數(shù)值分析課程實(shí)驗(yàn)報(bào)告-拉格朗日和牛頓插值法

《數(shù)值分析》課程實(shí)驗(yàn)報(bào)告用拉格朗日和牛頓插值法求解函數(shù)值算法名稱用拉格朗日和牛頓插值法求函數(shù)值學(xué)科專業(yè)xxxxx作者姓名xxxx作者學(xué)號(hào)xxxxx作者班級(jí)xxxxxxxxx大學(xué)二0一五年十二月《數(shù)值分析》課程實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)名稱 用拉格朗日和牛頓插值法求解函數(shù)值 成績一、 問題背景在工程技術(shù)與科學(xué)研究中，常遇到考察兩個(gè)變量間的相互關(guān)系問題。兩個(gè)變量間的關(guān)系可以通過函數(shù)表示，若x為自變量，y為因變量，則函數(shù)關(guān)系可描述為y=f(x)。大多數(shù)問題中，函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=f(x)未知，人們通常采用逼近的方法處理：取得一組數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=0,1,2,...,n),數(shù)據(jù)點(diǎn)可由不同方式取得(例如，可根據(jù)工程設(shè)計(jì)要求得到，也可通過采樣或?qū)嶒?yàn)取得)，然后構(gòu)造一個(gè)簡單函數(shù)P(x)作為y=f(x)的近似表達(dá)式，即y=f(x)^P(x),對于y=f(x)^P(x)，若滿足P(xi)=f(xi)=yi,i=0,1,2...,n,這類問題成為插值問題。二、 數(shù)學(xué)模型1.函數(shù)f(x)=lnx的一些數(shù)值如表：xInx用拉格朗日插值法計(jì)算的近似值。2.函數(shù)f(x)=IX的一些數(shù)值如表：x用牛頓插值法計(jì)算”的近似值，畫出插值函數(shù)與原函數(shù)的圖形做比較。三、算法描述Y Vx L(x)1.拉格朗日插值法：設(shè)已知X0，x1，x2,...,七及七=f(七)(i=0,1,.....,n),/)為不超過n次L(x)=y L(x)I/、yl(x)y多項(xiàng)式且滿足nii(i=0,1,.?.n),易知n=0(x) 0+...?+nn.l(x) x l(x)其中，卜'均為n次多項(xiàng)式且滿足式(3)(i,j=0,1,...,n),再由j(產(chǎn)i)為n次多項(xiàng)式卜)的n的n個(gè)根知((x)=c么°葉x-xj.最后l(x)=c^n(x-x)=1nFf(x-x)ij ij ijj=° j=°j豐i c=j豐i ,i=0,1,...,n.X-X寸 n .z1(X)y x-x.弓士L(X) 1 1I(X)j-0ij I(X)總之，n =i=0 ,i=j& 式為n階Lagrange插值公式，其中，i(i=0,1,...n)稱為n階Lagrange插值的基函數(shù)。2.牛頓插值法：插值法是利用函數(shù)f(x)在某區(qū)間中若干點(diǎn)的函數(shù)值，作出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù)，在這些點(diǎn)上取已知值，在區(qū)間的其他點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f(x)的近似值。如果這特定函數(shù)是多項(xiàng)式，就稱它為插值多項(xiàng)式。當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值基函數(shù)均要隨之變化，這在實(shí)際計(jì)算中很不方便。為了克服這一缺點(diǎn)，提出了牛頓插值。牛頓插值通過求各階差商，遞推得到的一個(gè)公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)四、主要代碼1.拉格朗日插值建立函數(shù)文件：function[yt,L]=LagInterpl(x,y,xt)symst;n=length(x);ny=length(y);ifn~=nyerrorendL=;fork=1:nlk=1;forj=1:nifj~=klk=lk*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endend;L=L+y(k)*lk;endsimplify(L);L=collect(L);yt=subs(L,'t',xt);2.牛頓插值建立函數(shù)文件：function[yt,N]=NewtInterp(x,y,xt)symst;n=length(x);ny=length(y);ifn~=nyerrorenda=zeros(1,n);N=y(1);w=1;fork=1:n-1yy=zeros(1,n);forj=k+1:nyy(j)=(y(j)-y(k))/(x(j)-x(k));enda(k)=yy(k+1);w=w*(t-x(k));N=N+a(k)*w;y=yy;endyt=subs(N,'t',xt);simplify(N);N=collect(N);N=vpa(N,6);五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析1.拉格朗日插值法在命令窗口輸入：x=[〃,,];y=[〃〃];xt=;[yt,L]=LagInterpl(x,y,xt);z=1::4;yz=subs(L,'t',z);figure;plot(z,log(z),'--r',z,yz,'-b')holdonplot(x,y,'marker','+')holdonplot(xt,yt,'marker','o')legend('ln(x)','拉格朗日插值多項(xiàng)式','(x_k,y_k)','x=')xlabel('x')ylabel('y')yt得到結(jié)果及圖像如下：yt=得到的近似值為。拉格朗日插值模型簡單，結(jié)構(gòu)緊湊，是經(jīng)典的插值法。但是由于拉格朗日的插值多項(xiàng)式和每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有關(guān)，當(dāng)改變節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，需要重新計(jì)算。且當(dāng)增大插值階數(shù)時(shí)容易出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。2.牛頓插值法在命令窗口輸入：x=[ ]；y=[];xt=;[yt,N]=NewtInterp(x,y,xt)z=::2;yz=subs(N,'t',z);figure;plot(z,sqrt(z),'--r',z,yz,'-b')holdonplot(x,y,'marker','+')holdonplot(xt,yt,'marker','o')h=legend('$\sqrt{x}$','牛頓','$(x_k,y_k)$','$x=$');set(h,'Interpreter','latex')xlabel('x')ylabel('y')得到結(jié)果及圖像如下：yt=n=-*tA4+*tA3-*tA2+*t+

得到V的近似值為，插值函數(shù)為N=_沖4+*tA3-*tA2+*t+，其計(jì)算精度是相當(dāng)高的。Lagrange插值法和Newton插值法解決實(shí)際問題中關(guān)于只提供復(fù)雜的離散數(shù)據(jù)的函數(shù)求值問題，通過將所考察的