2017-2018版高中數(shù)學(xué)第四章函數(shù)應(yīng)用1.2利用二分法求方程的近似解學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1.2利用二分法求方程的近似解學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解二分法的原理及其適用條件.2.掌握二分法的實(shí)施步驟。3.體會(huì)二分法中蘊(yùn)含的逐步逼近與程序化思想．知識(shí)點(diǎn)一二分法的原理思考通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道f（x)＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)在區(qū)間(2，3）內(nèi)，如何縮小零點(diǎn)所在區(qū)間(2,3）的范圍?梳理二分法的概念如果在區(qū)間[a，b］上,函數(shù)f(x）的圖像是______________________,且__________________，則區(qū)間［a，b]內(nèi)有方程f（x）＝0的解．依次取有解________________，如果取到某個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)x0，恰使f(x0）＝0,則x0就是所求的一個(gè)解；如果區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值總不等于零，那么，不斷地重復(fù)上述操作，就得到一系列閉區(qū)間，方程的一個(gè)解在這些區(qū)間中，區(qū)間長(zhǎng)度____________，端點(diǎn)逐步逼近方程的解，可以得到一個(gè)近似解．像這樣每次__________________,________________________，再經(jīng)比較,按需要留下其中一個(gè)小區(qū)間的方法稱為二分法．知識(shí)點(diǎn)二精度與精確到思考“精確到0.1"與“精度為0。1”一樣嗎？梳理在許多實(shí)際應(yīng)用中，不需要求出方程精確的解，只要滿足一定的精度就可以．設(shè)eq\o(x，\s\up6（^)）是方程f(x）＝0的一個(gè)解，給定正數(shù)ε，若x0滿足__________________,就稱x0是滿足精度ε的近似解．為了得到滿足精度ε的近似解，只需找到方程的一個(gè)有解區(qū)間［a，b]，________________________，那么區(qū)間（a，b)內(nèi)任意一個(gè)數(shù)都是滿足精度ε的近似解．事實(shí)上，任意選取兩數(shù)x1，x2∈(a，b)，都有|x1－x2｜<ε。由于eq\o（x,\s\up6(^)）∈（a，b)，所以任意選取x′∈(a，b）都有|x′－eq\o(x,\s\up6（^)）｜<ε.知識(shí)點(diǎn)三二分法求方程近似解的步驟利用二分法求方程實(shí)數(shù)解的過(guò)程可以用下圖表示出來(lái)．在這里：“初始區(qū)間”是一個(gè)兩端函數(shù)值反號(hào)的區(qū)間;“M”的含義是：取新區(qū)間,一個(gè)端點(diǎn)是原區(qū)間的中點(diǎn)，另一端是原區(qū)間兩端點(diǎn)中的一個(gè),新區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值反號(hào)；“N”的含義是：方程解滿足要求的精度；“P”的含義是:選取區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)作為方程的近似解．類型一二分法的操作例1用二分法求函數(shù)f（x)＝x3－3的一個(gè)零點(diǎn)．(精度為0.02)引申探究如何求eq\r(3，2）的近似值？(精度為0.01)反思與感悟用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是初始區(qū)間的選取，符合條件（包括零點(diǎn)），又要使其長(zhǎng)度盡量小;二是進(jìn)行精度的判斷，以決定是停止計(jì)算還是繼續(xù)計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練1借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．（精度為0。1)類型二二分法取中點(diǎn)的次數(shù)問(wèn)題例2若函數(shù)f（x）在（1,2）內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn),要使零點(diǎn)的近似值滿足精度為0。01，則對(duì)區(qū)間(1,2）至少二等分（)A．5次 B．6次C．7次 D．8次反思與感悟?qū)τ趨^(qū)間(a,b)二分一次區(qū)間長(zhǎng)度為eq\f(|a－b|，2)，二分二次區(qū)間長(zhǎng)度為eq\f（｜a－b|，22），…,二分n次區(qū)間長(zhǎng)度為eq\f(|a－b｜,2n）。令eq\f（｜a－b｜，2n)<ε，即2n>eq\f(｜a－b|,ε），nlg2>lgeq\f（|a－b|,ε)，n〉eq\f(lg\f（｜a－b|，ε），lg2)，從而估算出至少要使用多少次二分法．跟蹤訓(xùn)練2在用二分法求方程的近似解時(shí)，若初始區(qū)間的長(zhǎng)度為1，精度為0。05，則取中點(diǎn)的次數(shù)不小于______．1．下列函數(shù)中，只能用二分法求其零點(diǎn)的是（）A．y＝x＋7 B．y＝5x－1C．y＝log3x D．y＝(eq\f(1,2))x－x2．觀察下列函數(shù)的圖像，判斷能用二分法求其零點(diǎn)的是（）3．方程2x－1＋x＝5的根所在的區(qū)間為（）A．(0，1） B．（1，2)C．（2,3) D．（3，4）4．定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，已知函數(shù)f(x）在區(qū)間（a,b)上有一個(gè)零點(diǎn)x0，且f（a)f(b)<0，用二分法求x0時(shí)，當(dāng)f（eq\f(a＋b,2))＝0時(shí)，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是（)A．(a,b)外的點(diǎn)B．x＝eq\f（a＋b,2）C．區(qū)間(a,eq\f(a＋b，2))或(eq\f（a＋b，2），b)內(nèi)的任意一個(gè)實(shí)數(shù)D．x＝a或b5．用二分法求函數(shù)y＝f（x)在區(qū)間（2，4)上的唯一零點(diǎn)的近似值時(shí),驗(yàn)證f(2)·f（4）<0，取區(qū)間(2，4)的中點(diǎn)x1＝eq\f(2＋4，2）＝3,計(jì)算得f（2）·f（x1）〈0，則此時(shí)零點(diǎn)x0所在的區(qū)間是(）A．(2，4) B．(2，3)C．（3，4) D．無(wú)法確定1．二分就是平均分成兩部分．二分法就是通過(guò)不斷地將所選區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，直至找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精度，用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn)．2．二分法求方程近似解的適用范圍:在包含方程解的一個(gè)區(qū)間上,函數(shù)圖像是連續(xù)的,且兩端點(diǎn)函數(shù)值反號(hào)．3．求函數(shù)零點(diǎn)的近似值時(shí)，所要求的精度不同，得到的結(jié)果也不相同．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考①取區(qū)間（2,3)的中點(diǎn)2。5。②計(jì)算f（2.5）的值，用計(jì)算器算得f（2。5)≈－0.084.因?yàn)閒（2。5）·f（3)<0,所以零點(diǎn)在區(qū)間（2.5,3）內(nèi)．梳理一條連續(xù)的曲線f(a）·f(b）<0區(qū)間的中點(diǎn)越來(lái)越小取區(qū)間的中點(diǎn)將區(qū)間一分為二知識(shí)點(diǎn)二思考不一樣．比如得數(shù)是1.25或1。34，精確到0。1都是通過(guò)四舍五入后保留一位小數(shù)得1.3.而“精度為0。1"指零點(diǎn)近似值所在區(qū)間（a，b）滿足｜a－b|〈0.1，比如零點(diǎn)近似值所在區(qū)間（1.25，1.34）．若精度為0.1，則近似值可以是1。25，也可以是1。34.梳理|x0－eq\o(x,\s\up6（^))｜〈ε使得區(qū)間長(zhǎng)度b－a≤ε題型探究例1解由于f（0）＝－3＜0，f(1）＝－2＜0，f（2)＝5＞0，故可取區(qū)間(1,2）作為計(jì)算的初始區(qū)間．用二分法逐次計(jì)算,列表如下：區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)值(或近似值）(1,2）1。50.375(1，1。5）1。25－1。047(1。25,1.5）1.375－0。400（1.375，1。5)1.4375－0.030(1.4375,1.5）1。468750.168（1.4375，1．46875）1.4531250。068（1.4375，1．453125)因?yàn)閨1。453125－1.4375|＝0.015625＜0。02，所以函數(shù)f（x)＝x3－3的零點(diǎn)的近似值可取為1。4375。引申探究解設(shè)x＝eq\r(3，2),則x3＝2，即x3－2＝0，令f（x）＝x3－2，則函數(shù)f(x）的零點(diǎn)的近似值就是eq\r(3,2）的近似值,以下用二分法求其零點(diǎn)．由f(1）＝－1〈0，f(2）＝6〉0，故可以取區(qū)間（1，2）為計(jì)算的初始區(qū)間．用二分法逐次計(jì)算,列表如下：區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)值（1，2)1。51。375(1,1.5)1。25－0。0469（1。25,1。5)1.3750。5996(1.25，1.375)1。31250。2610（1.25，1．3125）1.281250。1033（1.25，1．28125)1.2656250。0273(1。25，1．265625)1.2578125－0.0100由于1。265625－1。2578125＝0.0078125<0。01，所以1。265625是函數(shù)的零點(diǎn)的近似值,即eq\r（3,2)的近似值是1。265625。跟蹤訓(xùn)練1解原方程即2x＋3x－7＝0，令f（x)＝2x＋3x－7，用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f（x）＝2x＋3x－7的對(duì)應(yīng)值表與圖像如下:x012345678…f（x）＝2x＋3x－7－6－2310214075142273…觀察圖或表可知f（1)·f（2）＜0，說(shuō)明這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(1，2）內(nèi)有零點(diǎn)x0。取區(qū)間(1,2）的中點(diǎn)x1＝1。5，用計(jì)算器算得f（1.5)≈0。33.因?yàn)閒（1)·f(1。5)＜0,所以x0∈（1,1。5）．再取區(qū)間（1,1.5)的中點(diǎn)x2＝1.25，用計(jì)算器算得f(1。25）≈－0。87。因?yàn)閒(1.25）·f(1。5）＜0，所以x0∈(1。25,1。5）．同理可得，x0∈（1。375，1.5），x0∈（1。375，1.4375）．由于|1。375－1.4375|＝0.0625＜0.1,所以原方程的近似解可取為1.4375.例2C[設(shè)對(duì)區(qū)間(1，2）至少二等分n次，初始區(qū)間長(zhǎng)為1.第1次二等分后區(qū)間長(zhǎng)為eq\f(1，2）；第2次二等分后區(qū)間長(zhǎng)為eq\f（1,22）；第3次二等分后區(qū)間長(zhǎng)為eq\f（1,23）;…第n次二等分后區(qū)間長(zhǎng)為eq\f（1，2n）。根據(jù)題意,得eq\f(1，2n）＜0.01，∴n＞log2100?！?＜log2100＜7，∴n≥7.故對(duì)