《數(shù)學(xué)分析》(華師大二版)課本上的習(xí)題12-15

第十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§1級(jí)數(shù)的收斂性試討論幾何級(jí)數(shù)（也稱為等比級(jí)數(shù)）的收斂性。證明下列級(jí)數(shù)的收斂性，并求其和數(shù)：（1）（2）（3）（4）（5）證明：若級(jí)數(shù)發(fā)散，,則也發(fā)散。設(shè)級(jí)數(shù)和都發(fā)散，試問(wèn)一定發(fā)散嗎？又若與（n=1,2,….）都是非負(fù)數(shù)，則能得出什么結(jié)論？證明：若數(shù)列收斂于a,則級(jí)數(shù)證明：若數(shù)列有，則級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)=應(yīng)用第5，6題的結(jié)果求下列級(jí)數(shù)的和：（1）（2）（3）應(yīng)用柯西準(zhǔn)則判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（3）；證明級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：任給正數(shù)，存在某自然數(shù)N,對(duì)一切n>N,總有。舉例說(shuō)明：若級(jí)數(shù)對(duì)每一個(gè)自然數(shù)p滿足條件，則這級(jí)數(shù)不一定收斂。§2正項(xiàng)級(jí)數(shù)應(yīng)用比較原則判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；用比較判別法或根式判別法鑒定下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（其中設(shè)和為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在正數(shù),對(duì)一切n>,有。證明：若級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)也收斂；若發(fā)散，則也發(fā)散。設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)也收斂；試問(wèn)反之是否成立？設(shè)且數(shù)列有界，證明級(jí)數(shù)收斂。設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)也收斂。證明下列極限：（1）=0；（2）。提示：由級(jí)數(shù)收斂的必要條件推出。用積分判別法討論下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）（2）（3）（4）設(shè)為遞減正項(xiàng)數(shù)列，證明：級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。設(shè)。證明：若存在某自然數(shù)及常數(shù)k,當(dāng)n>時(shí)，有則級(jí)數(shù)收斂；若n>時(shí)有，且，則級(jí)數(shù)發(fā)散。注意：當(dāng)（1）中11．設(shè)級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)也收斂。12．判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）；（2）（3）（4）（5）；（6）13．用根式判別法證明級(jí)數(shù)收斂，并說(shuō)明比式判別法對(duì)此級(jí)數(shù)無(wú)效。14．求下列極限（其中p>1）:(1)(2)15.設(shè)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散?！?一般項(xiàng)級(jí)數(shù)下列級(jí)數(shù)哪些是絕對(duì)收斂，條件收斂或發(fā)散：（1）（2）（3）；（4）（5）（6）（7）（8）（9）10.應(yīng)用阿貝耳判別法或狄利克雷判別法判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）（2），（a>0）;(3)3.設(shè)證明級(jí)數(shù)是收斂的。4．設(shè)都是發(fā)散的。5．寫出下列級(jí)數(shù)的乘積：（1）（2）6．證明級(jí)數(shù)與乘積等于。7．重排級(jí)數(shù)使它成為發(fā)散級(jí)數(shù)。8．證明：級(jí)數(shù)收斂?？偩毩?xí)題證明：若正項(xiàng)級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)都收斂，且成立不等式，證明級(jí)數(shù)都發(fā)散，試問(wèn)一定發(fā)散嗎？3.若且級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)也收斂，若上述條件中，只知道收斂，能推得收斂嗎？4．（1）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，能否斷定級(jí)數(shù)收斂？（2）對(duì)于級(jí)數(shù)有，能否斷定級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂，但可能條件收斂。設(shè)為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，能否存在一個(gè)正數(shù)，使得=c>0.5.證明：若級(jí)數(shù)收斂，絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂。6．證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的。7．討論級(jí)數(shù)的收斂性。8．設(shè)，證明級(jí)數(shù)是收斂的。9．證明：若級(jí)數(shù)與收斂，則級(jí)數(shù)和也收斂，且10．證明：（1）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。（2）若級(jí)數(shù)發(fā)散，且則正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散。第十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§1一致收斂性討論下列函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在所示區(qū)間D上是否一致收斂，并說(shuō)明理由：（1）（2）（3）-(n+1)x+1,0,(4),n=1,2,…(?)D=[0,,D=[0,1000](5)sin(?)D=[-l,+l],(??)D=(-)(6)=(-)(7)(?)D=(-)(??)[1/10,10]2.證明：設(shè)若對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n有在D上一致收斂于f.3.設(shè)為定義在[a,b]上的函數(shù)列，且對(duì)每一個(gè)n,在點(diǎn)a右連續(xù)，但是發(fā)散的，證明在任何開區(qū)間（a,b+）(這里a+)內(nèi)都不一致連續(xù)。4．設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在D上一致收斂于S(x),函數(shù)g(x)在D上有界。證明級(jí)數(shù)g(x)S(x).5.判別下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在所示區(qū)間上的一致連續(xù)性：（1）（2）（3）（4）6．若在區(qū)間I上，對(duì)任何自然數(shù)n,證明當(dāng)在I上一致收斂時(shí)，級(jí)數(shù)在I上一致收斂。7．設(shè)，（n=1,2,…）是[a,b]上的單調(diào)函數(shù)，證明：與都絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)在[a,b]上絕對(duì)并一致收斂。8．在[0,1]上定義函數(shù)數(shù)列 ,= n=1,2….. 0，證明：級(jí)數(shù)在[0，1]上一致收斂，但它不存在優(yōu)級(jí)數(shù)。9．討論下列函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)愛(ài)所示區(qū)間D上的收斂性：（1）（2）（3）（4）（5）（7）10．試構(gòu)造一個(gè)定義在（0，1）上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，使得它在有理點(diǎn)上收斂，在無(wú)理點(diǎn)上發(fā)散。11．證明：級(jí)數(shù)在[0，1]上絕對(duì)并一致收斂，但由其各項(xiàng)絕對(duì)值組成的級(jí)數(shù)在[0，1]上卻不一致收斂。12．設(shè)f為定義在區(qū)間（a,b）內(nèi)的任一函數(shù)，記證明函數(shù)列在（a,b）內(nèi)一致收斂于f.13.設(shè)為[a,b]上正的遞減且收斂于0的函數(shù)列，每一個(gè)都是[a,b]上的單調(diào)函數(shù)，則級(jí)數(shù)在[a,b]上不僅收斂而且一致收斂。§2一致收斂函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)討論下列各函數(shù)列在所定義的區(qū)間上：（a）與的一致收斂性；（b）是否具有定理13.8，13.9，13.10的條件于結(jié)論。（1）（2）x-(3)nx2.證明：若函數(shù)列在[a,b]上滿足13.10的條件，則在[a,b]上一致連續(xù)。3定理13.11和13.13。4．設(shè)S(x)=5.設(shè)S(x)=6.設(shè)S(x)=7.證明：函數(shù)f(x)=在（上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)。8．證明：定義在[0，2上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足定理13.12條件，且9.討論下列函數(shù)列在所定義區(qū)間的一致收斂性及其極限函數(shù)的連續(xù)性，可積性和可微性：（1）x(2)(?)),(ii)10．證明函數(shù)在（1，+）內(nèi)連續(xù)，且有連續(xù)的各階導(dǎo)數(shù)。11．證明：若函數(shù)列在的某鄰域U（x0,）內(nèi)一致收斂于f,且=a,n=1,2…則存在且相等，即12設(shè)f在（-上有任何階導(dǎo)數(shù)，記Fn=f(n),且在任何有限區(qū)間內(nèi)Fn(n,試證（c為常數(shù)）總練習(xí)題試問(wèn)k為何值時(shí)，下列函數(shù)列一致收斂：（1）（2） 0證明：（1）若，,且f在I上有上界，則至多除有限項(xiàng)外在I上是一致有界的；（2）若（n）,,且對(duì)每個(gè)自然數(shù)n,在I上有界，則在I上一致有界。設(shè)f為[1]上的連續(xù)函數(shù)，證明：（1）在[1]上收斂；（2）在[1]上一致收斂的充要條件是f在[1]有界，且f(1)=0.4.若把定理13.9中的一致收斂函數(shù)列在[a,b]上連續(xù)改為在[a,b]上可積，試證在[a,b]上的極限函數(shù)在[a,b]上也可積。5．證明：由二重極限所確定的極限函數(shù)是狄利克雷函數(shù)。6．設(shè)級(jí)數(shù)收斂，證明。7．設(shè)可微函數(shù)列在[a,b]上收斂，在[a,b]上一致有界，證明：在[a,b]上一致收斂。第十四章冪級(jí)數(shù)§1冪級(jí)數(shù)求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)域：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）應(yīng)用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)求積法求下列冪級(jí)數(shù)和函數(shù)（應(yīng)同時(shí)指出它們的定義域）：（1）x+(2)(3)3.證明：設(shè)f(x)=則（注意：這里不管 4.證明：(1)y=滿足方程y(4)=y;(2)y=滿足方程xy’’+y‘-y=05.證明定理14.8的推論2。6．證明：設(shè)f為冪級(jí)數(shù)（2）在（-R,R）上的和函數(shù)，若f為奇函數(shù)，則級(jí)數(shù)（2）僅出現(xiàn)奇次冪的項(xiàng)，若f為偶函數(shù)，則（2）僅出現(xiàn)偶次冪的項(xiàng)。7．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：（1），（a>0,b>0）;(2)8.證明定理14.3并求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑：（1）（2）a+bx+ax2+bx3+……(0<a<b)9.求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及其和函數(shù)：（1）（2）10．設(shè)a0,a1,a2,…..為等差數(shù)列（a00）.試求：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑；數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和數(shù)。11．按待定系數(shù)法確定函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的表達(dá)式（寫出前4項(xiàng)）?！?函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開設(shè)函數(shù)f在區(qū)間（a,b）內(nèi)的各階導(dǎo)數(shù)一致有界，即存在正數(shù)M，對(duì)一切x(a,b)，有證明：對(duì)（a,b）內(nèi)的任一點(diǎn)x與x0有。利用以知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，求下列函數(shù)在x=0處的冪級(jí)數(shù)展開式，并確定它收斂于該函數(shù)的區(qū)間：（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）（８）（１＋x）（９）３．求下列函數(shù)在x=1處的泰勒展開式：（１）f(x)=3+2x-4x2+7x3;(2)f(x)=1/x;4.求下列函數(shù)的馬克勞林級(jí)數(shù)展開式：（１）（２）xarctgx-5.試將f(x)=lnx按的冪展開成冪級(jí)數(shù)?？偩毩?xí)題證明：當(dāng)｜x|<1/2時(shí)，求下列函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式：（１）f(x)=(1+x)ln(1+x);(2)f(x)=sin3x;(3)3.確定下列冪級(jí)數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù)；（１）（２）（３）(4)4.應(yīng)用冪級(jí)數(shù)性質(zhì)求下列級(jí)數(shù)的和：（1）（2）5．設(shè)函數(shù)定義在[0，1]上，證明它在（0，1）上滿足方程：6．設(shè)圓弧AB的弦長(zhǎng)為a,圓弧AB一半所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為b,證明：AB的弧長(zhǎng)7．利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式求下列不定式極限：（1）（2）（3）第十五章傅立葉級(jí)數(shù)§1傅立葉級(jí)數(shù)1．在指定區(qū)間內(nèi)把下列函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)：（1）f(x)=x(i)-<x<(ii)0<x<2;(2)f(x)=x2(i)-<x<(ii)0<x<2;(3)ax-<x<0f(x)=(a,b為不等于0的常數(shù)，且ab)bx0<x<2.設(shè)f是以2為周期的可積函數(shù)，證明對(duì)任何實(shí)數(shù)c有3.把函數(shù)--<x<0f(x)=0展開成傅立葉級(jí)數(shù)，并由它推出（1）（2）（3）4．設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：f(x+)=-f(x),問(wèn)此函數(shù)在（-，）的傅立葉級(jí)數(shù)滿足什么特性。5．函數(shù)f(x)滿足條件：f(x+)=f(x),問(wèn)此函數(shù)在（-，）的傅立葉級(jí)數(shù)滿足什么特性？6．試證函數(shù)系cosnx,n=0,1,2….和sinnx,n=1,2,…都是[0，]上的正交函數(shù)系，但它們合起來(lái)的（5）式不是[0，]上的正交函數(shù)系。7．求下列函數(shù)的傅立葉展開式：（1）；（2）-<x<;(3)f(x)=ax2+bx+c,(i)0<x<2(ii)-<x<(4)f(x)=chx,-<x<(5)f(x)=shx,-<x<8.求函數(shù)f(x)=,0<x<2的傅立葉級(jí)數(shù)展開式，并應(yīng)用它推出。9．設(shè)f為[-，]上光滑函數(shù)，且f(-)=f(),為f的傅立葉級(jí)數(shù)，an’，bn’為f的導(dǎo)函數(shù)f‘的傅立葉系數(shù)。證明：，。（n=1,2,…）10.設(shè)f為[-，]上的光滑函數(shù)，且f(-)=f()，證明：，（.11.證明：若三角級(jí)數(shù)中的系數(shù)滿足關(guān)系，M為常數(shù)，則上述三角級(jí)數(shù)收斂，且其和函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)?！?以2l為周期的函數(shù)的展開式下列周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式：（1）f(x)=|cosx|;(2)f(x)=x-[x];(3)f(x)=sin4x;(4)f(x)=sgn(cosx).求函數(shù)xf(x)=11<x<23-x的傅立葉級(jí)數(shù)并討論其收斂性。將函數(shù)f(x)=在[0，]上展開成余弦級(jí)數(shù)。將函數(shù)在[0，]上展開正弦級(jí)數(shù)。把函數(shù)1-x,f(x)=x-3,2<x<4在（0，4）上展開成余弦級(jí)數(shù)。把函數(shù)在（0，1）上展開余弦級(jí)數(shù)，并推出求下列函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式：（1）f(x)=arcsin(sinx);(2)f(x)=arcsin(cosx).8.試問(wèn)如何把定義在[0，/2]上的可積函數(shù)f延拓到區(qū)間（-，）內(nèi)，使它們的傅立葉級(jí)數(shù)為如下形式：（1）（2）§3收斂定理的證明1．設(shè)f為（-，）上以2為周期的光滑函數(shù)，證明f的傅立葉級(jí)數(shù)在（-，）上一致收斂于f.2.f為[-，