ch6最佳MMSE濾波課件

最佳(MMSE)線性濾波最小均方誤差估計線性預測MMSE濾波器設計隨機信號作為濾波器的輸入(p.107-111)傳統(tǒng)濾波器:低通,高通,帶通,帶阻對信號的不同頻率分量進行取舍傳統(tǒng)濾波器在很多應用場合不符合實際需要例子：信道均衡器設計通過對接收信號的線性組合，從x恢復出y更一般化的信號估計問題：基于接收信號，構造一定結構的估計器，從中恢復出期望的信號（又稱信號估計問題）。濾波器設計的步驟：確定估計器的實現結構：IIR，FIR

預先假設信號的統(tǒng)計特性（輸入，噪聲等）：獨立同分布輸入確定性能準則（目標函數），及其參數確定優(yōu)化方法：估計器系數的求解最小均方誤差準則期望信號估計信號實現最佳濾波的常用準則：最小均方誤差線性估計：導致簡單的濾波器求解算法易于進行性能分析線性均方誤差估計一般化問題模型期望信號觀測信號待估計參數時間下標不同參數，不同觀測信號對非時變系統(tǒng)注意和書(6.2.1)-(6.2.4)的比較共軛轉置濾波器系數求解原則：矢量函數的求導常用求導公式與6.2.11一致正交性原理隨機矢量的內積定義為正交：內積等于0對于最小均方誤差估計，當實現最佳估計時正交性原理：當實現最佳估計時，估計誤差與所采用的觀測信號正交可以證明，正交性原理和最小均方誤差是等價的MMSE參數估計主要結論僅依賴于期望信號和輸入數據性能曲面是濾波器參數的二次函數，函數曲面是凸曲面，且存在唯一全局最小點，在偏離最佳估計系數時，所造成的超量誤差只決定于輸入數據的相關矩陣。正交性原理提供濾波器參數估計的直觀解釋和參數估計途徑濾波器參數也可由相關矩陣的特征值和特征向量計算得到。平穩(wěn)過程的最佳有限沖激響應濾波－頻率域解釋基于正交性原理維納－霍夫方程兩邊取傅立葉變換從上式求解不一定能得到FIR因果濾波器更適應于求解IIR非因果濾波器線性預測前向預測：利用某一時刻以前p時刻的數據的線性組合來預測該時刻的值。不同表現形式預測誤差定義為：預測均方誤差定義為：和AR模型的YW方程是一致的。預測誤差和觀測值相互正交，是最佳線性預測的充要條件后向預測：利用某一時刻以后p時刻的數據的線性組合來預測該時刻的值。預測誤差定義為：預測均方誤差定義為：后向預測的維納-霍夫方程前向預測與后向預測的關系前向預測維納－霍夫方程（二階預測為例）相關矩陣按行逆序再按列逆序后向預測方程:結論:對復信號,有類似結論:線性預測的基本性質對平穩(wěn)信號,前向預測算子是最小相位的,后向預測算子是最大相位線性預測系數可由自相關矩陣的特征矢量和特征值求解.

預測誤差可由相關矩陣的行列式求解。線性預測應用例子：信道均衡可以證明,延時為m的線性預測,當預測長度足夠長是,預測誤差為規(guī)則方程輸入信號為零均值,獨立同分布信號信道傳輸矩陣第m列考慮兩個不同延時的預測器,有IIR濾波器的維納-霍夫方程平穩(wěn)過程的最佳無限沖激響應濾波正交性原理最小均方誤差非因果維納濾波器雙邊z變換：單位圓外存在零點不一定是因果系統(tǒng)，物理不可實現平穩(wěn)過程的最佳無限沖激響應濾波一種簡單情況:濾波器輸入為白噪聲求單邊z變換平穩(wěn)過程的因果最佳無限沖激響應濾波維納-霍夫方程白化濾波器白噪聲H(z)是可逆的最小相位系統(tǒng),w(n)可以看成是隨機信號下x(n)的更新當x(n)是規(guī)則過程時,白化濾波器一定存在同樣信息一般情況:先設計一個濾波器將輸入信號白化平穩(wěn)過程的因果最佳無限沖激響應濾波)(nx)(ny)(1zG)(zQ)(nw譜因式分解：零極