W3-4有理函數(shù)的不定積分

高等數(shù)學(xué)第二十二講1第四節(jié)一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的不定積分第三章2換元積分法;本節(jié)起，我們將被積函數(shù)的類型出發(fā)，討論某些特殊類型的函數(shù)的不定積分法。

基本積分法:直接積分法;分部積分法3一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時(shí),為假分式;時(shí),為真分式假分式相除多項(xiàng)式+真分式分解其中部分分式的形式為若干部分分式之和4例1.

將下列真分式分解為部分分式:解:(1)用拼湊法5(2)用賦值法故取代入上式有取代入上式有 比較上式左右兩端的分子有6原式=(3)用比較系數(shù)法7四種典型部分分式的積分:

變分子為再分項(xiàng)積分8例2.

求解:已知9例3.

求解:原式注：分母的導(dǎo)數(shù)為10例4求解：說(shuō)明:將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法.11(不講)例5.求不定積分解：令則,故分母次數(shù)較高,宜使用倒代換.12二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)表示三角函數(shù)有理式,令萬(wàn)能代換u的有理函數(shù)的積分1.三角函數(shù)有理式的積分則變量代換通常稱為“萬(wàn)能代換”意味著任何三角函數(shù)有理式的積分，的有理函數(shù)的積分。都可以用這種代換化為可積13令14例1.求15注：用萬(wàn)能代換有時(shí)計(jì)算比較復(fù)雜，的三角函數(shù)的有理式的積分常需要采用其他形式的代換。以便能更簡(jiǎn)便而迅速地得出結(jié)果。例10：求解：若用萬(wàn)能代換則繁！因此對(duì)某些特殊162.簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分令令被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式,可通過(guò)根式代換化為有理函數(shù)的積分.例如:令17例1.

求解:令則原式18例2.

求解:為去掉被積函數(shù)分母中的根式,取根指數(shù)2,3的最小公倍數(shù)6,則有原式令19例3.

求解:令則原式20解：令例421不講例4

求解原式＝令原式＝22(不講)例5.求解:原式=23例8.

求解:

原式=分析:

(不講).

24小結(jié)常用簡(jiǎn)化技巧:(1)分項(xiàng)積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;配元方法(4)巧妙換元或配元萬(wàn)能湊冪法利用積化和差;分式分項(xiàng);利用倍角公式,如25積分計(jì)算比導(dǎo)數(shù)計(jì)算靈活復(fù)雜,為提高求積分已把常用積分公式匯集成表,以備查用.如附錄ⅢP273.積分表的結(jié)構(gòu):按被積函數(shù)類型排列積分表的使用:1)注意公式的條件2)注意簡(jiǎn)單變形的技巧的效率,積分表的使用26例1.求解:應(yīng)使用P280公式(109).27例2.

求解法1

令則原式(P275公式39)28例2.

求解法2

令則原式(P274公式13)29內(nèi)容小結(jié)1.可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬(wàn)能代換簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)三角代換根式代換2.特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定要注意綜合使用基本積分法,簡(jiǎn)便計(jì)算.簡(jiǎn)便,