高中數(shù)學(xué)人教B版第一章立體幾何初步 9

第3課時(shí)1.1.2棱柱、棱錐、課時(shí)目標(biāo)1.了解、認(rèn)識(shí)和研究棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，并結(jié)合這些結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)日常生活中見到的幾何體．2．認(rèn)識(shí)正棱錐、正棱臺(tái)這些特殊多面體的結(jié)構(gòu)特征和性質(zhì)，認(rèn)識(shí)和研究正棱錐或正棱臺(tái)中可以稱之為核心圖形的那些直角三角形或直角梯形．識(shí)記強(qiáng)化1．棱錐的主要結(jié)構(gòu)特征：(1)有一個(gè)面是多邊形；(2)其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形；棱錐中有公共頂點(diǎn)的各三角形叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；多邊形叫做棱錐的底面；頂點(diǎn)到底面的距離叫做棱錐的高．2．棱錐按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐等．如果棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點(diǎn)在過(guò)底面中心且與底面垂直的直線上，則這個(gè)棱錐叫做正棱錐．正棱錐各側(cè)面都是全等的等腰三角形；等腰三角形底邊上的高叫做棱錐的斜高．3．棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺(tái)．原棱錐的底面與截面分別叫做棱臺(tái)的下底面、上底面；其他各面叫做棱臺(tái)的側(cè)面；相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱；兩底面間的距離叫做棱臺(tái)的高．4．由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．正棱臺(tái)各側(cè)面都是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高叫做棱臺(tái)的斜高．課時(shí)作業(yè)一、選擇題(每個(gè)5分，共30分)1．能保證棱錐是正棱錐的一個(gè)條件是()A．底面為正多邊形B．各側(cè)棱都相等C．各側(cè)面與底面都是全等的正三角形D．各側(cè)面都是等腰三角形答案：C解析：正棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在過(guò)底面中心且與底面垂直的直線上．故底面為正多邊形的棱錐不一定是正棱錐；各側(cè)棱都相等(或各側(cè)面都是等腰三角形)的棱錐不一定是正棱錐；各側(cè)面與底面都是全等的正三角形的棱錐是正三棱錐．2．下列說(shuō)法正確的是()A．各個(gè)面都是三角形的多面體一定是棱錐B．四面體一定是三棱錐C．棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，該棱錐一定是正棱錐D．底面多邊形既有外接圓又有內(nèi)切圓，且側(cè)棱相等的棱錐一定是正棱錐答案：B解析：對(duì)于A，只要將底面全等的兩個(gè)棱錐的底面重合在一起，所得多面體的每個(gè)面都是三角形，但這個(gè)多面體不是棱錐，A錯(cuò)誤；B顯然正確；對(duì)于C，舉反例，如圖所示，在棱錐A－BCD中，AB＝BD＝AC＝CD＝3，BC＝AD＝2，滿足側(cè)面是全等的等腰三角形，但該棱錐不是正棱錐，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，底面多邊形既有內(nèi)切圓又有外接圓，如果不同心，則不是正多邊形，因此不是正棱錐，D錯(cuò)誤．3．下面多面體中有12條棱的是()A．四棱柱B．四棱錐C．五棱錐D．五棱柱答案：A解析：四棱柱有4條側(cè)棱，上、下底面四邊形各有4條邊，共12條棱．故選A.4．如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐不可能是()A．正三棱錐B．正四棱錐C．正五棱錐D．正六棱錐答案：D解析：如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，OA＝OB＝AB，而在正六棱錐S－ABCDEF中，SA＞OA＝AB，即側(cè)棱長(zhǎng)大于底面邊長(zhǎng)，側(cè)面不可能是等邊三角形．5．若正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(6)，則該棱錐的高等于()\f(\r(3),3)\r(3)C．1\f(\r(3),2)答案：B解析：如圖所示，正三棱錐P－ABC中，OP⊥面ABC，∴點(diǎn)O為正三角形ABC的中心，連結(jié)OA，利用平面幾何知識(shí)知正△ABC的高(中線長(zhǎng))等于eq\f(3\r(3),2)，而OA是中線長(zhǎng)的eq\f(2,3)，所以O(shè)A＝eq\r(3).在Rt△PAO中AP＝eq\r(6)，OA＝eq\r(3)，OA⊥OP，得OP＝eq\r(3).6．有一個(gè)正三棱錐和一個(gè)正四棱錐，它們所有的棱長(zhǎng)都相等，把這個(gè)正三棱錐的一個(gè)側(cè)面重合在正四棱錐的一個(gè)側(cè)面上，則所得到的這個(gè)組合體是()A．底面為平行四邊形的四棱柱B．五棱錐C．無(wú)平行平面的六面體D．斜三棱柱答案：D解析：如圖，正三棱錐A—BEF和正四棱錐B—CDEF的一個(gè)側(cè)面重合后，而面BCD和面AEF平行，其余各面都是四邊形，故該組合體是斜三棱柱．二、填空題(每個(gè)5分，共15分)7．如圖是一個(gè)立體圖形的展開圖，則該立體圖形是________．答案：正五棱錐解析：底面是正五邊形，其余各面是有公共頂點(diǎn)的等腰三角形，故幾何體為五棱錐．8．下列說(shuō)法正確的是________(填序號(hào))．①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；③直四棱柱是平行六面體；④正棱錐的各側(cè)面均為等腰三角形．答案：①④解析：由平行六面體的定義，知①正確；因?yàn)榈酌媸蔷匦蔚钠叫辛骟w的側(cè)棱與底面可以不垂直，所以②不正確；因?yàn)橹彼睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅危寓鄄徽_；由正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，知④正確．9．正五棱臺(tái)的上、下底面面積分別為1cm2、49cm2，平行于底面的截面面積為25cm答案：2解析：“還臺(tái)于錐”，利用相似比求．三、解答題10．(12分)如圖正四棱錐P—ABCD的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，求它的側(cè)棱PA的長(zhǎng)和斜高PE.解：由正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，得AO＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△PAO中，PA＝eq\r(PO2＋AO2)＝eq\r(h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(2),2)eq\r(a2＋2h2)，∵OE＝eq\f(1,2)a，∴在Rt△POE中，斜高PE＝eq\r(PO2＋OE2)＝eq\r(h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2)＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋4h2)，即此正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2)eq\r(a2＋2h2)，斜高為eq\f(1,2)eq\r(a2＋4h2).11．(13分)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)及高分別為1,2,2，求它的斜高．解：如圖所示，O1，O分別為上、下底面的中心，D1，D分別為A1B1和AB的中點(diǎn)，則O1D1＝eq\f(\r(3),6)，OD＝eq\f(\r(3),3)，OO1＝2.在直角梯形O1D1DO中，DD1＝eq\r(OO\o\al(2,1)＋OD－O1D12)＝eq\r(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)))2)＝eq\f(7\r(3),6)，即該正三棱臺(tái)的斜高為eq\f(7\r(3),6).能力提升12．(5分)(1)如圖甲所示為某幾何體的展開圖，沿圖中虛線將展開圖折起來(lái)，是哪一種幾何體？試用文字描述并畫出示意圖．(2)需要多少個(gè)(1)中的幾何體才能拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正方體？請(qǐng)?jiān)趫D乙棱長(zhǎng)為6cm的正方體ABCD－A1B1C解：(1)該幾何體為有一條側(cè)棱垂直于底面，且底面為正方形的四棱錐，其中垂直于底面的棱長(zhǎng)為6cm，底面正方形的邊長(zhǎng)為6(2)需要3個(gè)(1)中的幾何體，如圖乙所示，分別為四棱錐A1－CDD1C1，A1－ABCD，A1－BCC1B1(答案不唯一13．(15分)如圖，已知正三棱錐V—ABC，底面積為16eq\r(3)，一條側(cè)棱長(zhǎng)為2eq\r(6)，計(jì)算它的高和斜高．解：設(shè)VO為正三棱錐V—ABC的高，作OM⊥BC于點(diǎn)M，則M為BC中點(diǎn)(因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形)．連接VM、OB，則VO⊥OM，VO⊥OB.(因?yàn)閂O是底面ABC的垂線)因?yàn)榈酌嬲鰽BC的面積為16eq\r(3)，所以eq\f(1,2)·BC·eq\f(\r(3),2)BC＝16eq\r(3)，所以BC＝8，BM＝CM＝4，OB＝eq\f(\r(3),3)BC＝eq\f(8\r(3),3)，OM＝eq\f(\r(3),6)BC＝eq\f(4\r(3),3)，又因?yàn)閂B＝2eq\r(6)，在Rt△VOB中，由勾股定理可得VO＝eq\r(VB2－OB2)＝eq\r(2\r(6)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),3)))2)＝eq\f(2\r(6),3).在Rt△VOM(或Rt△VMB)中，由勾股定理可得VM＝eq\r(VO2＋OM2)＝eq\r(\b\lc\(