析2/5/202318§11-2一維問題彈塑性分析(3)塑性解：

PPpPee

N1=sA,N2=sA

這時桿件變形顯著增加，喪失承載能力則最大荷載Pp=2sA

——極限荷載2/5/202319§11-2一維問題彈塑性分析作業(yè)：圖示桁架各桿截面面積為A,材料為理想彈塑性,求荷載

P

與C

點豎向位移關(guān)系。

PABCDl2/5/202320§11-2一維問題彈塑性分析-ss(1)材料為理想彈塑性;xMMy2.梁的彈塑性彎曲

2.1

假設(shè):

(2)平截面假設(shè)(適用于lh);(3)截面上正應(yīng)力

x

對變形影響為主要的;2/5/202321§11-2一維問題彈塑性分析2.2梁具有兩個對稱軸截面的彈塑性彎曲:(1)梁的彎矩zybh在線彈性階段彈性極限狀態(tài)（設(shè)矩形截面）:M=Me在截面上y=h/2處，

或

——最大彈性彎矩xMMy2/5/202322§11-2一維問題彈塑性分析h/2-+ssss-+y0y0y彈塑性階段：MpMMe彎矩繼續(xù)增大，截面上塑性區(qū)域向中間擴展，塑性區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力保持不變，截面上彎矩為2/5/202323§11-2一維問題彈塑性分析當(dāng)y0=h/2時：h/2-+ssss-+y0y0y——最大彈性彎矩2/5/202324§11-2一維問題彈塑性分析當(dāng)y0=0時：h/2-+ssss-+y0y0y-ss+——極限彎矩2/5/202325§11-2一維問題彈塑性分析令

=Mp/Me=1.5（矩形截面）——

截面形狀系數(shù)。1.51.71.15-1.17截面形狀2/5/202326§11-2一維問題彈塑性分析

截面彎矩達到極限彎矩時，其附近無限靠近的相鄰兩截面可發(fā)生有限相對轉(zhuǎn)角，該截面稱為塑性鉸。對于靜定梁，截面彎矩達到極限彎矩時，結(jié)構(gòu)變成機構(gòu)，承載力已無法增加。這種狀態(tài)稱為極限狀態(tài)。2/5/202327§11-2一維問題彈塑性分析（2）梁彈塑性彎曲時的變形在線彈性階段，梁彎矩和曲率的關(guān)系為線性關(guān)系M=EI

(M

Me),或

將應(yīng)力與彎矩關(guān)系式

代入上式,可得2/5/202328§11-2一維問題彈塑性分析在彈塑性階段，由于梁彎曲時截面仍然保持平面，可得或代入梁彈塑性彎曲時M的表達式

得ss-+y0y0y2/5/202329§11-2一維問題彈塑性分析

(M

Me)MMpMeeo(3)梁彈塑性彎曲時的卸載：卸載是以線彈性變化，卸載后梁截面的彎矩M=0,但截面內(nèi)的應(yīng)力不為零，有殘余應(yīng)力存在。以矩形截面為例：2/5/202330§11-2一維問題彈塑性分析s+-+-s+=--++2/5/202331§11-2一維問題彈塑性分析2.3梁具有一個對稱軸截面的彈塑性彎曲:xMMyzybh具有一個對稱軸截面梁的彈塑性彎曲特點：隨著彎矩的增大，中性軸的位置而變化。中性軸的位置的確定：2/5/202332§11-2一維問題彈塑性分析zybh在彈性階段：應(yīng)力為直線分布，中性軸通過截面的形心。

最大彈性彎矩

Me=sW-+s2/5/202333§11-2一維問題彈塑性分析zybh-+ss+-F1F2在彈塑性階段：中性軸的位置由截面上合力為零來確定:

F1=F22/5/202334§11-2一維問題彈塑性分析-+ss-+ss+-F1F2zybh在塑性流動階段：受拉區(qū)應(yīng)力和受壓區(qū)應(yīng)力均為常數(shù)，中性軸的位置由截面上合力為零來確定:

F1=F2

或sA1=sA2

得A1=A2

——中性軸的位置由受拉區(qū)截面面積等于受壓區(qū)截面面積確定。2/5/202335§11-2一維問題彈塑性分析極限彎矩

Mp=s(S1+S2)

S1和S2分別為面積A1和A2對等面積軸的靜矩。作業(yè)：已知理想彈塑性材料的屈服極限為s,試求(1)圖示梁截面的極限彎矩Mp,（2）當(dāng)M/Me=1.2時，y0的值為多少?aazya)aazyb)2/5/202336§11-2一維問題彈塑性分析超靜定梁由于具有多余約束，因此必須有足夠多的塑性鉸出現(xiàn)，才能使其變?yōu)闄C構(gòu)。

下面舉例說明這個過程。一端固定、一端簡支的等截面梁，跨中受集中荷載作用。2.4超靜定梁的極限荷載Pl/2l/2ACB2/5/202337§11-2一維問題彈塑性分析固定端彎矩最大，2）在彈塑性階段：固定端首先發(fā)生塑性區(qū)域，隨著荷載增加、固定端成為第一個塑性鉸。1）在線彈性階段Pl/2l/2ACBP6Pl/32ACB5Pl/32Pe<P<PPMPACB2/5/202338§11-2一維問題彈塑性分析固定端彎矩保持Mp，當(dāng)荷載增加到極限荷載時，跨中彎矩達到Mp。3）極限狀態(tài)Pl/2l/2ACBMPMP極限荷載Pp的確定可采用靜力法，也可采用虛功法

。Pe<P<PPMPACB2/5/202339§11-2一維問題彈塑性分析根據(jù)平衡方程靜力法Pl/2l/2ACBMPMP虛功法求得PpPMPMP2/5/202340§11-2一維問題彈塑性分析結(jié)構(gòu)在極限狀態(tài)時，應(yīng)滿足3個條件（1）、機構(gòu)條件——成為幾何可變體系（2）、內(nèi)力局限條件——內(nèi)力不超過極限彎矩（3）、平衡條件——始終滿足平衡條件2/5/202341§11-2一維問題彈塑性分析作業(yè)：已知理想彈塑性材料的等截面梁，試求極限荷載。Pll(b)Pll(a)2/5/202342§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)3.1應(yīng)力偏量的不變量和應(yīng)變偏量的不變量：

在第二章第六節(jié)介紹了應(yīng)力張量分解：其中Sij

為應(yīng)力偏量。類似應(yīng)力張量分解，可將應(yīng)變張量分解為：2/5/202343§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)應(yīng)力張量

ij存在三個不變量

、

和

。2/5/202344§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)類似、

和

的定義。1.可求應(yīng)力偏量

sij

的三個不變量：

2/5/202345§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)2/5/202346§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)2/5/202347§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)2/5/202348§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)在主軸方向：2/5/202349§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)2.應(yīng)變偏量eij

的三個不變量：

第一不變量：第二不變量：2/5/202350§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)在主軸方向：第三不變量：2/5/202351§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)在單向拉伸時，三個主應(yīng)力已知：1

0、2=3=0

代入

J2表達式,得對于三維應(yīng)力狀態(tài)，定義每一點應(yīng)力狀態(tài)都存在力學(xué)效應(yīng)相同的等效應(yīng)力e

3.2等效應(yīng)力

e

和等效應(yīng)變

e

：

1.等效應(yīng)力e

(應(yīng)力強度)：

或

——等效應(yīng)力2/5/202352§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)2/5/202353§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)2.等效應(yīng)變

e：

單向拉伸時1

0、2=3=-1

代入

表達式,得2/5/202354§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)當(dāng)桿受拉伸進入塑性階段，認(rèn)為體積應(yīng)變

e=0，即

1+2+

3=(1-2)1=0,得此時類似于e

的定義，在三維應(yīng)力狀態(tài)定義等效應(yīng)變e：2/5/202355§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)

e以發(fā)生塑性變形定義的量（由

1、2、3

定義）2/5/202356§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)這個等效應(yīng)變增量de在建立彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論用到

在變形過程中的每一瞬時，發(fā)生應(yīng)變增量（d1、d2、d3），則可定義瞬時的等效應(yīng)變增量：2/5/202357§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)M(1+3)/2123P1P3P23.3羅德（Lode）參數(shù)：1.應(yīng)力羅德參數(shù)：在應(yīng)力莫爾圓中描述一點的應(yīng)力狀態(tài)123，當(dāng)1、3確定,則最大圓半徑確定(1-3)/2，但2的變化可導(dǎo)致兩個內(nèi)圓的比例或大小。這兩個內(nèi)圓的比例或大小可由羅德參數(shù)描述。2/5/202358§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)M為P1和P3的中點,定義應(yīng)力羅德參數(shù)

M(1+3)/2123P1P3P22/5/202359§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)當(dāng)2=1時,,

=1當(dāng)

2=3時,=-1

-1

12/5/202360§11-3

應(yīng)力、應(yīng)變偏量的不變量和等效應(yīng)力e、等效應(yīng)變e、羅德（Lode）參數(shù)2.應(yīng)變羅德參數(shù)：

2/5/202361§11-4屈服條件4.1一維問題屈服條件:

一維問題包括：桿系的拉壓（桁架）問題、圓桿扭轉(zhuǎn)問題、梁的純彎曲問題。這些問題每一點的應(yīng)力狀態(tài)（在彈性和彈塑性階段）主方向始終不變，且知道它們的方向，所以了解不同材料在單向桿件拉壓的屈服條件就可以應(yīng)用到上述問題。2/5/202362§11-4屈服條件4.1一維問題屈服條件:

1.屈服條件：

理想彈塑性材料的屈服條件為：

f()=-k=-s=0

so

pE在屈服階段，發(fā)生塑性變形。卸載后，再加載屈服條件不變。2/5/202363§11-4屈服條件

s

o

pEEt

eABDFC線性強化彈塑性材料的屈服條件：加載：當(dāng)

s時，材料為彈性變形；當(dāng)

=s時，開始發(fā)生塑性變形:f()=-k=-s=0——初始屈服函數(shù)當(dāng)

s是強化階段，發(fā)生彈塑性變形。2/5/202364§11-4屈服條件卸載：如在強化階段的B點卸載，按線彈性卸載至C點，有塑性應(yīng)變保留（p=-e=-E）。如再次加載，則由C點沿CB按線彈性變化（不產(chǎn)生新的塑性變形）。

s

o

pEEt

eABDFC當(dāng)應(yīng)力達到

B點時，B點應(yīng)力為新的屈服極限，稱為后繼屈服極限。2/5/202365§11-4屈服條件f()=-k=-B=0

——后繼屈服函數(shù)。

k=H(p)——k

與塑性變形歷史有關(guān)。

s

o

pEEt

eABDFC2/5/202366§11-4屈服條件或：

2/5/202367§11-4屈服條件

s

o

pEEt

eABDFC2/5/202368§11-4屈服條件小結(jié)：

理想彈塑性和強化彈塑性材料的一維屈服函數(shù)形式均可寫成

f()=-k=0

——后繼屈服函數(shù)k=s

理想彈塑性k=H(p)

強化彈塑性2/5/202369§11-4屈服條件2.加載、卸載準(zhǔn)則:對于一維問題屈服條件已建立，由前面的討論可知：強化材料，當(dāng)

s時，加載和卸載的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是不同的，加載服從于彈塑性規(guī)律；卸載服從彈性關(guān)系。這是材料在塑性階段的一個重要特點，所以需要有一個判別材料是加載還是卸載的準(zhǔn)則。

2/5/202370§11-4屈服條件強化材料：f()=-k=0d

0

加載過程（從一個屈服點到達后繼

的另一屈服點

d=Etd=Et(de+dp)）d

0

卸載過程

d=Edd=0

中性變載

s

oEEtAB2/5/202371§11-4屈服條件理想彈塑性材料：d=0

加載過程

d=0d

0

卸載過程

d=Ed

soEB2/5/202372§11-4屈服條件4.2三維應(yīng)力狀態(tài)的屈服條件

1.金屬材料三維應(yīng)力狀態(tài)的屈服條件與何有關(guān)三維應(yīng)力狀態(tài)的屈服條件

f=0

與何有關(guān)？f(ij

,k)=f(1,2,3,k)=0類似于一維應(yīng)力的屈服條件

f(,k)=0，三維應(yīng)力狀態(tài)的屈服條件應(yīng)力2/5/202373§11-4屈服條件f(ij

,k)=f(1,2,3,k)=0

k=const

——

理想彈塑性材料

k=H((ij

)p)

——

強化彈塑性材料，

與變形歷史有關(guān)。屈服條件也可寫為：f(

，

,

，k)=0

對于金屬材料的力學(xué)實驗得出靜水壓力對金屬材料的屈服無影響，則屈服條件

f=0可由應(yīng)力偏量或應(yīng)力偏量的不變量表示（J1=0）:2/5/202374§11-4屈服條件

f(sij

,k)=f(s1,s2,s3,k)=f(J2,J3,k)=02.主應(yīng)力空間和

平面

(1)主應(yīng)力空間:在外載的作用下，每點產(chǎn)生確定的應(yīng)力，通常以應(yīng)力分量（張量）ij表示，但應(yīng)力張量的分量ij隨坐標(biāo)系選取的不同而變化的。但應(yīng)力張量的三個主應(yīng)力1,2,3

是不隨坐標(biāo)系改變而變化。以三個主應(yīng)力為三維直角坐標(biāo)系來討論一點應(yīng)力狀態(tài)形象、直觀、易理解。2/5/202375§11-4屈服條件以三個主應(yīng)力為三維坐標(biāo)系，則變形體內(nèi)任一點

P的應(yīng)力狀態(tài)可在主應(yīng)力空間找到P(1,2,3)相應(yīng)的位置。1R32OQP(1,2,3)n

——矢量表示任一點

P的三個主應(yīng)力2/5/202376§11-4屈服條件(2)

平面

平面：是通過主應(yīng)力空間坐標(biāo)原點

O的平面，其平面的法線為

即法線的三個方向余弦相等，均為

2/5/202377§11-4屈服條件模：

(3)應(yīng)力矢量

沿

平面內(nèi)和

平面法線（）方向分解:

1R32OQP(1,2,3)n應(yīng)力球張量：2/5/202378§11-4屈服條件應(yīng)力偏張量：1R32OQP(1,2,3)n應(yīng)力偏張量的模：2/5/202379§11-4屈服條件由靜水壓力實驗知：靜水壓力（應(yīng)力球張量）不產(chǎn)生塑性變形，所以由主應(yīng)力空間一點應(yīng)力矢量

可見，當(dāng)

增加（或減少），也增加（或減少），對塑性無影響，而使達到屈服時依賴的增加.1R32OQP(1,2,3)n2/5/202380§11-4屈服條件換句話說，三維應(yīng)力狀態(tài)的屈服函數(shù)（曲面）與

平面相交于閉合曲線，當(dāng)在閉合曲線內(nèi)，則

P點應(yīng)力是彈性的，當(dāng)

達到閉合曲線，P點達到屈服極限。1R32OQP(1,2,3)n2/5/202381§11-4屈服條件3.兩個常見的屈服條件：

（1）Tresca（屈雷斯卡）屈服條件：1864年法國工程師Tresca

通過金屬（鉛）作了一系列擠壓實驗，結(jié)果提出當(dāng)最大剪應(yīng)力達到一定數(shù)值時（k），材料進入塑性狀態(tài)。

即當(dāng)：

1

2

3

（已知）

（初始屈服條件）2/5/202382§11-4屈服條件

k

值可由實驗確定：采用純剪實驗,1=-3=s,2=0,代入Tresca屈服條件得

1-3=s

，

則

k=s/2，得1-3=2s，則k=s（剪切屈服極限）.采用單向拉伸實驗：1=s,2=3=0,s（拉伸屈服極限）,代入Tresca

屈服條件2/5/202383§11-4屈服條件由兩個實驗結(jié)果都可得到k，如果要求兩個k值相同，則必須有s=s/2，但對大多數(shù)金屬

s

s/2。1-2=2k

2-3=2k

3-1=2k

k=s

或

k=s/2

當(dāng)三個主應(yīng)力大小和次序不知道時

Tresca條件：2/5/202384§11-4屈服條件在平面問題中：3=0，則Tresca條件為1321-2=2k、2=2k

、1=2k

1222k12k1-22k六個平面方程在主應(yīng)力空間圍成正六面體2/5/202385§11-4屈服條件（2）Mises（米澤斯）屈服條件：1913年德國力學(xué)家Mises對Tresca屈服條件進行修正，Tresca條件的不足是：a.未考慮中間主應(yīng)力的影響；b.

由六個平面方程（線性函數(shù)）構(gòu)成屈服函數(shù)不光滑，在數(shù)學(xué)上處理不方便，因此Mises建議用一個圓柱面代替Tresca的正六棱柱面。由于圓柱體垂直

平面的，由前面已知，圓柱面的半徑r可由應(yīng)力偏量的第二不變量表示，2/5/202386§11-4屈服條件312——應(yīng)力偏張量的模等于常數(shù)或

——Mises屈服條件k1

值可由實驗確定：如采用純剪實驗,1=-3=s,2=0,

2/5/202387§11-4屈服條件代入Mises屈服條件，得

。Mises

屈服條件為：如采用單向拉伸實驗：1=s,2=3=0,代入Mises

屈服條件，得

。Mises條件為：2/5/202388§11-4屈服條件由兩個實驗結(jié)果都可得到k1，如果要求兩個k1值相同，則必須有

，對于大多數(shù)金屬材料的剪切屈服極限和拉伸屈服極限的關(guān)系基本接近

。如果以s（單向拉伸）為屈服條件的控制參數(shù)，則Mises條件的曲面圓柱為Tresca正六面體的外接圓柱體。3122/5/202389§11-4屈服條件如果以s（純剪切）為屈服條件的控制參數(shù)，則Mises條件的曲面圓柱為Tresca正六面體的內(nèi)接圓柱體。3123122/5/202390§11-4屈服條件例：薄壁圓管內(nèi)徑為

a,厚度為

。受拉力P和扭矩

MT共同作用，材料s為單向拉伸屈服極限，試寫Tresca和Mises屈服條件表達式。

zPMTPMTaa解：

薄壁圓管的應(yīng)力:2/5/202391§11-4屈服條件主應(yīng)力:Tresca屈服條件（以s屈服條件為控制參數(shù)）：1-3=s

或

2/5/202392§11-4屈服條件

Mises屈服條件：或

一些韌性較好材料（如鋼、銅、鋁）的薄壁圓管的實驗結(jié)果比較符合Mises屈服條件。TrescMises0.580.51.0z/sz/s2/5/202393§11-4屈服條件作業(yè)：薄壁圓筒容器受內(nèi)壓p的作用，薄壁圓筒容器直徑D=100mm,壁厚=5mm,材料為理想彈塑性的，屈服極限為s=300MPa.試用Tresca和Mises屈服條件求極限壓力。Ｄp2/5/202394§11-4屈服條件4．加載、卸載準(zhǔn)則（1）理想塑性材料加載和卸載因理想塑性材料不發(fā)生強化，f=0不變的。當(dāng)應(yīng)力在屈服面上移動f=0

且

加載當(dāng)應(yīng)力由屈服面退回屈服面內(nèi)趨勢時，但f=0

且

卸載ijddnf=02/5/202395§11-4屈服條件（2）強化材料加載、卸載

f=0且

加載中性變載

卸載ijddnf=0d2/5/202396§11-5理想彈塑性厚壁筒受內(nèi)壓力設(shè)內(nèi)半徑為a，外半徑為b的厚壁圓筒，在內(nèi)表面處作用均勻壓力p，

圓筒材料為理想彈塑性材料。本問題為軸對稱平面應(yīng)變問題。abp彈性分析當(dāng)內(nèi)壓

p較小時，厚壁圓筒處于彈性狀態(tài)，其中的應(yīng)力分量為2/5/202397§11-5理想彈塑性厚壁筒受內(nèi)壓力(a)隨著壓力p的增加，圓筒內(nèi)環(huán)向應(yīng)力和徑向應(yīng)力的絕對值都不斷增加，若圓筒處在平面應(yīng)變狀態(tài)下，其軸向應(yīng)力也在增加。2/5/202398§11-5理想彈塑性厚壁筒受內(nèi)壓力當(dāng)應(yīng)力分量的組合達到某一臨界值時，該處材料進入塑性變形狀態(tài)

，并逐漸形成塑性區(qū)。彈塑性分析

對于厚壁圓筒的軸對稱平面應(yīng)變問題，因此每一點的主應(yīng)力方向都知道：1=、：2=z=(r+)/2、3=r，其屈服條件可以簡化為：2/5/202399§11-5理想彈塑性厚壁筒受內(nèi)壓力Mises屈服條件：Tresca屈服條件：(b)

由于這兩種屈服條件，在這里假設(shè)的條件下只相差一個系數(shù)，因此在進行分析時可按Tresca條件計算，將結(jié)果中的

s

乘以一個系數(shù)，就變成了按Mises

屈服條件的結(jié)果。2/5/2023100§11-5理想彈塑性厚壁筒受內(nèi)壓力

隨著壓力p

的增加，圓筒在內(nèi)壁r=a

處-r

有最大值，即筒體由內(nèi)壁開始屈服。若此時的內(nèi)壓為pe

。由(a)式和(b)式可以求得彈性極限壓力為(c)當(dāng)p>pe

時，在筒體內(nèi)壁附近出現(xiàn)塑性區(qū)，并且隨著內(nèi)壓的增加，塑性區(qū)逐漸向外擴展，而外壁附近仍為彈性區(qū)。2/5/2023101§11-5理想彈塑性厚壁筒受內(nèi)壓力由于應(yīng)力組合

-r的軸對稱性，塑性區(qū)與彈性區(qū)的分界面為圓柱面。

筒體處于彈塑性狀態(tài)下的壓力為pp

，彈塑性分界半徑為c。此時對于彈性區(qū)和塑性區(qū)也可按兩個厚壁圓筒分別進行討論。r=cr=cr=c2/5/2023102§11-5理想彈塑性厚壁筒受內(nèi)壓力由于軸對稱性，在內(nèi)筒的外壁和外筒內(nèi)壁分別作用均布徑向壓力rr=c=q，為求解塑性區(qū)的應(yīng)力分量，應(yīng)滿足平衡方程與屈服條件，即r=cr=cr=c2/5/2023103§11-5理想彈塑性厚壁筒受內(nèi)壓力將屈服條件代入平衡方程，即得

或

將上式進行積分，得積分常數(shù)A

可由內(nèi)壁的邊界條件定出:A=-pp-slna。2/5/2023104§11-5理想彈塑性厚壁筒受內(nèi)壓力代入上式可求得r，再由屈服條件，可求出

，即求得塑性區(qū)的應(yīng)力分量為：(d)

由上式可知，塑性區(qū)的應(yīng)力分量是靜定的，它僅與內(nèi)壓pp

有關(guān)，而與彈性區(qū)的應(yīng)力無關(guān)。而且在塑性區(qū)內(nèi)

>0,r<0

。2/5/2023105§11-5理想彈塑性厚壁筒受內(nèi)壓力

為求彈性區(qū)的應(yīng)力分量，將彈性區(qū)作為內(nèi)半徑為c，外半徑為b，承受內(nèi)壓q

的厚壁圓筒，由(a)式可得r=cr=cr=c2/5/2023106§11-5理想彈塑性厚壁筒受內(nèi)壓力