高中數(shù)學(xué)人教B版第二章函數(shù)函數(shù) 名師獲獎(jiǎng)

第二章2.1.4第A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．如右圖是偶函數(shù)y＝f(x)的局部圖象，根據(jù)圖象所給信息，下列結(jié)論正確的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號65164411)(B)A．f(－2)－f(6)＝0 B．f(－2)－f(6)<0C．f(－2)＋f(6)<0 D．f(－2)－f(6)>0[解析]由圖象可知，f(2)<f(6)，又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－2)＝f(2)，∴f(－2)－f(6)<0.2．函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x＋1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的表達(dá)式為eq\x(導(dǎo)學(xué)號65164412)(D)A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－1C．f(x)＝－x＋1 D．f(x)＝－x－1[解析]設(shè)x<0，則－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝－x－1，∴x<0時(shí)，f(x)＝－x－1.3．已知f(x)、g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號65164413)(C)A．－3 B．－1C．1 D．3[解析]∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，①∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又∵f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，②由①②得f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，∴f(1)＝2，g(1)＝－1，∴f(1)＋g(1)＝1.4．設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號65164414)(C)A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)[解析]令F(x)＝f(x)|g(x)|，則F(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F(x)，∴函數(shù)f(x)|g(x)|是奇函數(shù)．二、填空題5．如果F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3x>0,fxx<0))是奇函數(shù)，則f(x)＝__2x＋\x(導(dǎo)學(xué)號65164415)[解析]設(shè)x<0，則－x>0，∴F(－x)＝2(－x)－3，即F(－x)＝－2x－3，又F(x)為奇函數(shù)，∴F(－x)＝－F(x)，即F(x)＝－F(－x)＝2x＋3，∴f(x)＝2x＋3.6．已知函數(shù)f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于__－\x(導(dǎo)學(xué)號65164416)[解析]解法一：f(－2)＝(－2)5＋a(－2)3－2b－8＝－(25＋23a＋2b∵25＋23a＋2∴f(2)＝25＋23a＋2解法二：顯然f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx為奇函數(shù)，f(－2)＋8＝－[f(2)＋8]，即18＝－f(2)－8.∴f(2)＝－26.三、解答題7．判斷下列函數(shù)的奇偶性.eq\x(導(dǎo)學(xué)號65164417)(1)f(x)＝x4＋2x2＋1；(2)f(x)＝x3＋2x，x∈[－1,1)；(3)f(x)＝eq\r(x2－1)·eq\r(1－x2).[解析](1)f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＋1＝x4＋2x2＋1＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．(2)∵x∈[－1,1)，∴定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1≥0,1－x2≥0))，得x＝±1.∵f(1)＝f(－1)＝0，f(1)＝－f(－1)＝0，∴函數(shù)f(x)＝eq\r(x2－1)·eq\r(1－x2)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．8．已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(b,x)(其中a、b為常數(shù))的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)(1,2)和(2，eq\f(5,2)).eq\x(導(dǎo)學(xué)號65164418)(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性．[解析](1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2,2a＋\f(b,2)＝\f(5,2)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝1)).∴f(x)＝x＋eq\f(1,x).(2)由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對稱．又f(－x)＝－x－eq\f(1,x)＝－(x＋eq\f(1,x))＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，若x1<0且x1＋x2>0，則eq\x(導(dǎo)學(xué)號65164419)(A)A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)與f(－x2)的大小不確定[解析]∵x2>－x1>0，f(x)是R上的偶函數(shù)，∴f(－x2)＝f(x2)．又f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．2．設(shè)f(x)是定義在[－6,6]上的偶函數(shù)，且f(4)>f(1)，則下列各式一定成立的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號65164420)(D)A．f(0)<f(6) B．f(4)>f(3)C．f(2)>f(0) D．f(－1)<f(4)[解析]∵函數(shù)f(x)是定義在[－6,6]上的偶函數(shù)，∴f(－1)＝f(1)，又∵f(4)>f(1)，∴f(4)>f(－1)，故選D．二、填空題3．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x，則函數(shù)f(x)在R上的解析式是f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－2x≥0,－x－x－2x＜0)).eq\x(導(dǎo)學(xué)號65164421)[解析]解法一：設(shè)x<0，則－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，∵y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)＝x2＋2x(x<0)．∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2xx≥0,x2＋2xx<0))，即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－2x≥0,－x－x－2x<0))，∴f(x)＝|x|(|x|－2)．4．偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)，則f(－4)__≥__f(a2＋4)(a∈R)．(填：>、<、≥、≤)eq\x(導(dǎo)學(xué)號65164422)[解析]由f(x)是偶函數(shù)可知f(－4)＝f(4)．∵a2≥0，∴a2＋4≥4.又∵f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)，∴f(4)≥f(a2＋4)，即f(－4)≥f(a2＋4)．三、解答題5．判斷函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋3x<0,2x＝0,－x2＋2x－3x>0))的奇偶性.eq\x(導(dǎo)學(xué)號65164423)[解析]函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)．由于當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝2≠－f(0)，因此盡管x≠0時(shí)f(－x)＝－f(x)成立，但是不符合函數(shù)奇偶性的定義．∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．C級能力拔高1．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2|x|(－3≤x≤3).eq\x(導(dǎo)學(xué)號65164424)(1)證明：f(x)是偶函數(shù)；(2)畫出此函數(shù)的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．[解析](1)∵－3≤x≤3，∴函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．由圖象可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1,0]，[1,3]，單調(diào)遞減區(qū)間為[－3，－1]，[0,1]．2．已知f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝(x2＋1)(x＋1)，求f(x)、g(x).eq\x(導(dǎo)學(xué)號65164425)[解析]∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝