流體力學-07不可壓縮流體動力學基礎(chǔ)

第七章不可壓縮流體動力學基礎(chǔ)§7–1流體微團運動分析§7–3不可壓縮流體連續(xù)性方程§7–4以應力表示的粘性流體運動微分方程式§7–6N-S方程§7–7理想流體運動微分方程及其積分§7–8流體流動的初始條件和邊界條件§7–9不可壓縮粘性流體紊流運動的基本方程及封閉條件2/6/20231§7-1

流體微團運動分析

由理論力學可知，剛體有平移和旋轉(zhuǎn)兩種運動形式，而流體運動則不同。由于流體微團在流場中各點的速度不同，但又要保持流體本身的連續(xù)性，因此流體微團除有平移和旋轉(zhuǎn)運動外，還有變形運動。下面將分析流體微團的三種運動形式。如圖7—1所示的平面運動中的流體微團。設(shè)方形流體微團中心點M的流速為，則微團個側(cè)邊的中點ABCD的速度分量分別為：2/6/20232各點的速度中均包含有，由圖7—1可見，是平移速度。

以AC為例。因為角點C沿x

方向的速度比角點A快（或慢），所以經(jīng)過時段后，AC邊在x

方向的伸長（或縮短）量為。單位時間單位長度的線變形稱為線變形速度，并記為，則1、平移運動2、變形運動（7-1-1）同理（1）線變形2/6/20233（2）旋轉(zhuǎn)運動和角變形運動2/6/20234旋轉(zhuǎn)角速度

將流體微團上兩條直線旋轉(zhuǎn)角速度的平均值定義為流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度，記為，根據(jù)流體微團旋轉(zhuǎn)角速度的定義得如果流體流動時所有流體微團僅作平移和變形運動，沒有旋轉(zhuǎn)運動，即，則稱該流動為無旋流動（勢流）。若流體微團有旋轉(zhuǎn)運動，即三者中至少有一個不等于零，則稱為有旋流動（有渦運動）。2/6/20235

將平面上角變形速度之半定義為流體微團的角速度，記為，由圖7-2可知，EMF點的角度變化為角變形速度同理有：2/6/20236在一般情況下，流體微團的運動是由上述四種基本運動形式復合而成的。設(shè)流體微團內(nèi)某點M0(x，y，z)的流速分量為ux0，uy0，uz0(圖7—3)，鄰近于M0點的另一點M(x+dx、y+dy、z+dz)的流速分量為2/6/20237同理有：2/6/20238§7–3不可壓縮流體連續(xù)性方程和一元流連續(xù)性方程相似，三元流連續(xù)性微分方程的推導，是在流場中選取邊長為dx、dy、dz的矩形微元控制體，寫出流出和流入該空間的質(zhì)量流量平衡條件。由于流體不可壓縮，質(zhì)量流量平衡條件可用體積流量平衡條件來代替，即在dt時間內(nèi)流出和流入微元控制體的凈流體體積為零。在dt時間內(nèi)，沿x軸方向流出和流入微元控制體的凈流體體積為：2/6/20239同理，在y軸和z軸方向流出和流入微元控制體的凈流體體積為：根據(jù)不可壓縮流體連續(xù)性條件，dt時間內(nèi)沿x、y、z方向流出和流入微元控制體的凈流體體積之和應為零，即：因而此式即為不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程。2/6/202310對于一元流動，單位時間內(nèi)流進和流出微小段ds內(nèi)的流體體積之和為：略去高階微項后，上式簡化為：即常量此式為一元流動的連續(xù)性方程2/6/202311§7–4以應力表示的粘性流體運動微分方程式粘性流體在運動時，表面力不僅有法向應力，還有切向應力。因此粘性流體的表面力不垂直于作用面。如在任一點取一微小正六面體，如圖7-8，作用在平面ABCD的應力有法向應力與切向應力和。應力符號的第一個腳標表示作用面的外法線方向，第二個腳標表示應力方向。可以證明，流場內(nèi)任一點的應力狀況，即該點流體微團在任一方向的作用面上的應力，都可用通過該點的三個相互垂直的作用面上的九個應力分量來表示，即：一、粘性流體的內(nèi)應力2/6/202312二、以應力表示的運動微分方程（動量方程）2/6/202313在粘性流體中取一邊長為dx，dy，dz的長方體，見圖7-9。各表面應力的方向如圖所示。為清晰起見，其中兩個面上的應力符號未標，讀者可自行寫出。注意的是各應力的值均為代數(shù)值，正值表示應力沿相應坐標抽的正向，反之亦然。由于流體不能承受拉力，因此、

、必為負值。由牛頓第二定律，x方向的運動微分方程如下：2/6/202314化簡后，得2/6/202315§7-6納維—斯托克斯方程

設(shè)圖7-10所示流體微元的密度為，則微元質(zhì)量為有勢的質(zhì)量力為設(shè)微元的速度為，則質(zhì)點的加速度為

根據(jù)，列出微元在x方向上的運動方程式為2/6/202316圖7—10粘性流體的應力分量2/6/202317向量式為：

式（7-6-1）是在條件下對一切牛頓流體都普遍適用的運動微分方程式，亦稱之為納維—斯托克斯方程。2/6/202318方程的物理意義：2/6/202319（7-6-3）

這就是不可壓縮粘性流體的運動微分方程，通常稱為納維—斯托克斯方程式（N—S方程）。式中上述方程組的另一種寫法為：2/6/202320同理，在柱坐標中（7-6-4）式中2/6/202321在球坐標中，運動方程式（7-6-8）式中2/6/202322§7–7理想流體運動微分方程及其積分當流體為理想流體時，運動粘性系數(shù)，納維——斯托克斯方程簡化為：這就是理想不可壓縮流體的運動微分方程。第三章中的元流能量方程等均可由此式積分導得。上述方程可以寫成下列向量形式：2/6/202323如果流體處于靜止狀態(tài)，，則上式簡化為此即歐拉平衡方程——流體平衡微分方程式。2/6/202324理想流體運動積分方程，我們可以采用下式描述：2/6/202325§7–8流體流動的初始條件和邊界條件粘性流體的基本方程是二階偏微分方程，聯(lián)系高等數(shù)學中的微分方程知識，對于某一特定流動，在建立求解的數(shù)學模型時，除了根據(jù)流動的特點對一般性的基本方程進行簡化外．必須同時確定方程的定解條件，也就是流動的初始條件和邊界條件。目前，計算流體力學已廣泛地應用于解決工程中的流動問題，如何正確合理地給出初始條件和邊界條件對于解的正確性和唯一性等尤為重要。但是初始條件和邊界條件是有賴于具體的流動的，因此，我們僅介紹一般情況下，涉及較多的初邊值條件。我們以粘性不可壓縮流體流動為例。2/6/202326初始條件方程組的解在初始時刻應滿足的條件。在初始時刻t=t0，給出：式中各量均為已知函數(shù)。2/6/202327所謂邊界條件是指在流場的邊界上，方程組的解應滿足的條件。邊界大致包括固體壁面，兩種流體介質(zhì)(流動介質(zhì)和周圍介質(zhì))的分界而(氣——氣，氣——液，液——液)和管道的出入口等。邊界條件在流動介質(zhì)與固體接觸而上若固壁靜止，則

實際的流體都具有粘性，但在研究某些流動時，可忽略粘性，將流體看成為無粘性的理想流體，此時固壁的邊界條件則是2/6/202328

不同液體的分界面，在一般情況下，分界面兩側(cè)液體的速度、壓強保持連續(xù)下標1，2分別表示工作流體和周圍流體。

液體和蒸汽的界面，在不考慮液面上飽和蒸汽中的動量，熱量和質(zhì)量交換時，界面上的邊界條件可寫成

vn1是液體在平均液面垂直方向上的速度，η是液面在垂直于平均液面方向上的高度。2/6/202329

自由液面，即液體與大氣的分界面。如可忽略表面張力的影響，則液體在界面上的壓強應與氣體壓強力p0相等，而切應力為零流道的入口和出口的邊界條件指的是入口和出口斷面上的流速和壓強的分布。例如管流和明渠流等。對于某些流動，尚需考慮自由面上表面張力的作用等，涉及到溫度場變化的，還需考慮溫度的邊界條件和初始條件。合理地給出流動問題的初始條件和邊界條件，對于確定簡捷的計算方法和獲得難確的解是至關(guān)重要的，應引起足夠的重視。2/6/202330§7–9不可壓縮粘性流體紊流運動的基本方程及封閉條件前面講的不可壓縮粘性流體運動的基本方程式既適用于層流也適用于紊流，對于紊流，方程中的各量應為瞬時值，用隨機的瞬時值表示的基本方程來研究紊流運動很困難。只有對基本方程取概率平均后得到主要用平均值表示的基本方程，才有可能研究和解決工程紊流問題。而且工程中關(guān)注的往往也是紊流的平均值，隨著科學技術(shù)的發(fā)展，紊流運動也受到越來越多的關(guān)注。為簡單起見，忽略質(zhì)量力。將速度和壓力的瞬時值分別用平均值和脈動值替代：2/6/202331將它們代入方程，應用平均運算法則進行簡化，就可得到忽賂了質(zhì)量力的不可壓縮粘性流體紊流