2017版數(shù)學(xué)知識方法篇專題8概率與統(tǒng)計第38練含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第38練用樣本估計總體[題型分析·高考展望]用樣本估計總體在高考中也是熱點部分,考查形式主要是選擇題、填空題或是與概率結(jié)合的綜合性解答題，重點是頻率分布直方圖以及數(shù)字特征,屬于比較簡單的題目。體驗高考1。（2015·湖南）在一次馬拉松比賽中,35名運動員的成績(單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示：13003456688891411122233445556678150122333若將運動員按成績由好到差編為1～35號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139，151］上的運動員人數(shù)是()A.3B.4C。5D.6答案B解析由題意知,將1～35號分成7組,每組5名運動員，成績落在區(qū)間[139,151]的運動員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名。選B。2。(2015·課標(biāo)全國Ⅱ）根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是（）A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B。2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C。2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)答案D解析從2006年起，將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較，得到2008年二氧化硫排放量與2007年排放量的差最大，A選項正確；2007年二氧化硫排放量較2006年降低了很多，B選項正確；雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些，但自2006年以來，整體呈遞減趨勢,即C選項正確;自2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，D選項錯誤。故選D.3。（2016·課標(biāo)全國丙)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖。圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是()A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上B。七月的平均溫差比一月的平均溫差大C。三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個答案D解析由題意知，平均最高氣溫高于20℃的有六月，七月，八月，故選D。4。（2016·山東）某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位:小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是［17.5,30］,樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20），[20,22.5），[22.5，25），[25,27.5）,［27.5,30]。根據(jù)頻率分布直方圖知，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是（）A.56B.60C.120D。140答案D解析由題圖知，組距為2.5，故每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率為(0.16＋0。08＋0。04)×2.5＝0。7，∴這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是200×0.7＝140，故選D.5.（2015·湖北）某電子商務(wù)公司對10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費情況進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元)都在區(qū)間[0.3，0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示.（1)直方圖中的a＝________；(2)在這些購物者中,消費金額在區(qū)間[0。5，0.9］內(nèi)的購物者的人數(shù)為________。答案（1）3(2）6000解析（1)由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得0。2×0。1＋0。8×0.1＋1。5×0.1＋2×0。1＋2。5×0.1＋a×0。1＝1，解得a＝3。(2)消費金額在區(qū)間［0。5，0.9]內(nèi)頻率為0.2×0。1＋0.8×0.1＋2×0。1＋3×0.1＝0。6，所以消費金額在區(qū)間［0。5，0.9］內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.6×10000＝6000。高考必會題型題型一頻率分布直方圖的應(yīng)用例1(2015·廣東）某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度)，以［160，180)，[180，200)，［200，220)，[220，240)，［240，260），[260,280）,[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖。(1)求直方圖中x的值;(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);(3）在月平均用電量為［220，240），［240，260）,[260，280)，［280,300］的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在［220，240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?解(1）由（0.002＋0.0095＋0。011＋0。0125＋x＋0.005＋0。0025）×20＝1，得x＝0。0075,所以直方圖中x的值是0。0075。（2）月平均用電量的眾數(shù)是eq\f（220＋240，2)＝230。因為(0。002＋0。0095＋0.011)×20＝0。45<0。5,所以月平均用電量的中位數(shù)在[220，240）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由（0.002＋0。0095＋0。011）×20＋0.0125×（a－220）＝0.5，得a＝224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224.(3)月平均用電量為［220，240）的用戶有0.0125×20×100＝25（戶）,月平均用電量為［240，260）的用戶有0.0075×20×100＝15(戶),月平均用電量為［260，280）的用戶有0.005×20×100＝10(戶),月平均用電量為[280,300]的用戶有0。0025×20×100＝5（戶)，抽取比例＝eq\f（11，25＋15＋10＋5）＝eq\f（1,5），所以月平均用電量在[220，240)的用戶中應(yīng)抽取25×eq\f(1,5)＝5(戶）.點評利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等,由此可以估計中位數(shù)的值.(2)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和。（3）眾數(shù):在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形底邊的中點的橫坐標(biāo)。變式訓(xùn)練1（2016·課標(biāo)全國乙）某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進(jìn)機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元。現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖。記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位:元），n表示購機的同時購買的易損零件數(shù).(1)若n＝19，求y與x的函數(shù)解析式；（2）若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0。5，求n的最小值;(3)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù),購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件?解(1）當(dāng)x≤19時，y＝3800;當(dāng)x>19時，y＝3800＋500(x－19）＝500x－5700。所以y與x的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3800，x≤19，,500x－5700,x〉19)）(x∈N)。（2）由柱狀圖知,需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0。7，故n的最小值為19.(3）若每臺機器在購機的同時都購買19個易損零件,則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3800，20臺的費用為4300,10臺的費用為4800，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為eq\f(1，100）（3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000，若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件，則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4000,10臺的費用為4500，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為eq\f(1,100）（4000×90＋4500×10)＝4050.比較兩個平均數(shù)可知,購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個易損零件。題型二莖葉圖的應(yīng)用例2(1）為了檢查某高三畢業(yè)班學(xué)生的體重狀況,從該班隨機抽取了10位學(xué)生進(jìn)行稱重，如圖為10位學(xué)生體重的莖葉圖，其中圖中左邊是體重的十位數(shù)字，右邊是個位數(shù)字，則這10位學(xué)生體重的平均數(shù)與中位數(shù)之差為(）A.0。1B。0.2C.0.3D.0。4(2)在“某市中學(xué)生歌手大賽”比賽現(xiàn)場上七位評委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()A。5和1。6B。85和1。6C。85和0.4D.5和0.4答案(1)C(2)B解析(1)平均數(shù)為eq\x\to(x）＝54.8，中位數(shù)為eq\f（1,2)（53＋56)＝54。5，∴這10位學(xué)生體重的平均數(shù)與中位數(shù)之差為：54。8－54.5＝0。3.故選C。（2）eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(4＋4＋4＋6＋7)＋80＝85，所以s2＝eq\f(1，5）[3(84－85）2＋（86－85)2＋(87－85）2]＝1。6,故選B。點評由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù)，解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計圖表試題時，就要充分使用這個圖表提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的計算或者是對某些問題作出判斷，這類試題往往伴隨著對數(shù)據(jù)組的平均值或者是方差的計算等.變式訓(xùn)練2(1）某公司將職員每月的工作業(yè)績用1～30的自然數(shù)表示,甲、乙兩職員在2010年1～8月份的工作業(yè)績的莖葉圖如圖，則下列說法正確的是（)A.兩職員的平均業(yè)績相同，甲職員的業(yè)績比乙職員的業(yè)績穩(wěn)定B.兩職員的平均業(yè)績不同，甲職員的業(yè)績比乙職員的業(yè)績穩(wěn)定C。兩職員的平均業(yè)績相同，乙職員的業(yè)績比甲職員的業(yè)績穩(wěn)定D。兩職員的平均業(yè)績不同，乙職員的業(yè)績比甲職員的業(yè)績穩(wěn)定(2）如圖為甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分情況的莖葉圖，則甲和乙得分的中位數(shù)的和是（）A.56B.57C.58D。59答案(1）C（2）B解析（1）由莖葉圖可得：eq\x\to（x)甲＝eq\f（1,8)（12＋15＋18＋20＋20＋22＋25＋28)＝20，eq\x\to(x）乙＝eq\f(1,8)(14＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋26）＝20，seq\o\al（2，甲)＝eq\f(1，8）(82＋52＋22＋0＋0＋22＋52＋82）＝eq\f（93,4）,seq\o\al(2,甲)＝eq\f（1,8）(62＋52＋32＋1＋1＋32＋52＋62)＝eq\f（71,4），由平均數(shù)和方差可知，兩職員的平均業(yè)績相同,乙職員的業(yè)績比甲職員的業(yè)績穩(wěn)定.(2)由莖葉圖知，甲共13個數(shù)據(jù),中間的一個是32，乙共11個數(shù)據(jù)，中間的一個是25,所以甲和乙得分的中位數(shù)的和為57，故選B.題型三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征例3（1）一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2。8，方差是3.6，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上60，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是(）A。57.2，3.6B.57。2，56.4C.62.8,63.6D。62。8，3。6(2）某籃球隊甲、乙兩名運動員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個，命中個數(shù)的莖葉圖如圖，則下列結(jié)論中錯誤的是________。(填序號）①甲的極差是29；②乙的眾數(shù)是21；③甲罰球命中率比乙高;④甲的中位數(shù)是24。答案(1)D(2）④解析(1)設(shè)這組數(shù)據(jù)分別為x1,x2，…，xn,則eq\x\to（x）＝eq\f(1,n）(x1＋x2＋…＋xn),方差為s2＝eq\f(1，n）[（x1－eq\x\to（x))2＋…＋（xn－eq\x\to（x）)2]，每一組數(shù)據(jù)都加60后，eq\x\to（x)′＝eq\f（1,n）(x1＋x2＋…＋xn＋60n）＝eq\x\to(x）＋60＝62.8，方差s′2＝eq\f(1,n）[（x1＋60－62。8)2＋…＋（xn＋60－62.8)2］＝s2＝3.6。(2)由莖葉圖知，甲的最大值為37，最小值為8，所以甲的極差為29,故①對；乙的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是21,所以②對；甲的命中個數(shù)集中在20，而乙的命中個數(shù)集中在10和20,所以甲罰球命中率大，故③對；甲中間的兩個數(shù)為22，24，所以甲的中位數(shù)為eq\f（22＋24，2）＝23,故④不對.故答案應(yīng)填④.點評平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征,是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動大小.變式訓(xùn)練3甲、乙二人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖.(1）分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價.解（1)由題圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10分，13分,12分，14分,16分;乙:13分，14分,12分，12分，14分.eq\x\to（x）甲＝eq\f（10＋13＋12＋14＋16，5)＝13，eq\x\to(x）乙＝eq\f(13＋14＋12＋12＋14,5)＝13,seq\o\al(2,甲）＝eq\f(1,5)[（10－13)2＋（13－13）2＋(12－13）2＋（14－13)2＋（16－13）2］＝4，seq\o\al(2，乙）＝eq\f(1,5)［（13－13)2＋（14－13)2＋(12－13）2＋(12－13）2＋（14－13)2］＝0.8。(2）由seq\o\al（2,甲)>seq\o\al(2,乙)可知乙的成績較穩(wěn)定.從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài),而乙的成績上下波動,可知甲的成績在不斷提高,而乙的成績則無明顯提高.高考題型精練1.某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試,成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40）,［40，60），[60,80)，[80,100]，若低于60分的人數(shù)是15人,則該班的學(xué)生人數(shù)是(）A。45B。50C。55D。60答案B解析低于60分的人數(shù)的頻率為0。015×20＝0.3,所以該班人數(shù)15÷0。3＝50(人)。2.某賽季,甲，乙兩名籃球運動員都參加了11場比賽，他們每場比賽得分的情況用莖葉圖表示，如圖,則甲，乙兩名運動員得分的中位數(shù)分別為（)A。20,18B。13,19C。19,13D。18，20答案C解析中位數(shù)為一組數(shù)據(jù)由小到大排列后位于中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù),所以中位數(shù)為19，13。3.如圖是某社區(qū)工會對當(dāng)?shù)仄髽I(yè)工人月收入情況進(jìn)行一次抽樣調(diào)查后畫出的頻率分布直方圖，其中月收入在[1.5，2）千元的頻數(shù)為300，則此次抽樣的樣本容量為（)A.1000B.2000C.3000D.4000答案A解析由頻率分布直方圖，得月收入在［1。5,2）千元的頻率為P＝0。6×0.5＝0。3，所以此次抽樣的樣本容量為eq\f（300,0。3)＝1000，故選A。4。甲、乙兩同學(xué)用莖葉圖記錄高三前5次數(shù)學(xué)測試的成績，如圖所示，他們在分析對比成績變化時,發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)成績的一個數(shù)字看不清楚了，若已知乙的平均成績低于甲的平均成績，則看不清楚的數(shù)字為（)A。0B.3C。6D。9答案A解析設(shè)看不清的數(shù)字為x，甲的平均成績?yōu)閑q\f（99＋100＋101＋102＋103,5）＝101,所以eq\f（93＋94＋97＋110＋110＋x,5)〈101，x〈1，所以x＝0，故選A.5.如圖是一容量為100的樣本的重量的頻率分布直方圖，則由圖可估計樣本重量的中位數(shù)為()A.11B。11。5C。12D.12.5答案C解析由頻率分布直方圖，可估計樣本重量的中位數(shù)在第二組，設(shè)中位數(shù)比10大x，由題意可得，0.06×5＋x×0。1＝0。5，得x＝2，所以中位數(shù)為12，故選C。6.已知兩組樣本數(shù)據(jù)｛x1，x2,…，xn}的平均數(shù)為h，｛y1，y2，…，ym}的平均數(shù)為k,則把兩組數(shù)據(jù)合并成一組以后，這組樣本的平均數(shù)為（）A.eq\f（h＋k,2)B。eq\f(nh＋mk,m＋n）C.eq\f（mh＋nk，m＋n）D.eq\f(h＋k,m＋n）答案B解析因為樣本數(shù)據(jù)｛x1，x2，…，xn｝的平均數(shù)為h，｛y1，y2，…，ym}的平均數(shù)為k,所以第一組數(shù)據(jù)和為nh，第二組數(shù)據(jù)和為mk，因此把兩組數(shù)據(jù)合并成一組以后，這組樣本的平均數(shù)為eq\f(nh＋mk,m＋n）,故選B。7.從向陽小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，為制定階梯電價提供數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間,制作頻率分布直方圖的工作人員粗心大意，位置t處未標(biāo)明數(shù)據(jù),你認(rèn)為t等于(）A。0。0041B。0.0042C。0.0043D。0.0044答案D解析由題意得，50×（0。006＋t＋0.0036＋0。0024×2＋0。0012)＝1，t＝0.0044.8.10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別為15，17,14，10，15,17，17，16，14，12,設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有（)A.a>b>cB。b〉c>aC。c>a>bD。c>b〉a答案D解析易得a＝14。7，b＝15，c＝17，故選D。9。如圖是某青年歌手大獎賽上七位評委為甲，乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖（其中m為數(shù)字0～9中的一個）,去掉一個最高分和一個最低分后，甲，乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1，a2,則a1,a2的大小關(guān)系是________。（填a1〉a2，a2>a1,a1＝a2）.答案a2〉a1解析由題意可知，a1＝eq\f（81＋85×3＋84，5)＝84,a2＝eq\f(84×3＋86＋87，5)＝85，所以a2>a1。10。已知一組正數(shù)x1，x2,x3，x4的方差s2＝eq\f（1,4)（xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2，2)＋xeq\o\al(2，3）＋xeq\o\al（2,4）－16)，則數(shù)據(jù)x1＋2，x2＋2,x3＋2，x4＋2的平均數(shù)為________.答案4解析由題意4eq\x\to(x)2＝16,eq\x\to(x）＝2，所以eq\f（x1＋2＋x2＋2＋x3＋2＋x4＋2,4）＝eq\f（x1＋x2＋x3＋x4，4)＋2＝4.11。(2016·四川）我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸），將數(shù)據(jù)按照［0，0。5），[0。5，1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖。(1）求直方圖中a的值;（2）設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；(3）估計居民月均用水量的中位數(shù)。解(1）由頻率分布直方圖可知:月均用水量在［0，0.5）的頻率為0.08×0。5＝0。04.同理，在[0。5，1），[1。5，2），［2，2.5),[3，3。5)，[3.5，4)，[4,4.5］等組的頻率分別為0.08，0.21，0.25，0。06，0。04，0。02。由1－(0.04＋0.08＋0。21＋0.25＋0。06＋0.04＋0。02