高中數(shù)學(xué)人教B版第一章立體幾何初步 9

第3課時1.1.2棱柱、棱錐、課時目標1.了解、認識和研究棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，并結(jié)合這些結(jié)構(gòu)特征認識日常生活中見到的幾何體．2．認識正棱錐、正棱臺這些特殊多面體的結(jié)構(gòu)特征和性質(zhì)，認識和研究正棱錐或正棱臺中可以稱之為核心圖形的那些直角三角形或直角梯形．識記強化1．棱錐的主要結(jié)構(gòu)特征：(1)有一個面是多邊形；(2)其余各面都是有一個公共頂點的三角形；棱錐中有公共頂點的各三角形叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；多邊形叫做棱錐的底面；頂點到底面的距離叫做棱錐的高．2．棱錐按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐等．如果棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點在過底面中心且與底面垂直的直線上，則這個棱錐叫做正棱錐．正棱錐各側(cè)面都是全等的等腰三角形；等腰三角形底邊上的高叫做棱錐的斜高．3．棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺．原棱錐的底面與截面分別叫做棱臺的下底面、上底面；其他各面叫做棱臺的側(cè)面；相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱；兩底面間的距離叫做棱臺的高．4．由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．正棱臺各側(cè)面都是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高叫做棱臺的斜高．課時作業(yè)一、選擇題(每個5分，共30分)1．能保證棱錐是正棱錐的一個條件是()A．底面為正多邊形B．各側(cè)棱都相等C．各側(cè)面與底面都是全等的正三角形D．各側(cè)面都是等腰三角形答案：C解析：正棱錐的底面是正多邊形，且頂點在過底面中心且與底面垂直的直線上．故底面為正多邊形的棱錐不一定是正棱錐；各側(cè)棱都相等(或各側(cè)面都是等腰三角形)的棱錐不一定是正棱錐；各側(cè)面與底面都是全等的正三角形的棱錐是正三棱錐．2．下列說法正確的是()A．各個面都是三角形的多面體一定是棱錐B．四面體一定是三棱錐C．棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，該棱錐一定是正棱錐D．底面多邊形既有外接圓又有內(nèi)切圓，且側(cè)棱相等的棱錐一定是正棱錐答案：B解析：對于A，只要將底面全等的兩個棱錐的底面重合在一起，所得多面體的每個面都是三角形，但這個多面體不是棱錐，A錯誤；B顯然正確；對于C，舉反例，如圖所示，在棱錐A－BCD中，AB＝BD＝AC＝CD＝3，BC＝AD＝2，滿足側(cè)面是全等的等腰三角形，但該棱錐不是正棱錐，C錯誤；對于D，底面多邊形既有內(nèi)切圓又有外接圓，如果不同心，則不是正多邊形，因此不是正棱錐，D錯誤．3．下面多面體中有12條棱的是()A．四棱柱B．四棱錐C．五棱錐D．五棱柱答案：A解析：四棱柱有4條側(cè)棱，上、下底面四邊形各有4條邊，共12條棱．故選A.4．如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，那么這個棱錐不可能是()A．正三棱錐B．正四棱錐C．正五棱錐D．正六棱錐答案：D解析：如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，OA＝OB＝AB，而在正六棱錐S－ABCDEF中，SA＞OA＝AB，即側(cè)棱長大于底面邊長，側(cè)面不可能是等邊三角形．5．若正三棱錐的底面邊長為3，側(cè)棱長為eq\r(6)，則該棱錐的高等于()\f(\r(3),3)\r(3)C．1\f(\r(3),2)答案：B解析：如圖所示，正三棱錐P－ABC中，OP⊥面ABC，∴點O為正三角形ABC的中心，連結(jié)OA，利用平面幾何知識知正△ABC的高(中線長)等于eq\f(3\r(3),2)，而OA是中線長的eq\f(2,3)，所以O(shè)A＝eq\r(3).在Rt△PAO中AP＝eq\r(6)，OA＝eq\r(3)，OA⊥OP，得OP＝eq\r(3).6．有一個正三棱錐和一個正四棱錐，它們所有的棱長都相等，把這個正三棱錐的一個側(cè)面重合在正四棱錐的一個側(cè)面上，則所得到的這個組合體是()A．底面為平行四邊形的四棱柱B．五棱錐C．無平行平面的六面體D．斜三棱柱答案：D解析：如圖，正三棱錐A—BEF和正四棱錐B—CDEF的一個側(cè)面重合后，而面BCD和面AEF平行，其余各面都是四邊形，故該組合體是斜三棱柱．二、填空題(每個5分，共15分)7．如圖是一個立體圖形的展開圖，則該立體圖形是________．答案：正五棱錐解析：底面是正五邊形，其余各面是有公共頂點的等腰三角形，故幾何體為五棱錐．8．下列說法正確的是________(填序號)．①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長方體；③直四棱柱是平行六面體；④正棱錐的各側(cè)面均為等腰三角形．答案：①④解析：由平行六面體的定義，知①正確；因為底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱與底面可以不垂直，所以②不正確；因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，所以③不正確；由正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，知④正確．9．正五棱臺的上、下底面面積分別為1cm2、49cm2，平行于底面的截面面積為25cm答案：2解析：“還臺于錐”，利用相似比求．三、解答題10．(12分)如圖正四棱錐P—ABCD的底面邊長為a，高為h，求它的側(cè)棱PA的長和斜高PE.解：由正四棱錐的底面邊長為a，得AO＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△PAO中，PA＝eq\r(PO2＋AO2)＝eq\r(h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(2),2)eq\r(a2＋2h2)，∵OE＝eq\f(1,2)a，∴在Rt△POE中，斜高PE＝eq\r(PO2＋OE2)＝eq\r(h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2)＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋4h2)，即此正四棱錐的側(cè)棱長為eq\f(\r(2),2)eq\r(a2＋2h2)，斜高為eq\f(1,2)eq\r(a2＋4h2).11．(13分)正三棱臺的上、下底面邊長及高分別為1,2,2，求它的斜高．解：如圖所示，O1，O分別為上、下底面的中心，D1，D分別為A1B1和AB的中點，則O1D1＝eq\f(\r(3),6)，OD＝eq\f(\r(3),3)，OO1＝2.在直角梯形O1D1DO中，DD1＝eq\r(OO\o\al(2,1)＋OD－O1D12)＝eq\r(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)))2)＝eq\f(7\r(3),6)，即該正三棱臺的斜高為eq\f(7\r(3),6).能力提升12．(5分)(1)如圖甲所示為某幾何體的展開圖，沿圖中虛線將展開圖折起來，是哪一種幾何體？試用文字描述并畫出示意圖．(2)需要多少個(1)中的幾何體才能拼成一個棱長為6cm的正方體？請在圖乙棱長為6cm的正方體ABCD－A1B1C解：(1)該幾何體為有一條側(cè)棱垂直于底面，且底面為正方形的四棱錐，其中垂直于底面的棱長為6cm，底面正方形的邊長為6(2)需要3個(1)中的幾何體，如圖乙所示，分別為四棱錐A1－CDD1C1，A1－ABCD，A1－BCC1B1(答案不唯一13．(15分)如圖，已知正三棱錐V—ABC，底面積為16eq\r(3)，一條側(cè)棱長為2eq\r(6)，計算它的高和斜高．解：設(shè)VO為正三棱錐V—ABC的高，作OM⊥BC于點M，則M為BC中點(因為△ABC為等邊三角形)．連接VM、OB，則VO⊥OM，VO⊥OB.(因為VO是底面ABC的垂線)因為底面正△ABC的面積為16eq\r(3)，所以eq\f(1,2)·BC·eq\f(\r(3),2)BC＝16eq\r(3)，所以BC＝8，BM＝CM＝4，OB＝eq\f(\r(3),3)BC＝eq\f(8\r(3),3)，OM＝eq\f(\r(3),6)BC＝eq\f(4\r(3),3)，又因為VB＝2eq\r(6)，在Rt△VOB中，由勾股定理可得VO＝eq\r(VB2－OB2)＝eq\r(2\r(6)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),3)))2)＝eq\f(2\r(6),3).在Rt△VOM(或Rt△VMB)中，由勾股定理可得VM＝eq\r(VO2＋OM2)＝eq\r(\b\lc\(