有限元試卷答案

1寫出線彈性平面問題三類基本方程和二類邊界條件（分量或指標形式），并指出相應的自變量。答：三個基本方程①平衡方程亍一*孔I絮?■財5②本構方程平面應力勺=池*）=A=ITxyGE乳￥平面應變林=2Gex+A（ex+%）弓=2GEy+A（Ex+勺）F=&施平面應變應變協(xié)調方程三-二二ffjg-Z &工廿v③幾何方程4二類邊界條件①力的邊界條件?尸二s（.丹=S、+氣hh=casfn,y）②位移邊界條件 如今給定的位移邊界為.：.，則有（在」上），：."一二「，其中乙「分別為邊界上x，y方向上的位移分量2簡述有限元法分析的基本步驟和相對應的基本表達式。答：江見鯨的教材P26頁（4步的這是），如果想要寫完成7步的話那就是P8①步驟：⑴將結構離散化⑵單元分析，求得單元節(jié)點位移與節(jié)點力的關系，計算單元剛度矩陣⑶以節(jié)點為隔離體，建立平衡方程⑷施加荷載⑸引入邊界條件⑹求解方程，求得節(jié)點位移⑺對每一單元循環(huán)，由單元節(jié)點位移通過單元剛度矩陣求得單元應力或桿件內力②表達式：v=v=0!4i+a5x+a6y『上0hj0bm0幾何矩陣 [B]虧0Dq。板1四0彈性矩陣 回=京乂1￡0° ?M=[0][￡]應力矩陣二]二二M3單元分析中，假設的位移模式應滿足哪些條件，為什么?平面三結點三角形單元中，能否構造如下的位移模式（說明原因）T（n）=服+J35.xv+p6v~答：這類問題參照江見鯨的教材P13，要求滿足的三個條件不能。因為不滿足完備性，缺少表示剛體位移的常數項和表示應變是位移一階導數的常應變項不能保證解的收斂性。4簡述加權余量法、半解析法、樣條有限元法、邊界單元法的特點。答：加權余量法：當n有限時，定解方程存在偏差（余量），取權函數，強迫余量在某種平均意義上均為采用

使余量的加權積分為0的等效積分以“弱”形式來求得微分方程近似解的方法。半解析法：離散與解析相結合的方法，減少計算工作量，降低費用。樣條有限元法：具有緊湊型及良好的光滑性，明確的表達式的優(yōu)點，所得到的結果均在單元節(jié)點上，在數據的后處理方面更為方便和精確。邊界單元法：將所研究問題的偏微分方程，設法轉換為在邊界上定義的邊界積分方程，然后將邊界積分方程離散化為只含有邊界結點未知量的代數方程組，解此方程組可得邊界節(jié)點上的未知量并可由此進一步求得所研究區(qū)域中的未知量，它除了能處理有限元方法所適應的大部分問題外，還能處理有限元法不易解決的無限域問題。5.驗證3結點三角形單元的位移插值函數滿足N3,y）=1N3,y）=0N（x,y）=0iii ijj immN（x,y）+N（x，y）+N（x,y）=1證明：由原題目所知得二一―.一'1置iyi'又因為4=捉狗yj=Llxmymi故，得結論。這個題參照教材12頁到14頁6推導一維桿單元的形函數、幾何矩陣、應力矩陣、剛度矩陣答：形函數參照教材11到14頁，幾何矩陣在15頁，應力矩陣在17頁，剛度矩陣在19頁。具體不是很會，大家自行解答吧7就下列言論寫出自己的看法：（有限元分析之大腕版）一定要選最變態(tài)的題目，什么材料非線性啊，幾何非線性啊，接觸非線性啊，多物理場耦合啊，都給他弄進去。是個模型就幾百萬個單元，上千萬個節(jié)點，畫個剖面圖就要十幾個小時。再整一并行機群，TOP500的，張口就是HighPerformanceComputation，一口地道的倫敦腔，倍兒有面子。題目一扔進去就跑個把月，你要是一個星期以內出結果，你都不好意思和別人打招呼。你說這樣一趟算下來要發(fā)多少Paper?10篇？10篇？就1篇！你還別嫌少，說不定人家還發(fā)在會議上。你得琢磨牛人的心理啊，有能耐算這樣題目的人，根本就不在乎多發(fā)一篇兩篇文章。什么叫大牛知道么？大牛就是不求灌水，但求經典。答：這道題。。誰知道想問什么。。。8采用矩形薄板單元（4個結點，12個結點位移分量，1個撓度獨立變量）計算受中心集中力的四邊支承板，單元數（1/4板）四邊固定板中心撓度wD/PL2邊中點彎矩M/P2X20.00614-0.11784X40.00580-0.12336X60.00571-0.1245理論解0.00560-0.1257L中粉w(x,y)=a+ax+ay+ax2+axy+ay2+ax3+ax2y+位移函數： 1 2 3 4 5 6 7 8axy2+ay3+ax3y+axy3計算結果如下表(邊長為1，厚度為01.101，彈模為1，波松比為0.3)試分析本題中有限元解位移大于解析解、彎矩小于解析解的原因。答：有限元解位移大于解析解的原因是單元為非完全協(xié)調單元。撓度w是彎曲問題中的基本未知函數且由于忽略了7方向的變化，因此它只是x,y的函數：，若w已知，則唯一、內力、應力均可按上述相應公式求出。在經典解析法中，w（x，y）常設為三角級數形式。的位移分量。答：①設位移函數為u.二?二-二二-一：9.三角形單元的結點坐標如圖所示，設單元中一點人的坐標為（0.6,0.3）。已知三角形三結點單元的1結點位移為（2.0,1.0），j結點位移為（2.1,1.1），m結點位移為（2.15,1.05）。1）寫出單元的位移函數；2）求A的位移分量。答：①設位移函數為u.二?二-二二-一：v=14+a5x+a6y將I,j,m點坐標代入u,v,最終得:u=2.15—0.15x+O.lyv=1.05—0.05x+O.ly

②將A點坐標代入位移函數得二二二】，［京，即A（2.095,1.045）。10、已知外力P=50X103N，確定位移場、應力、應變和支座反力。取E=2.1X104N/mm2。答：結構剛度矩陣K為:20x10答：結構剛度矩陣K為:20x103x250150f-11-12-1-1整體荷載列陣為F=b,60x103,0」引入邊界條件Q1=0和Q3=1.2mm，修正方程如下:20x1020x103x250x2150=60x103+20x103x250x1.2B0解得位移場:Q=t）,1.5,1.2」mm單元應力、應變?yōu)?b=20x103x—(-1J°)=200MPa1 150 ,1.5)8=b/E=200/(20x103)=0.0111b=20x103x—(-1J1')=-40MPa2 150 ,1.2)8=b/E=-40/G°x103)=-0.002支座反力為：_20x10_20x103x250_R—

1150]-10)1.5—-50kN12,R=R=20x103x250(03 B0(0]-1L1.5—-10kN12k「￡7另一套的部分題（重復和不會的就被我忽略了。。。）各學科對有限元法的定義略不相同，但有一條相同的，即都認為有限元法是有效的—數值分析—方法.求解區(qū)域的離散化：即把實際問題，的整體求解域剖分為有限個單元，這可以通過有限個—離散—的三角形,四邊形或多邊形來分割求解區(qū)域.在劃分單元時，任意一個三角形單元的—節(jié)點_,必須也是相鄰單元的—節(jié)點_,而不是相鄰單元邊上的點.二、簡答題（40分）單元分析中，假設的位移模式應滿足哪些條件，為什么？答：見教材P13試闡述總體剛度矩陣的特點.（這里問總剛在教材P23,如果問你單剛那就是在P20）答：⑴整體剛度矩陣是對稱矩陣⑵整體剛度矩陣的主對角線上的元素總是正的⑶整體剛度矩陣是一個稀疏陣⑷施加荷載沒有支承的整體剛度矩陣是一個奇異陣

7如圖所示平面何JS,醞元(2)在血y坐標系中，單元的三條邊分別平行.對應邊長相等，厚曲材料性質抽叭白知單元(1)的m訥眼知4<;匕人匕陣4<;匕人匕陣答：①-廠二'■:-=同上②理由：單元剛度矩陣仲I不隨單元(或坐標軸)的平行移動或作n