專題06雙變量問題（原卷版）

專題06雙變量問題【方法技巧與總結(jié)】破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.【題型歸納目錄】題型一：雙變量單調(diào)問題題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題題型四：雙變量不等式:中點(diǎn)型題型五：雙變量不等式:剪刀模型題型六：雙變量不等式:主元法【典例例題】題型一：雙變量單調(diào)問題例1.(2022?蘇州三模)已知函數(shù)/(x)=(x-l)0r-，其中(I)函數(shù)/*)的圖象能否與％軸相切？若能，求出實(shí)數(shù)“，若不能，請(qǐng)說明理由；(II)求最大的整數(shù)。，使得對(duì)任意%wR,x2e(0,-Ko),不等式/(X+x2)~/(^-x,)>-2x2恒成立例2.(2020秋?龍巖期中)已知函數(shù)g(x)=x-a阮j(1)討論g(x)的單調(diào)性；(2)若a>2,且/(x)=1-g(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)內(nèi)，x,(n<x,),證明：J\xx)-/(x,)>(?-2)(x1-x2).x例3.(2022?遼寧)已知函數(shù)/(x)=(a+l)阮c+ar-+].(1)討論函數(shù)/(幻的單調(diào)性；(2)設(shè)。<一1.如果對(duì)任意用，七￡(。，+8)，"(X)-/02)1??41%-馬I，求a的取值范圍.例4.(2020春?平頂山期末)已知函數(shù)/。)=2/2+乂，m>0.x(1)當(dāng)〃?=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求/(力的極小值；(2)討論函數(shù)g(x)=/(x)-x的單調(diào)性；(3)若〃L.1,證明：對(duì)于任意匕>a>0,幺？-<]b-a題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題例5.(2021春?海曙區(qū)校級(jí)期中)已知函數(shù)/(x)=L-x+4mr.x(1)討論/")的單調(diào)性：(2)已知若八幻存在兩個(gè)極值點(diǎn)%,占，且為<M，求以史的取值范圍.2x(x,例6.(2021春?江寧區(qū)校級(jí)期中)已知函數(shù)/(x)=ar/nx,awR.(1)當(dāng)〃=1時(shí)，①求f(x)的極值；m②若對(duì)任意的x..e都有/(x)…'e”,/〃>0,求m的最大值；x(2)若函數(shù)g(x)=/'(x)+/有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)也，x2,求證：$七>/.例7.(2022?德陽模擬)設(shè)函數(shù)=(1)當(dāng)4時(shí)，求g(x)=/'(x)?ei的單調(diào)區(qū)間(/'(X)是/(幻的導(dǎo)數(shù))；e(2)若/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)芭、x2(x,<x2),證明：x}+2x2>3.例8.(2022?潮州二模)已知函數(shù)/(.r)=lux,g(x)=x2-ax(a>0).(1)討論函數(shù)〃(x)=/(x)+g(x)的極值點(diǎn)；(2)若％,毛(%〈工)是方程/。)-駕+1=0的兩個(gè)不同的正實(shí)根，證明：x-+^>4a.XX-例9.(2022?浙江模擬)已知4￡尺，函數(shù)/(x)=e'—ar+a.（I）若/1（%）..0,求?的取值范圍;（II）記X],（其中西<工2）為/（X）在（。，中功上的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：――<<—+1?a-eIna題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題例10.（2021春?溫州期中）已知函數(shù)/（x）=3-々or-」）?2x（1）若々=1,證明：當(dāng)0<xvl時(shí)，/（x）>0；當(dāng)x>l時(shí)，/（x）<0.（2）若/'5）存在兩個(gè)極值點(diǎn)%,小，證明：<一%一々2例11.（2021春?浙江期中）已知函數(shù)/"）=,一4+4伍廠x（1）當(dāng)4=0時(shí)，求函數(shù)/。）在點(diǎn)（1,0）處的切線方程；（2）討論/'（幻的單調(diào)性；（3）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)M，x,,證明："/）二"3。-2.例12.（2021秋?武漢月考）已知函數(shù)/（1）=布+羅一（4+1）人”/?.（1）討論函數(shù)/（%）的單調(diào)區(qū)間;（2）設(shè)玉，%（。<%V%2）是函數(shù)g（X）=/（X）+X的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：&（百）-g02）<]-/〃〃恒成立?題型四：雙變量不等式:中點(diǎn)型例13.(2022?呼和浩特二模)己知函數(shù)/(x)=/〃x-a*+(2-〃)x.①討論/（X）的單調(diào)性；②設(shè)4>0,證明：當(dāng)0<X<L時(shí)，/（—4-x）>f（--x）；aaa③函數(shù)），=/（?的圖象與x軸相交于4、B兩點(diǎn),線段4?中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為%,證明例14.（2021秋?山西期末）已知函數(shù)/。）=24+（1-24加+色.x（1）討論/。）的單調(diào)性；（2）如果方程/（的=，〃有兩個(gè)不相等的解內(nèi)，與，且證明：r（"殳）>（）.例15.（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知函數(shù)/*）=k一2公+2/w（a>0）.（1）討論函數(shù)/3）的單調(diào)性；（2）設(shè)g（x）=〃n-質(zhì)-工，若函數(shù)/（幻的兩個(gè)極值點(diǎn)耳,為（*<W）恰為函數(shù)g。）的兩個(gè)零點(diǎn)，且丫=（3-占）/（與土）的取值范圍是［加3-1,+oo）,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.題型五：雙變量不等式:剪刀模型例16.（2022?日照一模）已知函數(shù)/。）=*+加（娉-〃）仍>0）在點(diǎn)（」,/（」））處的切線方程為226—1（e-l）x+ey+=0.2（1）求a,b；（2）函數(shù)f（x）圖象與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為P,且在點(diǎn)尸處的切線方程為）=力（幻，函數(shù)F（x）=f（x）-h（x）,xwR,求F（x）的最小值；（3）關(guān)于x的方程=有兩個(gè)實(shí)數(shù)根%,北，且西〈乂，證明：x,—苦,，1+2'”_-.2\-e例17.（2021春?道里區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)/（x）=ar-e'+l,小3是/。）的極值點(diǎn).（I）求。的值：（II）設(shè)曲線），=/（?與X軸正半軸的交點(diǎn)為尸，曲線在點(diǎn)P處的切線為直線/.求證：曲線），=/*）上的點(diǎn)都不在直線/的上方；（HI）若關(guān)于x的方程/'（x）=/〃（〃?>0）有兩個(gè)不等實(shí)根玉，x2（xi<x2）,求證：七一%<2-產(chǎn).例18.（2022?江西校級(jí)二模）已知函數(shù)/（x）=6x-f,xwR.（I）求函數(shù)/*）的極值；（II）設(shè)曲線y=/（x）與x軸正半軸的交點(diǎn)為尸，求曲線在點(diǎn)尸處的切線方程；（III）若方程/（幻=a（。為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根X1，占且王<工2，求證：9-題型六：雙變量不等式:主元法例19.（2021春?哈密市校級(jí)月考）已知函數(shù)f（x）=xbix.（1）求函數(shù)fW的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）當(dāng)。>0時(shí)，求證：從..（1）5（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；e例20.（2021秋?廣東月考）已知函數(shù)/（幻=。《+（加（其中acR且“為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),x6=2.71828…）.（I）若函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；（II）當(dāng)a=0時(shí),若f（x\,H+〃？（其中機(jī)>0）恒成立,求（Z+1）〃?的最小值h（m）的最大值.例21.（2022?微山縣校級(jí)二模）設(shè)函數(shù)=（I）求/（x）的極值；（1【）設(shè)g（x）=/（x+l），若對(duì)任意的X.0，都有g(shù)（X）..〃2X成立，求實(shí)數(shù)W的取值范圍；（III）若OvavZ?,證明：0</（4）+/（1）—2］（"；"）<3—〃）加2.【過關(guān)測(cè)試】（2022?遼寧?撫順市第二中學(xué)三模）已知函數(shù)=x-；（2-a）/一:底相（=2.71828…）⑴當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)/(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)：⑵當(dāng)OvaWl時(shí)，函數(shù)g(x)=/(x)-；bx2-法在(0,y)上單調(diào)遞減，證明人1+1(2022?北京?北師大二附中三模)已知函數(shù)"x)=eX(l+〃Hnx),其中機(jī)>0,2(力為外力的導(dǎo)函數(shù).(1)當(dāng)〃?=1,求/("在點(diǎn)(lj(l))處的切線方程；⑵設(shè)函數(shù)且〃(工)...|恒成立.①求〃?的取值范圍；②設(shè)函數(shù)/(x)的零點(diǎn)為/'("的極小值點(diǎn)為巧，求證：(2022?湖北?高二階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx+3x2-(a+l)M4€R),g(x)=f(x)-^-x2+(a+\)x.(1)討論/⑶的單調(diào)性;(2)任取兩個(gè)正數(shù).，當(dāng)王<*2時(shí)，求證：g(xl)-g(x2)<z^——.X]+x2(2022?陜西?漢臺(tái)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)/(工)=1門+@+8(?,bwR).JC⑴求函數(shù)/(X)的極值；(2)若函數(shù)/(X)的最小值為0,陽，々(玉</)為函數(shù)g(x)=/(x)-g的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：cAl-elnx,>2.(2022?江蘇?海門中學(xué)高二階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx+jf—公⑴討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若/(冷有兩個(gè)極值點(diǎn)不天，證明"")"七)<2一InIna-\nb2Ina-\nb2(2022.湖北.模擬預(yù)測(cè))已知對(duì)于不相等的正實(shí)數(shù)小b,有疝<.°-b〈孚成立,我們稱其為對(duì)數(shù)平均不等式.現(xiàn)有函數(shù)〃耳=見山⑴求函數(shù)Ina-\nb2①證明：—T；②證明：|-^~x2\<—^(Inm)2-2\nm.(2022?山東濟(jì)寧?高二期中)已知函數(shù)/(x)=-x+1+alnx(awR),且/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)%,占.X⑴求實(shí)數(shù)。的取值范圍；⑵是否存在實(shí)數(shù)〃，使以上3=。一2成立，若存在求出。的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.司一聲(2022?廣東?廣州市第七中學(xué)高二期中)已知函數(shù)/⑴=lnx-加+(2-4)二⑴討論/")的單調(diào)性；⑵若函數(shù)y=/(x)的圖像與％軸交于A,8兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為小,證明：/'5)<().(2022?重慶?萬州純陽中學(xué)校高二期中)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+g(aeR).x(1)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性：⑵若/⑴有兩個(gè)零點(diǎn)中士,①求〃的取值范圍；②證明：2a<xl+x2<\.(2022?福建省廈門集美中學(xué)高二期中)已知函數(shù)/(x)=ar+lnx.⑴試討論/(x)的極值；⑵設(shè)晨司=丁-2丹2