數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)和方法歸納

數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)和方法歸納等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：a-a=d(d為常數(shù))，a=a+(n—1)d,推論公式：巳等差中項(xiàng)：x，A，y成等差數(shù)列02Af+y土 - 氣:-七 二’等差數(shù)列前n項(xiàng)和：S="1+an）n=na+兇Hdn2 1 2性質(zhì)：｛a｝是等差數(shù)列n（1）若m+n=p+q，則a+a=a+a；（下標(biāo)和定理）注意：要求等式左右兩邊項(xiàng)數(shù)相等（2） 數(shù)列｛a2」｛a2J；七+1｝仍為等差數(shù)列，S；S2「S；S%-?！詾榈炔顢?shù)列，公差為n2d；（3） 若三個(gè)成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d，a，a+d；（4） 若a，b是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為S，T，則％=—；nn nnbT（5） ｛a｝為等差數(shù)列0S=an2+bn（a，b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)）S的最值可求二次函數(shù)S=an2+bn的最值；或者求出｛aj中的正、負(fù)分界項(xiàng)，艮即當(dāng)a>0,d<0，解不等式組\an-0可得S達(dá)到最大值時(shí)的n值.1 Ia<0nn+1當(dāng)a<0,d>0，由\an-0可得S達(dá)到最小值時(shí)的n值.1 Ia>0nn+1+a )(a,a為中間兩項(xiàng))n+1 nn++a )(a,a為中間兩項(xiàng))n+1 nn+1S=n(a+a)=n(a+a)==n(a2n 1 2n 2 2n-1SS偶一S奇=nd，—奇=—.Sa偶 n+1=(2n-1)a(a為中間項(xiàng))n， 2n-1 =(2n-1)a(a為中間項(xiàng))n， 2n-1 nn等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義:八=q（q為常數(shù)，q。0）,a=aqa推論公式- ）a n1 .j—jh7?n等比中項(xiàng)：了、G、y成等比數(shù)列乏。"，或g=±*y.等比數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)，偶數(shù)項(xiàng)同號(hào)，na^q=1）=1氣。-/）％I礦=Iw工i）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：性質(zhì)：｛a｝是等比數(shù)列（1） 若m+n=p+q，則a?a=a?a（下標(biāo)和定理）注意：要求等式左右兩邊項(xiàng)數(shù)相等。mnpq（2）S，S2-S，S3-S2 仍為等比數(shù)列，公比為qn。（3（3）｛a｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，則口四普是等比數(shù)列,注意：由S”求a”時(shí)應(yīng)注意什么?n=1時(shí)，a=S；n-1.n>2時(shí)，a=Sn-1.求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法定義法求通項(xiàng)公式(已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列)已知S與"的關(guān)系命s與。的關(guān)系時(shí)求aaJ*(〃=助n 或nn ，n。nS-S(n>2)例：數(shù)列｛叫的前M項(xiàng)和二件+1.求數(shù)列(■｝的通項(xiàng)公式；解：當(dāng)片二1時(shí)西二說(shuō)二2，_阡二1)當(dāng)論2時(shí)％=乩-乩一1="-1 「?數(shù)列｛氣｝的通項(xiàng)公式為 〔孫-1(論2).練習(xí)：設(shè)數(shù)列｛氣｝的前m項(xiàng)和為乩，且乩二很-血.求數(shù)列的通項(xiàng)公式。(3)求差(商)法例：數(shù)列｛a｝，La+上a+ + 上a=2n+5，求an21 222 2nn n解：n=1時(shí)，2a=2x1+5，+-a=2n+5n>2時(shí)，1+ a2nn>2時(shí)，1+ a2n-1n-1—a+—a+21 222①—②得：9〃=①—②得：9〃=2,「?a=2n+1，n]4(n=1)2n+1(n>2)練習(xí)：在數(shù)列&沖，”"】，“：’，「’.? .""w,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。(4)累乘法a~^ra~^ra1，￡=f(n)

anf(n)，則%=，￡=f(n)

ana兩邊分別相乘得，f1=a

a11 k=1例：數(shù)列｛a｝中，a=3,一"，求］

n1an+1 ?naaaia2a12—. naaaia2a12—. n————a23n-l 9n-1i=3,??a=—nan1 nni練習(xí)：已知"1=3%+1=371+2財(cái)"-1),求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。練習(xí)：已知(5)累加法形如％ ％=1(町的遞推式。TOC\o"1-5"\h\z由a-a=f(n),a=a,求。，用迭加法nn-l 1 0 na-a=f(2)2 1ta-a=f(3) —、一，g心2時(shí)，3 2 兩邊相加得q—a=f(2)+f(3)+……+f(〃)\o"CurrentDocument"? n 1a-a=f(n)nn-l.??L°+f⑵+八3)+……+/w例：已知數(shù)列'〔％｝滿足％=偵％=%-1+3幾-2(22),⑴求也與氣的值。(2)求數(shù)列(％｝的通項(xiàng)公式練習(xí)：已知數(shù)列｛氣｝中，印二％^+i-^-2^-2=0傘時(shí)).求數(shù)列(％｝的通項(xiàng)公式;⑹構(gòu)造法形如］=ca+d(c、d為常數(shù)，c^O,cul,d尹。)的遞推式。nn-l可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)Q+jv=c(q+工)=＞。=ca+(c-l)xn n—1 nn-l令(c-l)x=d,= *.\a+—^―|是首項(xiàng)為a+',c為公比的等比數(shù)列c—l\nC-1］ 1 C-1例已知數(shù)昴｝例已知數(shù)昴｝滿苴L=1, 二邑+心耳求數(shù)"J的通項(xiàng)公式;解Q)E回二％+1,卜+1=2(%+1),祀L=l,故數(shù)站+1)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,即立工+1=2?,因此即立工+1=2?,因此1=2B-1練習(xí)1： ?—逆，「—X，，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n練習(xí)2：已知數(shù)列｛a｝滿足a=2a

nn練習(xí)2：已知數(shù)列｛a｝滿足a=2a

nn+1+3X5n,4=6，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。(7)倒數(shù)法例：a=1,a= n^，求an由已知得:1a+21 1 =―n=—+a 2a 2a?111

1? aa2...<上］為等差數(shù)列，1=1aI anJ 1公差為上，??.上=1+(n—1)」=L(n+1)，

2a 22練習(xí)：已知數(shù)列心的首項(xiàng)，："一. 七a=｛SJn=1)總結(jié)：公式法、利用 nS-S｝(n>2)、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比a=pa+q或nn1

n+1 nan+1=pa”+f(n)、待定系數(shù)法、對(duì)數(shù)變換法、迭代法。求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法(1)定義法：如果已知數(shù)列為等差或者等比數(shù)列，這用對(duì)應(yīng)的公式求和等差數(shù)列前n項(xiàng)和：S=("廣5=na+些二Ud

n2 1 2，=1)5n=印［1-/)％-"易-=I(0尹1)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：常見(jiàn)公式：上??一二?】"切心-" 1^15……01)「2 2 1 7 1 ，耳， 3】 71+2+3+…十71=薩(丸+l)〔2n+1) 1+2+3+■-+n=^\n(n+(2)錯(cuò)位相減法'七兩邊同乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)或者式'七兩邊同乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)或者式然后把所得的等式與原等式相減，對(duì)應(yīng)項(xiàng)互相抵消，最后得出前n項(xiàng)的和'?.一般適用于｛a｝為等差數(shù)列，n數(shù)列)前項(xiàng)互相抵消，最后得出前n項(xiàng)的和'?.一般適用于｛a｝為等差數(shù)列，n數(shù)列)前n項(xiàng)和，可由S-qS，求Sn，其中q為｛b｝的公比.豹｝為等比數(shù)列，求數(shù)列"｝(差比例：S=1+2x+3x2+4x3+ +nxn一1nx*S=x+2x2+3x3+4x4+ +(n-1)xn-1+nxnnCD ^②(1—x)S=1+x+x2+ +xn-1—nxnnx.1時(shí)，s=n-竺，n(1—x)21—xx=1時(shí)，S=1+2+3+n(n+1)練習(xí)：已知數(shù)列囪)是等差數(shù)列，間是等比數(shù)列，且m，￥54,%+%+%二上+上求數(shù)列和W的通項(xiàng)公式數(shù)列仁｝滿足孔二農(nóng)，求數(shù)列的前》項(xiàng)和&.(2)裂項(xiàng)法把數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)差的形式，相加過(guò)程中消去中間項(xiàng)，只剩下有限項(xiàng)再求和。常見(jiàn)形式：①若｛a｝是公差為d的等差數(shù)列，則商E=V如-福?)■1②*fI： I③-I!：<■-■') 廣l?I.E：-如：｛a｝是公差為d的等差數(shù)列，求■1②*fI： I③-I!：<■-■') 廣l?I.E：-如：｛a｝是公差為d的等差數(shù)列，求T_!_k=1kk+11 1a?aa(a+d)dkak ak+17?T1.? k=1akak+1 k=1dkak ak+17ka1a27ka2a37-—a7n+1ka1 an+17練習(xí)：已知數(shù)列。"的前n項(xiàng)和凡二疽+2”，①求數(shù)列｛%)的通項(xiàng)公式;②求數(shù)列的前n項(xiàng)和礦。(3)倒序相加法把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加.n-1 n|相加2S=(a+a)+(a+a)+…+(a,?+a+aJn1n2 n-1 1［練習(xí)］已知f(x)=三，則

1+X2. r1\f(1)+f(2)+f-+f(3)+f-,一/1\

由f(x)+f-= +1+X21++-^=12 1+X2 1+X2?.?原式=f(1)+f(2)+f-+f(3)+f-+f(4)+f-k