廿一世紀(jì)的數(shù)學(xué)展望

廿一世紀(jì)的數(shù)學(xué)展望丘成桐教授浙江大學(xué)哈佛大學(xué)1數(shù)學(xué)社會(huì)現(xiàn)象工程現(xiàn)象物理現(xiàn)象2數(shù)學(xué)和工程科學(xué)是社會(huì)科學(xué)的基礎(chǔ)理論物理是工程科學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)是理論物理的基礎(chǔ)3人類科技愈進(jìn)步愈能發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象種種繁復(fù)現(xiàn)象使人極度迷惘(例如︰湍流問題、黑洞問題)但是主宰所有現(xiàn)象變化的只是幾個(gè)少數(shù)的基本定律。Standardmodel(標(biāo)準(zhǔn)模型)統(tǒng)一了三個(gè)基本場︰電磁場、弱力、強(qiáng)力但是重力場和這三個(gè)場還未統(tǒng)一物理學(xué)上的統(tǒng)一場論4

重力場由廣義相對(duì)論描述，是狹義相對(duì)論和牛頓力學(xué)的統(tǒng)一理論而形成的。 這是愛因史丹最富有想象力的偉大創(chuàng)作。 愛因史丹方程是

其中g(shù)ij是測度張量（引力場），Tij是物質(zhì)張量

Rij是Ricci曲率張量 黎曼幾何學(xué)從這個(gè)方程進(jìn)入到物理學(xué)的核心部分︰

時(shí)空的變化5弦理論希望統(tǒng)一重力場和其他所有場。在廿一世紀(jì)，基本數(shù)學(xué)會(huì)遇到同樣的挑戰(zhàn)︰基本數(shù)學(xué)會(huì)朝統(tǒng)一的方向發(fā)展，只有在各門分支大統(tǒng)一后，這些分支才會(huì)放出燦爛的火花，而我們才會(huì)對(duì)這些學(xué)問得到本質(zhì)性的了解。數(shù)學(xué)上的統(tǒng)一？6數(shù)學(xué)的大統(tǒng)一將會(huì)比物理的大統(tǒng)一來得基本，也將由統(tǒng)一場論孕育而出。弦論的發(fā)展已經(jīng)成功地將微分幾何代數(shù)幾何群表示理論數(shù)論拓?fù)鋵W(xué)相當(dāng)重要的部分統(tǒng)一起來。數(shù)學(xué)已經(jīng)由此得到豐富的果實(shí)。7

大自然提供了極為重要的數(shù)學(xué)模型，物理學(xué)和工程學(xué)上很多模型都是從物理直覺或從試驗(yàn)觀察出來的。但是數(shù)學(xué)家卻可以從自己的想象，在觀察的基礎(chǔ)上創(chuàng)造新的架構(gòu)。

成功的數(shù)學(xué)架構(gòu)往往是幾代數(shù)學(xué)家共同努力得出的成果，也往往是數(shù)學(xué)中幾個(gè)不同分支合并出來的火花。例如，AndrewWiles的工作就是由橢圓曲線理論和Automorphicform理論，表示論和交換代數(shù)理論的合并得出來的結(jié)果。

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幾何、數(shù)字（尤其是整數(shù)）和函數(shù)的架構(gòu)可以說是數(shù)學(xué)里最直觀的對(duì)象，因此在數(shù)學(xué)的大統(tǒng)一過程中會(huì)起著最要緊的作用。數(shù)學(xué)分析和代數(shù)則是研究這幾門學(xué)問的主要工具，也是基本數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的主要橋梁。數(shù)學(xué)的對(duì)象和工具9

數(shù)學(xué)的發(fā)展由一個(gè)變量到多個(gè)變量，由一維到高維空間，由可換群到非交換群，由低次方程到高次方程，由線性方程到非線性方程，都是不可逆轉(zhuǎn)的趨勢。凡此種種，都隨自然而生，始得華茂。有些數(shù)學(xué)家逆時(shí)發(fā)展一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，難以得到豐盛的果實(shí)。數(shù)學(xué)的發(fā)展10中國古代哲學(xué)家就主張一切事物的發(fā)展都須順應(yīng)自然。老子︰“人法地，地法天，天法道，道法自然”孫子兵法︰“故兵無常勢，水無常形。能因敵變化而取勝者，謂之神。”“激水之疾，至于漂石者，勢也?！?1

找尋數(shù)學(xué)方程的整數(shù)解是算術(shù)中一個(gè)重要的問題。對(duì)一次方程組，中國數(shù)學(xué)家對(duì)同余的方法有很重要的貢獻(xiàn)，因此數(shù)學(xué)史上有著名的中國余數(shù)定理。 在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)和密碼理論亦用到這個(gè)同余的方法。數(shù)論12對(duì)任何一個(gè)素?cái)?shù)p，我們可以找尋方程在p同余的意義下的整數(shù)解（同時(shí)也考慮pn的同余解）。這種解的個(gè)數(shù)可以由計(jì)算機(jī)算出。假如我們將這些數(shù)據(jù)全部放在一起，就可以構(gòu)成所謂L函數(shù)，這是數(shù)論中最重要的函數(shù)。它是一個(gè)很美妙的函數(shù)，既有乘積又有無窮級(jí)數(shù)的的表示，它的數(shù)論意義極為重要，因此它有很多特殊的性質(zhì)。13

L函數(shù)是個(gè)復(fù)函數(shù)。它有很多重要的解析性質(zhì)。從Artin，Weil，一直到Langlands都想了解它。在六十年代時(shí)，Swinnerton－Dyer－Birch對(duì)L函數(shù)在零點(diǎn)的消減次數(shù)和橢圓曲線的整數(shù)解做出一個(gè)極為深刻的猜想，影響了五十年來的算術(shù)理論。這個(gè)猜想在多復(fù)變方程組時(shí)還沒有很好的推展。（Beilinson的猜想就是其中一種嘗試。）14

Swinnerton－Dyer－Birch猜想可以用來解決一些難題。一個(gè)數(shù)學(xué)上最古老的問題就可由它來解決:

找出所有正整數(shù)n，使得它是一個(gè)有理直角三角形（三個(gè)邊的長度都是有理數(shù)）的面積。例如6=4×3/2，而{3,4,5}是直角三角形的邊的長度。 這個(gè)問題由Tunnel在八十年代解決，但他需要假定Swinnerton-Dyer-Birch猜想的真實(shí)性。15

二十世紀(jì)的數(shù)論學(xué)家透過代數(shù)幾何的方法已經(jīng)將整數(shù)方程與幾何結(jié)合，群表示理論則提供數(shù)論和幾何學(xué)結(jié)合最重要的工具。在數(shù)論里的Galois群和在幾何學(xué)里的規(guī)范群，都與群表示有關(guān)。五十年來，我們看到數(shù)論和幾何的研究從可交換群發(fā)展到非交換群的表示理論。產(chǎn)生了Langlands理論和Yang－Mills理論。他們都在現(xiàn)代數(shù)學(xué)上占有重要地位置。16在Langlands理論的想法中，一般算術(shù)流形上的L函數(shù)可由所謂Shimura流形的L函數(shù)生成。在橢圓曲線的特殊情形下推出所謂Shimura－Tanniyama－Weil猜測。而這個(gè)猜測由AndrewWiles十年前證明，他透過Frey，Serre和Ribet的貢獻(xiàn)將困擾了數(shù)學(xué)界近三百多年的Fermat猜測完全解決。就是說以下方程:在n≧3時(shí)的整數(shù)解必定在{0,-1,1}的集合中。17

Taylor是Wiles的學(xué)生，除了對(duì)上述Shimura－Tanniyama－Weil猜測工作有重要的貢獻(xiàn)外，他最近還解決了一簇橢圓曲線上的Sato－Tate猜測。這是關(guān)于橢圓曲線對(duì)素?cái)?shù)同余解的數(shù)目分布問題，它的分怖與物理學(xué)家E.Wigner在量子力學(xué)所用到的分怖極為相似，Tayler的理論將數(shù)論帶進(jìn)一個(gè)新的方向。18在二十一世紀(jì)我們可以預(yù)見數(shù)論函數(shù)的理論會(huì)有長足的發(fā)展，也希望他們的理論會(huì)跟幾何、物理學(xué)逐漸凝結(jié)在一起。弦理論上的一個(gè)重要的代數(shù)流形叫做Calabi－Yau空間，它可以說是橢圓曲線的自然推展。我們已經(jīng)逐漸見到弦學(xué)上的對(duì)偶理論在深刻地影響著Calabi-Yau空間的了解，所以也可以想象他們會(huì)在算術(shù)上有特殊的貢獻(xiàn)。19

這二十年來數(shù)論學(xué)家發(fā)現(xiàn)很多算術(shù)函數(shù)的分布狀況與大型矩陣領(lǐng)域上的譜積分有相似的地方。而后者在統(tǒng)計(jì)物理中卻經(jīng)常出現(xiàn)。四年前Vafa和他的合作者們從弦學(xué)的理念中將這些古典的矩陣積分推展到更一般的情形，并發(fā)現(xiàn)這些積分與Calabi－Yau流形里的全純形式積分有關(guān)。我們有理由相信弦理論會(huì)提供數(shù)論和幾何結(jié)合的橋梁。20

幾何和拓樸在十九世紀(jì)中葉，復(fù)變函數(shù)開始奠基。因此刺激了各門數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展︰數(shù)論函數(shù)（如黎曼zeta函數(shù)）得到嚴(yán)格的處理，解析數(shù)論這門學(xué)科因此而生。

多葉函數(shù)的出現(xiàn)則引起了黎曼曲面的定義。

21到了二十世紀(jì)，Poincare證明了黎曼曲面上存在唯一的曲率等于-1的黎曼度量。率先引入幾何和群論的方法來研究曲面，并得出自守形函數(shù)和雙曲幾何的密切關(guān)系。由于對(duì)多體力學(xué)問題相空間的構(gòu)造問題，Poincare對(duì)高維空間產(chǎn)生濃厚的興趣也開始奠定拓?fù)鋵W(xué)的主要基礎(chǔ)。一般來說，在研究空間的大范圍架構(gòu)時(shí)。拓?fù)鋵W(xué)家希望將空間用代數(shù)的方法進(jìn)行分類。用同調(diào)群和基本群來控制空間的架構(gòu)。他們?cè)谘芯靠臻g時(shí)引進(jìn)三角化和組合的方法，但對(duì)微分拓?fù)鋪碚f主要的方法乃是切割（Surgery）子流形。22高維空間用到Thom的Cobordism理論。Smale則更進(jìn)一步由Morse理論悟出的handlebody理論，得以將高維空間的分類變成計(jì)算同調(diào)群，特征類和由基本群所產(chǎn)生的代數(shù)不變量。高維空間理論中一個(gè)重要的工具是由Whitney發(fā)展出的一個(gè)方法，但是Whitney的方法要依靠到空間中二維子流形在一般情形下不相交。23

由于一般曲面在三維和四維空間會(huì)自行相交。因此切割方法在低維空間遇到很大的困難。可是三維和四維空間恰恰是物理學(xué)家最為關(guān)心的空間。在愛因斯坦發(fā)現(xiàn)廣義相對(duì)論后，我們知道空間會(huì)受到重力場影響而變更曲率，空間的拓?fù)湟嚯S之變動(dòng)。24

二十一世紀(jì)幾何學(xué)的發(fā)展有相當(dāng)重要的部分會(huì)是有組織地解決三維和四維空間的問題。除了它們的拓?fù)湫再|(zhì)外，更重要的是空間上的幾何和分析問題。 我們從二十世紀(jì)黎曼曲面的發(fā)展可以約略地猜測未來這個(gè)世紀(jì)幾何和拓?fù)鋵W(xué)的走向。25

黎曼曲面在代數(shù)幾何、數(shù)論、分析、微分幾何和復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)都占有重要的地位。 在代數(shù)幾何里，它又叫做代數(shù)曲線。意大利幾何學(xué)家們用射影幾何的方法對(duì)它做深入的了解并作為工具去研究高維空間的代數(shù)流形。這種看法仍會(huì)是代數(shù)幾何的主流。弦理論一個(gè)重要的貢獻(xiàn)就是對(duì)代數(shù)曲線的個(gè)數(shù)的算法得到漂亮的公式。Mori的著名工作也是奠基在相當(dāng)一般的代數(shù)流形里構(gòu)造有理曲線。辛幾何的發(fā)展則奠基于研究擬全純（pseudoholomorphic）曲線的架構(gòu)。26這些表面不同的理論已經(jīng)逐漸融合，當(dāng)它的理論完美發(fā)展后，將會(huì)成為數(shù)學(xué)中具有威力的工具。27

在數(shù)論上我們知道古典的modularform都是在代數(shù)曲線上定義的扭曲的復(fù)函數(shù)，而曲線上Riemann－Roch公式則往往給出這些函數(shù)的描述而因此得到很多重要的算術(shù)內(nèi)容。例如它們可以描述一個(gè)正整數(shù)寫成不同整數(shù)的power的和的個(gè)數(shù)。28

由Poincare、Koebe等人發(fā)展的單值化原理使我們知道黎曼曲面都可以看作單位圓面透過離散群得出來的商空間，而這些離散群可以看作二次矩陣群的子群。Poincare因此將離散群引入自守函數(shù)和黎曼曲面理論中，他因此得出新的方法來構(gòu)造自守函數(shù)。29

黎曼曲面有很多獨(dú)特的性質(zhì)，而其中最重要的一點(diǎn)是上述的單值化原理。任何一個(gè)單連通的曲面都可以用保持角度的方法映射到球面上面去。正如我們現(xiàn)下用的地圖是從地球保角不變地映射到平面上。當(dāng)一艘船只在海上航行時(shí)，船長可以在地圖上找出準(zhǔn)確的方向就是因?yàn)楸＝堑木壒?。我們發(fā)現(xiàn)這種保角投影對(duì)任何二維曲面都可以辦得到。30單值化定理的證明多姿多彩。最一般和最重要的證明由Morrey先生在1938年給出。他所需要函數(shù)的光滑性不多，在二十世紀(jì)非線性分析中占了重要的地位。無論二次二維非線性微分方程和復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)的理論都以它為基礎(chǔ)。31在高維空間的單值化也是一個(gè)重要的問題，如何找出具體而有意思的問題是很重要的，在復(fù)幾何的情況下，我在七十年代提出的一系列問題已得到一些解答，但是即使在這個(gè)情形下還未全部完成。我曾經(jīng)證明復(fù)空間的Poincare猜想,在二維空間時(shí)答案是完滿的，但是以下的高維的復(fù)Poincare猜想還未解決:如何證明同倫于射影空間的代數(shù)流形必須是射影空間。32黎曼曲面第二個(gè)重要基礎(chǔ)就是如何去描述在非單連通的曲面上所有保角結(jié)構(gòu)。從復(fù)函數(shù)的觀點(diǎn)來看，這就是Teichmuller空間的建立。而從代數(shù)曲線的觀點(diǎn)來看，它的商空間是代數(shù)曲線的?？臻g。?？臻g和Teichuniler空間的關(guān)系通過mappingclassgroup這個(gè)群的表示理論值得到多所考慮。如何具體的表示這兩個(gè)空間也是個(gè)重要的問題。例如如何找到典型的方法將Teichuniler空間嵌入復(fù)歐氏空間中。33二十世紀(jì)中葉以后人們對(duì)它們的架構(gòu)有一定的了解，在二十一世紀(jì)我們會(huì)繼續(xù)努力。尤其在這兩個(gè)空間的調(diào)和分析和其中的子流形問題。34弦理論開章明義是研究曲線在時(shí)空中振蕩的所有經(jīng)驗(yàn)。而曲線的軌跡就是一個(gè)黎曼曲面。弦理論因此對(duì)代數(shù)曲線的模提供了很多新的數(shù)學(xué)公式。例如E.Verlinder和Witten的公式，這兩個(gè)公式的證明在這十五年來的數(shù)學(xué)界有深入的影響。35

三度空間和四維空間是時(shí)空本身的幾何，可是我們對(duì)他們的了解遠(yuǎn)沒有對(duì)黎曼曲面來得深入?？梢韵胂蟮氖潜臼兰o(jì)的數(shù)學(xué)將會(huì)促使二維空間的研究提升到三維和四維空間。而將它們變成幾何和理論物理的主要工具。36

三度空間的拓?fù)涫加赑oincare。他提出著名的Poincare猜想。以后經(jīng)歷Dehn，Kneser，Haken，Waldhausen直到Thurston才理出一條清晰的思路。

Poincare認(rèn)為對(duì)任何一個(gè)封閉的三度空間，如果任何一條閉曲線都可以連續(xù)地收縮到一點(diǎn)，則這個(gè)空間必定是三維球面。37這個(gè)漂亮的問題吸引了數(shù)學(xué)家一百年。不單是因?yàn)樗且粋€(gè)難題，也因?yàn)樗茄芯咳瓤臻g的一個(gè)最基本問題。在1978年，Thurston提出全面了解三維空間的幾何化猜測。他認(rèn)為所有緊致封閉的三度空間必可由八種具有不同幾何架構(gòu)的三度空間構(gòu)成。除了三維球和商空間外，最重要的乃是雙曲空間。在所謂“足夠大”的三度空間情形下，Thurston証明了他的猜想。但是他的方法不可能推展到最一般的三度空間上。381980年，我的朋友Hamilton發(fā)展了一套非線性微分方程組。他利用幾何空間的曲率（Ricci曲率）來變動(dòng)空間的幾何。因此得到一些漂亮的定理。于是我建議他用這個(gè)方法來證明Thurston的幾何化猜測。這是數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常艱巨的事業(yè)。用到的工具是非線性方程和黎曼幾何的理論。三十年來我們幾何分析學(xué)家創(chuàng)造出來的定理都投入到這個(gè)研究領(lǐng)域里。39

Hamilton首先在正曲率的情形下解決了方程收斂性問題，奠定了重要的基礎(chǔ)。這里僥幸地避開了微分方程的奇異點(diǎn)問題。但是在一般情形下，奇異點(diǎn)是不可避免的。Hamilton花了二十年的時(shí)間去研究奇異點(diǎn)的性質(zhì)。40

對(duì)于一個(gè)非線性微分方程組，奇異點(diǎn)的架構(gòu)極為復(fù)雜。所幸Hamilton方程乃是拋物形方程，它有比較好的性質(zhì)。我在1985年與李偉光剛好完成在流形上的線性拋物方程的精細(xì)估計(jì)。我向Hamilton提出要將這個(gè)估計(jì)用到他的方程上。41

Hamilton因此提出了新的看法來接納我的建議。他看出我和李偉光的估計(jì)辦法最好在由他的方程產(chǎn)生的孤立子上去研究。孤立子有很多特殊的性質(zhì)，因此我們的估計(jì)比較容易了解，也可以推展到Hamilton的方程。42

在1990年，Hamilton成功地推導(dǎo)了這個(gè)估計(jì)而得到奇異點(diǎn)的深入研究。這些研究可以說有劃時(shí)代的重要性。在1995年，他在適當(dāng)?shù)臈l件下，找到全部了解Thurston問題的方法。這是極有深度的研究。 但是還有一些奇異點(diǎn)的問題尚未解決。如何控制奇異點(diǎn)切除的問題要到三年多以前俄國人Perelman的工作后才有頭緒。43Perelman對(duì)上述Li－Yau－Hamilton估計(jì)做出更深入的了解，仿照他們的方法，引進(jìn)了新的時(shí)空上的長度和體積來控制奇異點(diǎn)的變化。這些研究極為復(fù)雜。三年來很多人嘗試補(bǔ)上Perelman遺留下來未證明的空白。直到最近，朱熹平和他的合作伙伴曹懷東和陳兵龍才將整個(gè)工作完成。這是幾何拓?fù)鋭?chuàng)立以來最偉大的工作。44

我們可以想象二十一世紀(jì)的數(shù)學(xué)家將會(huì)花很多功夫來消化和深入研究這些空間的幾何和調(diào)和分析。然后將三度空間的幾何應(yīng)用到物理學(xué)，數(shù)論和代數(shù)幾何中去。45

微分方程組的奇異點(diǎn)是十分重要而又非常困難的問題。在工程上，在物理上，在計(jì)算數(shù)學(xué)上都遇到同樣的問題。流體力學(xué)和廣義相對(duì)論首要的問題就是如何處理奇異點(diǎn)。上述三度空間的方法應(yīng)當(dāng)會(huì)有更大發(fā)揮威力的地方。除了上述方法成功地處理奇異點(diǎn)外，古典的代數(shù)幾何有Hironaka理論，用blowup的方法成功地處理代數(shù)空間的奇異點(diǎn)。希望這些方法能夠得到統(tǒng)一。46四維空間的研究極為困難。到目前為止連一個(gè)讓人信服的猜測都沒有。最重要的四維流形是由代數(shù)曲面形成的，但目前人們還沒有辦法將其作細(xì)致的拓?fù)浞诸悺Ｋ木S空間拓?fù)涞牡谝粋€(gè)突破是由Donaldson引入Yang－Mills理論完成的。以后Seiberg－Witten在九十年代得到另一個(gè)突破?？傮w來說，前途還很漫長。這將是幾何學(xué)、幾何分析學(xué)、代數(shù)幾何學(xué)以及物理學(xué)一個(gè)共同的研究領(lǐng)域。幾何分析是我們?cè)谄呤甏l(fā)展出來的理論，在一九七六年我利用KahlerEinstein結(jié)構(gòu)來證明了復(fù)的Poincare構(gòu)想，因此一直來都深信用非線性方法來構(gòu)造Einstein度量，是構(gòu)造幾何結(jié)構(gòu)的主要方向。47在四維空間還有一個(gè)極為重要的幾何結(jié)構(gòu)就是self-dual度量的存在性，Taubes在相當(dāng)一般的情形下，證明它的存在性，但是在四維拓樸的發(fā)展中沒有得到應(yīng)有的注意，問題在于我們對(duì)它們的?？臻g不了解，無從給予拓樸不變量的意義。無論是Einstein度量或self-dual度量，它們?cè)谒木S空間時(shí)的幾何意義都需要深入的研究，self-dual空間的twistorspace有自然的可積復(fù)結(jié)構(gòu)，這個(gè)結(jié)構(gòu)值得去探討，應(yīng)當(dāng)和代數(shù)幾何的方法甚至弦理論有關(guān)。48四維到八維空間都有重要的幾何和物理意義。六維有Calabi－Yau空間，七維有G2空間，八維有Spin(7)和hyperkahler空間，它們?cè)谙依碚撝卸颊加兄匾奈恢?。這些空間的研究牽涉到數(shù)學(xué)不同的領(lǐng)域。我們對(duì)它們的存在性和?？臻g仍不甚了了。六維以上的幾何架構(gòu)除了上述以外，最重要恐怕就是復(fù)架構(gòu)的存在性問題。非代數(shù)的復(fù)流形可能會(huì)成為二十一世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方向。最近弦學(xué)家也在考慮這些架構(gòu)。我們希望它們的研究對(duì)代數(shù)流形會(huì)有幫助。高維的代數(shù)流形的分類大致上需要更靈活的結(jié)構(gòu)來幫忙，正如Cobordism理論，我們可能需要在更大范圍的復(fù)空間來考慮流形如何改變它們的拓樸和子流形。由于Blowingdown并不保持代數(shù)復(fù)流形這種結(jié)構(gòu)，流形的有理結(jié)構(gòu)的分類可能要包括非Kahler的復(fù)流形。49

弦理論發(fā)現(xiàn)有不同的量子場論可以互相同構(gòu)（isomorphic），然而scale剛好相反。在半徑為R的圓上的場論與半徑為1/R的圓上的場論同構(gòu)。因而推出某些強(qiáng)CouplingConstant的理論可以同另一個(gè)弱CouplingConstant的理論同構(gòu)，而后者可以從漸進(jìn)分析理論來計(jì)算。(CouplingConstant可以解釋如下，假設(shè)場論由LagrangianL給出，我們可以產(chǎn)生新的場論，其Lagrangian是L+CL’這個(gè)常數(shù)C就是couplingconstant)。50

由于R→1/R這種奇妙的對(duì)稱可以保持量子場論的架構(gòu)，使得我們可以用擾動(dòng)性的方法去計(jì)算非擾動(dòng)性的場論，在數(shù)學(xué)上有驚人的結(jié)果。最動(dòng)人心弦的定理乃是由此引出的鏡對(duì)稱可以用來找出Calabi-Yau空間中代數(shù)曲線的公式。 更要注意的一點(diǎn)是時(shí)空的架構(gòu)可能因此有基本理念的改變。極小的空間不再有意義。時(shí)空的量子化描述需要更進(jìn)一步的探討。物理學(xué)家和幾何學(xué)家都希望能夠找尋一個(gè)幾何架構(gòu)來描述這個(gè)量子化的空間。有不少學(xué)人建議用矩陣模式來解釋這種現(xiàn)象，雖然未能達(dá)到目標(biāo)，但已得到美妙的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。51約在兩百年前，Gauss發(fā)現(xiàn)Gauss曲率的理念而理解到內(nèi)蘊(yùn)幾何時(shí)，就覺察到空間的理念與時(shí)而變與人類對(duì)大自然的了解有密切關(guān)系。這二十年來，超對(duì)稱的理念深深地影響著基本物理和數(shù)學(xué)的發(fā)展。在實(shí)驗(yàn)上雖然尚未發(fā)現(xiàn)超對(duì)稱，但在數(shù)學(xué)上卻起著凝聚各門分支的作用。我們寧愿相信在極高能量時(shí)，超對(duì)稱確實(shí)存在。但如何看待超對(duì)稱在現(xiàn)實(shí)時(shí)空中的殘余，應(yīng)當(dāng)會(huì)是現(xiàn)代應(yīng)用物理和應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要命題。52

舉例來說，在超對(duì)稱的架構(gòu)中，規(guī)范場和電磁場會(huì)與完全不相關(guān)的子流形理論同構(gòu)。是否意味著這種日常能見的場論可以用不同的手法來處理？對(duì)偶的看法使得我們猜測復(fù)幾何和辛幾何有對(duì)偶的關(guān)系，大部分重要的動(dòng)力系統(tǒng)可以在辛幾何的架構(gòu)上來考慮，這是否意味著很多重要的動(dòng)力系統(tǒng)問題可以變成復(fù)幾何問題來處理。53

在空間中找尋雅致的子流形是了解空間的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。在我們見到平坦的空間里，我們就看到很多漂亮圖形。但是在三維球里，這些圖形會(huì)改變。在三維的圓環(huán)里，二維球不能連續(xù)地收縮成一點(diǎn)。這些二維球卻提供了空間的重要訊息。微分幾何學(xué)家對(duì)子流形的研究有很長久的歷史，也應(yīng)用它們到空間結(jié)構(gòu)上去，但是沒有有系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性的研究。弦學(xué)理論卻提供了這樣的結(jié)構(gòu)。54

在弦理論的影響下，有很多不同的子流形受到重視。它們叫做Brane。弦學(xué)家不單考慮子流形，還考慮子流形上的規(guī)范場。這一點(diǎn)為數(shù)學(xué)家提供了新的看法。 在十年前，我和一位博士后Zaslow就用這種新的看法找出K3曲面有理曲線的個(gè)數(shù)問題。我們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字與modularform有關(guān)。對(duì)代數(shù)幾何學(xué)家來說，這是值得驚訝的結(jié)果。后來，Strominger、Zaslow和我又發(fā)現(xiàn)有些子流形（specialLagrangiancycle）對(duì)對(duì)偶空間提供重要的訊息，這些流形與代數(shù)流形同樣重要。55一般來說，我們希望用拓?fù)浠虼鷶?shù)的方法來描述有宏觀意義的子流形，在這個(gè)領(lǐng)域里，最重要的問題無過于Hodge猜測。 Hodge猜測的重要性在于它提供一個(gè)有效的方法去描述代數(shù)流形里面可用多項(xiàng)式來定義的子流形的同調(diào)群。無論在代數(shù)、算術(shù)、還是在幾何里，這都是舉足輕重的猜測。對(duì)于這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展，這應(yīng)當(dāng)是一個(gè)重要的命題，很可能是幾何分析一個(gè)主要目標(biāo)。在數(shù)論里，由Grothendieck、Deligne以來發(fā)展的motivic理論試圖理解這些子流形。Tate猜測則在算術(shù)流形上考慮同樣的問題。我本人相信應(yīng)當(dāng)將代數(shù)流形推廣到一般的復(fù)流形來考慮Hodge猜測，同時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮更一般的子流形。56

數(shù)論學(xué)家為了研究算術(shù)而大膽地改變空間的定義。他們所引進(jìn)的概念可能在現(xiàn)象界會(huì)有真實(shí)的意義。其中一個(gè)重要的幾何叫做Arakelov幾何。它在Faltings證明Mordell猜測時(shí)得到應(yīng)用。這是很吸引人的一種幾何。我們不單考慮在復(fù)數(shù)上定義的空間，也考慮同余于p的空間，而且要將所有這些空間一同處理。這種空間是否含有物理意義？57從相反的觀點(diǎn)來說，弦學(xué)家提出holographicprinciple，希望用空間邊界上的知識(shí)來確定空間本身的物理狀況。他們發(fā)展出AdS/CFT的理論已經(jīng)得出很多豐富的幾何結(jié)果。

但是數(shù)學(xué)家還沒有提出很好的辦法來描述這個(gè)principle.Hilbert提出過一個(gè)問題可能與它有關(guān):在流形的邊界上任何兩點(diǎn)的距離已經(jīng)決定，可否決定流形的幾何。58

現(xiàn)下來談?wù)剶?shù)學(xué)分析。從微積分發(fā)展以后，數(shù)學(xué)分析在Euler，Lagrange，Gauss，F(xiàn)ourier等人的大力發(fā)展下已成為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和物理學(xué)不可缺少的學(xué)問。從上述的討論亦可以看到，近幾十年來發(fā)展的幾何分析是構(gòu)造幾何架構(gòu)不可或缺的工具。函數(shù)結(jié)構(gòu)和分析學(xué)59

牛頓力學(xué)中第一個(gè)重要問題就是引力問題。

星體問題的研究沿襲至今，產(chǎn)生了動(dòng)力系統(tǒng)很多重要而漂亮的問題。由于Poincare，kolmogorov，Arnold，Moser一直到最近Mather，Hermann等人的工作，我們曉得星體問題的復(fù)雜性，尤其是三體問題已經(jīng)出現(xiàn)了Chaos的現(xiàn)象。這個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的理論變得極為困難，尤其是KAM的理論只有在輕微擾動(dòng)時(shí)始能成立。在非擾動(dòng)的Hamilton系統(tǒng)沒有強(qiáng)有力的辦法來了解多體的穩(wěn)定性。非線性常微分方程組多姿多彩，他們的深入了解應(yīng)當(dāng)可以幫助偏微分方程的研究。60動(dòng)力系統(tǒng)用到的辦法影響了幾何學(xué)中的測地線研究，例如geodesic流的ergodie理論，閉測地線個(gè)數(shù)的問題。Morse在這方面有大貢獻(xiàn)，以后又有Conly的工作，geodesic的理論在微分幾何中發(fā)展很快，例如equavarantcohomology在證明閉測地線的存在和算他們的個(gè)數(shù)起了很大作用，閉測地線的長度和Laplacian算子的譜有密切的關(guān)系，也許這些理論可以反過來幫忙多體問題。 在流形上，我們可以想象用點(diǎn)結(jié)合起來形成圖后，用多體問題方法來處理其上的幾何動(dòng)力問題。事實(shí)上在處理Hamilton的Ricci流時(shí)，Li-YauHamilton和Perelman引入的時(shí)空上的路線積分基本上是Hamilton力學(xué)得出來的Lagrangian。61

歷來科學(xué)家都很重視多體問題，尤其是體數(shù)很大的時(shí)候，無論古典或量子化的多體問題，都還有很多困難。一般說來，統(tǒng)計(jì)物理提供主要的方法。從Morrey開始到Varadhan和姚鴻澤等人的工作我們發(fā)覺流體方程可由多體問題推導(dǎo)。Dyson，Leonard，Lieb等人都為量子多體問題的穩(wěn)定性做出重要的數(shù)學(xué)結(jié)果。

62粒子極多時(shí)，我們可用流體方程來逼近粒子的變化，但是粒子的殘余性質(zhì)不見得全部由連續(xù)方程吸收。尤其是粒子不算太多也不算太少的時(shí)候，古典的流體方程和Navier－Stokes方程未必能夠準(zhǔn)確地描述粒子的所有物理現(xiàn)象。反過來說研究流體方程的學(xué)人亦企圖用粒子的隨機(jī)過程來逼近和描述方程的動(dòng)態(tài)變化。在各種重要的線性或非線性方程加上隨機(jī)過程將是數(shù)學(xué)應(yīng)用到工程學(xué)上一個(gè)重要方向。63

除了流體方程和描述表面張力的方程外，十九世紀(jì)的分析學(xué)家大致上致力于線性方程的研究。基本波動(dòng)方程的模式是線性的（波的疊加成線性現(xiàn)象）。另外一個(gè)基本原因是任何非線性方程的研究必須奠基于線性方程的深入了解。（到目前為止，非線性方程的嚴(yán)格處理大致上仍在于控制它們的線性化方程。）64

十九世紀(jì)時(shí)數(shù)學(xué)家對(duì)Laplace算子、熱傳導(dǎo)方程、波動(dòng)方程和Tricomi方程這些線性方程做了深入的研究。種種不同的積分變換如Fourier、Laplace變換等成為數(shù)學(xué)分析的重要支柱。Fourier級(jí)數(shù)的發(fā)現(xiàn)有劃時(shí)代的重要性，它與線性算子的譜分析有密切的關(guān)系，它與積分方程理論引起了Hilbert空間的發(fā)現(xiàn)。Laplace算子和Dirac算子的譜分析在群表示理論、數(shù)論、幾何學(xué)上都有重大的意義。舉例來說，Dirac算子的研究導(dǎo)致Atiyah－Singer指標(biāo)定理的證明，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)上有重要的貢獻(xiàn)。65各種不同的積分變換除了幫忙解決線性微分方程式外，也將Euler的發(fā)散函數(shù)理論得到嚴(yán)格化，Zeta函數(shù)因此得到解析延拓(Analyticcontinuation)Fourier變換可以用來證明PoissonSummationformula，這個(gè)公式仍然是一般函數(shù)作解析延拓時(shí)的主要工具，可是數(shù)論上重要的L函數(shù)的延拓問題還沒有全部解決，它有深遠(yuǎn)的算術(shù)意義，我們需要新的解析延拓的工具，有了解析延拓，泛函方程(functionalequation)才有意義。有了泛函方程我們才知道這些函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系，這些函數(shù)的零點(diǎn)因此有特殊的性質(zhì)，因此66黎曼猜測Zeta函數(shù)的主要零點(diǎn)是在Res=1/2的在線，我們當(dāng)然希望黎曼和廣義的黎曼猜想得到解決，這些問題有深遠(yuǎn)的算術(shù)意義，它們可否單用解析方法去全部解決，是值得思考的，它是否跟離散群、算術(shù)幾何、譜分析或數(shù)學(xué)物理有關(guān)。在弦理論中也產(chǎn)生了很多有算術(shù)意義的函數(shù)，它們的解析延拓還未解決，它們的算術(shù)性質(zhì)值得去研究。它們有沒有適當(dāng)?shù)姆汉匠棠兀?7一般來說在分析中，我們希望找到一組簡單而易于控制的函數(shù)來表示任意一個(gè)函數(shù)或一個(gè)波，除了正弦和余弦函數(shù)外還有各種正交多項(xiàng)式orthogonalpolgromial，函數(shù)不同的表示引導(dǎo)出不同的收斂的方法，這些問題極為有意義，Carelson著名的L2

函數(shù)收斂定理可說是分析學(xué)中劃時(shí)代創(chuàng)作。有界函數(shù)卻有截然不同的表現(xiàn)，Carelson解決的一維的復(fù)函數(shù)理論的Corona問題還未推廣到高維空間，在高維復(fù)幾何中，這是有迫切需要的。我們對(duì)有界全純函數(shù)組成的Banach代數(shù)理解不深。這些Banach代數(shù)的譜分析還待深入研究。68

在十九世紀(jì)中葉，多維變分法開始發(fā)展。當(dāng)時(shí)研究主要集中在Lapalce算子（Dirichlet原理），以后推展到一般的橢圓形算子系統(tǒng)，成為方程解存在的一個(gè)主要辦法。 調(diào)和分析和勢場理論對(duì)Laplace算子提供了深入的了解。我們也因此有一個(gè)基礎(chǔ)去研究非線性橢圓方程的正則性問題，從而解決了各種幾何和物理上遇到的存在性問題。69

盡管如此，我們對(duì)非線性橢圓微分方程組了解還是不夠深入，他們解的奇異點(diǎn)還待了解。本世紀(jì)會(huì)從幾何和物理的觀點(diǎn)去探討。正如Hamilton工作中對(duì)奇異點(diǎn)的處理將會(huì)提供我們以后工作很多提示。各種不同的Scale會(huì)出現(xiàn)，如何有效處理scaling可能會(huì)從物理學(xué)里得到啟示。 橢圓方程描述與時(shí)間無關(guān)的幾何或物理狀況。動(dòng)態(tài)的方程極為困難，進(jìn)展也比較緩慢，如何尋找非線性量的估計(jì)是主要問題。一般的能量估值是積分估值，不足以控制極為精細(xì)而有趣的現(xiàn)象。70

拋物方程與橢圓方程比較接近，其正則性也比較容易處理。上述的Hamilton、李偉光和我對(duì)拋物方程組的研究提供了非線性拋物方程一個(gè)有用的估值原則。我們?cè)谶@些方程的特殊解（soliton）中先得到一些重要的量，然后利用極大值原理來證明它在一般情形下滿足不等式。Hamilton和我發(fā)現(xiàn)這個(gè)原理是一般拋物方程共同的基本特性，是處理奇異點(diǎn)重要的工具。除了處理Ricci流外，它在應(yīng)用數(shù)學(xué)里應(yīng)當(dāng)能發(fā)揮作用。71

拋物方程不單有它本身的幾何和物理意義，它對(duì)橢圓方程也提供了新的方法。舉例來說，線性的熱方程是連接局部幾何和流形上譜的一個(gè)橋梁。從物理上說這是古典力學(xué)過渡到量子力學(xué)一個(gè)過程。從這個(gè)觀點(diǎn)來看，一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的方程在尋找解時(shí)，很可能透過拋物方程得到深入的了解。72

二十一世紀(jì)的微分幾何一個(gè)最重要的問題是Einstein方程解的存在性問題。在代數(shù)流形的理論里有所謂幾何穩(wěn)定性的理念。二十年前，我提出方程存在性與這種穩(wěn)定性有關(guān)。這個(gè)想法己經(jīng)成為一個(gè)重要的研究方向。在研究Kahler流形上的度量問題上，最重要的突破是由Donaldson作出的。這種穩(wěn)定性的研究與辛幾何里面的momentmap密切相關(guān)，假如我們認(rèn)為辛幾何和復(fù)幾何對(duì)偶，我們或許可以更透徹地探討這個(gè)現(xiàn)象。73

我相信大部分的微分方程組會(huì)有相似的現(xiàn)象。我們可以人為地加上時(shí)間而構(gòu)成新的方程組。當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)，希望找出原方程的解，或帶奇異點(diǎn)的解。（奇異點(diǎn)的存在性會(huì)與上述方程的穩(wěn)定性有關(guān)。）這種穩(wěn)定性應(yīng)當(dāng)比古典的概念來得廣泛，它與代數(shù)幾何里的幾何不變理論密切相關(guān)。74非線性波動(dòng)方程比拋物方程困難。其中一個(gè)主要原因時(shí)在有限的速度下，我們沒有很好的方法去控制不同的波互相消減的辦法。在可積系統(tǒng)的波動(dòng)方程中，有所謂inversescattering的方法將非線性方程轉(zhuǎn)變成比較容易處理的線