大學(xué)物理授課教案第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）第一篇力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)：只從幾何看法研究物體的運(yùn)動(dòng)。如地點(diǎn)、速度、加快度等，而不涉及物體間的互相作用。力學(xué)2.動(dòng)力學(xué)：研究物體間互相作用的規(guī)律。靜力學(xué)：研究力及力矩的平衡問(wèn)題（此內(nèi)容本課程不講）第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)§1-1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描繪z一、參照系坐標(biāo)系質(zhì)點(diǎn)1、參照系參照系為描繪物體運(yùn)動(dòng)而選擇的參照物體叫參照系。2、坐標(biāo)系o為了定量地研究物體的運(yùn)動(dòng)，要選擇一個(gè)與坐標(biāo)系參照系相對(duì)靜止的坐標(biāo)系。如圖1-1。說(shuō)明：參照系、坐標(biāo)系是隨意選擇的，x視辦理問(wèn)題方便而定。圖1-13、質(zhì)點(diǎn)忽略物體的大小和形狀，而把它看作一個(gè)擁有質(zhì)量、據(jù)有空間地點(diǎn)的物體，這樣的物體稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)。說(shuō)明：⑴質(zhì)點(diǎn)是一種理想模型，而不真切存在（物理中有好多理想模型）⑵質(zhì)點(diǎn)突出了物體兩個(gè)基天性質(zhì)1）擁有質(zhì)量2）據(jù)有地點(diǎn)⑶物體可否視為質(zhì)點(diǎn)是有條件的、相對(duì)的。

y1第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）二、地點(diǎn)矢量運(yùn)動(dòng)方程軌跡方程位移1、地點(diǎn)矢量zz定義：由坐標(biāo)原點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)所在地點(diǎn)的矢量稱(chēng)為P地點(diǎn)矢量（簡(jiǎn)稱(chēng)位矢或徑矢）。如圖1—2，取的是r直角坐標(biāo)系，r為質(zhì)點(diǎn)P的地點(diǎn)矢量yrxiyjzk（1-1）y位矢大?。簒rrx2y2z2（1-2）x圖1-2r方向可由方向余弦確立：cosx，cosy，coszrrr2、運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)點(diǎn)的地點(diǎn)坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)方程。運(yùn)動(dòng)方程⑴矢量式：r(t)x(t)iy(t)jz(t)k（1-3）⑵標(biāo)量式：xx(t)，yy(t)，zz(t)（1-4）3、軌跡方程從式（1-4）中消掉t，得出x、y、z之間的關(guān)系式。如平面上運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)方程為xt，yt2，得軌跡方程為yx2（拋物線(xiàn)）4、位移以平面運(yùn)動(dòng)為例，取直角坐標(biāo)系，如圖1—3。ySA,t設(shè)t、tt時(shí)辰質(zhì)點(diǎn)位矢分別為r1、r2，則t時(shí)間B,ttr間隔內(nèi)位矢變化為r1rr2r1（1-5）r2稱(chēng)r為該時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移。rr2r1(x2x1)i(y2y1)j（1-6）ox大小為圖1-3r(x2x1)2(y2y1)2議論：⑴比較r與r：兩者均為矢量；前者是過(guò)程量，后者為剎時(shí)量⑵比較r與s（A→B行程）兩者均為過(guò)程量；前者是矢量，后者是標(biāo)量。一般狀況下rs。當(dāng)t0時(shí)，rs。⑶什么運(yùn)動(dòng)狀況下，均有rs？2第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）三、速度為了描繪質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)快慢及方向，進(jìn)而引進(jìn)速度看法。1、平均速度如圖1-3定義：vr（1-7）t稱(chēng)v為ttt時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度。rxyvxivyj(1-8）vijtttv方向：同r方向。說(shuō)明：v與時(shí)間間隔(ttt)相對(duì)應(yīng)。2、剎時(shí)速度大體地描繪了質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀況。為了描繪質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的細(xì)節(jié)，引進(jìn)剎時(shí)速度。定義：vlimvlimrdrtdtt0t0稱(chēng)v為質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)辰的剎時(shí)速度，簡(jiǎn)稱(chēng)速度。vdr（1-9）dt結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)的速度等于位矢對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。vdrdxidyjvxivyj（1-10）dtdtdtdy式中vxdx，vy。vx、vy分別為v在x、y軸方向的速度重量。dtdtv的大?。篸rdx2dy2vvx2vy2dtdtdtv的方向：所在地點(diǎn)的切線(xiàn)向前面向。v與x正向軸夾角知足tgvy。vx3、平均速率與剎時(shí)速率定義：vsttt內(nèi)行程tt（拜見(jiàn)圖1-3）稱(chēng)v為質(zhì)點(diǎn)在ttt時(shí)間段內(nèi)得平均速率。為了描繪運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)，引進(jìn)剎時(shí)速率。定義：vlimvlimsds0tdtt0t稱(chēng)v為t時(shí)辰質(zhì)點(diǎn)的剎時(shí)速率，簡(jiǎn)稱(chēng)速率。，，有當(dāng)時(shí)（拜見(jiàn)圖1-3），rdrsdrdst0ds可知：vdsdrdrvdtdtdt3第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）即vvds（1-11）dt結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)速率等于其速度大小或等于行程對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。說(shuō)明：⑴比較v與v：兩者均為過(guò)程量；前者為標(biāo)量，后者為矢量。⑵比較v與v：兩者均為剎時(shí)量；前者為標(biāo)量，后者為矢量。四、加快度為了描繪質(zhì)點(diǎn)速度變化的快慢，進(jìn)而引進(jìn)加快度的看法。

y1、平均加快度A,t1B,tt定義：avv2v1（見(jiàn)圖1-4）r（平移）tt1稱(chēng)a為ttt時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加快度。2r22、剎時(shí)加快度為了描繪質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度變化的細(xì)節(jié)，引進(jìn)剎時(shí)加快度。定義：alimalimvdvtdtt0t0

ox圖1-4稱(chēng)a為質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)辰的剎時(shí)加快度，簡(jiǎn)稱(chēng)加快度。dvd2r（1-12）adtdt結(jié)論：加快度等于速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)或位矢對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。advdvxid2xdtdt式中：dvx，aydvyaxdt2dtdt

dvyd2xd2ydtjdt2idt2j2d2y。ax、ay分別稱(chēng)為a在x、y軸上的重量。dt2222a的大?。?2dvxdvyd2xd2yaaxaydtdtdt2dt2a的方向：a與x軸正向夾角知足tgayax說(shuō)明：a沿v的極限方向，一般狀況下a與v方向不同樣（如不計(jì)空氣阻力的斜上拋運(yùn)動(dòng)）。剎時(shí)量：r，v，v，a綜上：過(guò)程量：r，v，v，a矢量：r，r，v，v，a，a標(biāo)量：s，v，v4第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）五、直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，如圖1-5A,tB,ttx1、位移ox1x2rr2r1x2ix1ixi圖1-50：r沿+x軸方向；x0：r沿-x軸方向。2、速度vdrdxivxidtdtvx0，v沿+x軸方向；vx0，v沿-x軸方向。3、加快度dvdvxiaxiadtdtax0，a沿+x軸方向；ax0，a沿-x軸方向。由上可見(jiàn)，一維運(yùn)動(dòng)狀況下，由x、vx、ax的正負(fù)就能判斷位移、速度和加快度的方向，故一維運(yùn)動(dòng)可用標(biāo)量式取代矢量式。六、運(yùn)動(dòng)的二類(lèi)問(wèn)題第一類(lèi)問(wèn)題：微分運(yùn)動(dòng)方程v、a等第二類(lèi)問(wèn)題：積分例1-1：已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為r2ti(2t2)j（SI），求：t=1s和t=2s時(shí)位矢；⑵t=1s到t=2s內(nèi)位移；⑶t=1s到t=2s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度；⑷t=1s和t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度；t=1s到t=2s內(nèi)的平均加快度；⑹t=1s和t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加快度。解：⑴⑵⑶⑷

r12ijmr24i2jmrr2r12i3jmvr2i3jt22i3jm/s1vdr2i2tjdt5第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）⑸⑹

v12i2jm/sv22i4jm/svv2v12jat2jm/s2t31d2rdv2jm/s2a2dtdt例1-2：一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，已知加快度為a4t(SI)，初始條件為：t0時(shí)，v00，x010m。求：運(yùn)動(dòng)方程。解：取質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，由加快度定義有adv4t（一維可用標(biāo)量式）dtdv4tdt由初始條件有：vtdv4tdt00得：v2t2由速度定義得：vdx2t2dtdx2t2dt由初始條件得：xtdx2t2dt100即x2t210m3由上可見(jiàn)，例1-1和例1-2分別屬于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中的第一類(lèi)和第二類(lèi)問(wèn)題?！?-2圓周運(yùn)動(dòng)

Cet(切向）本節(jié)先議論圓周運(yùn)動(dòng)，今后再推行到一般曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。一、自然坐標(biāo)系圖2-1中，BAC為質(zhì)點(diǎn)軌跡，t時(shí)辰質(zhì)點(diǎn)P位于A

（法向）A,tenP點(diǎn)，et、en分別為A點(diǎn)切向及法向的單位矢量，以A為原點(diǎn)，et切向和en法向?yàn)樽鴺?biāo)軸，由此組成的參照系為自B然坐標(biāo)系（可推行到三維）圖1-66第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）二、圓周運(yùn)動(dòng)的切向加快度及法向加快度1、切向加快度v如圖1-7，質(zhì)點(diǎn)做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)，t時(shí)辰，質(zhì)et點(diǎn)速度A,tvvet（2-1）enr式（2-1）中，vv為速率。加快度為

Odvdvdet（2-2）aetvdtdtdt式（2-2）中，第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速率變化惹起的，方向與et共線(xiàn)，稱(chēng)該項(xiàng)為切向加快度，記為圖1-7atdvetatet（2-3）dt式（2-3）中，atdv（2-4）dtat為加快度a的切向重量。結(jié)論：切向加快度重量等于速率對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。2、法向加快度式（2-2）中，第二項(xiàng)是由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向改變?nèi)瞧鸬?。B,tdtet如圖1-8，質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，有dsA,tvv'drete'tOdsAB因?yàn)閑tOA，e'tOB，所以et、e't夾角為d。dete'tet（見(jiàn)圖1-9）當(dāng)d0時(shí)，有detetdd。圖1-8因?yàn)閐etet，所以det由A點(diǎn)指向圓心O，可有detdenet式（2-2）中第二項(xiàng)為：detdetdvdsv2dvdtvdtenrdtenrenet該項(xiàng)為矢量，其方向沿半徑指向圓心。稱(chēng)此項(xiàng)為法向加快度，記為anv2en（2-5）圖1-9r大小為7第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）v2（2-6）anr式（2-6）中，an是加快度的法向重量。結(jié)論：法向加快度重量等于速率平方除以曲率半徑。3、總加快度aatanatetanendvetv2en（2-7）dtr大?。?v22aat2an2dv（2-8）dtraat方向：a與et夾角（見(jiàn)圖1-10）知足OA,ttgananat4、一般曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)圖1-10圓周運(yùn)動(dòng)的切向加快度和法向加快度也合用于一般曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，只需把曲率半徑r看作變量即可。議論：⑴如圖1-10，a老是指向曲線(xiàn)的凹側(cè)。⑵an0時(shí)，r，質(zhì)點(diǎn)做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。此時(shí)0,加快直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（dvat0,減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（dt0,勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（

dv0)dv0)dv0)⑶an0時(shí)，r有限，質(zhì)點(diǎn)做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。此時(shí)0,加快曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（dvat0,減速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（dt0,勻速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（

dv0)dv0)dv0)加快圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)減速圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)⑷曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)特例豎直下拋拋體運(yùn)動(dòng)平拋斜拋8第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）三、圓周運(yùn)動(dòng)的角量描繪y1、角坐標(biāo)B,tt如圖1-11，t時(shí)辰質(zhì)點(diǎn)在A處，tt時(shí)辰質(zhì)點(diǎn)A,t在B處，是OA與x軸正向夾角，是OBOx與x軸正向夾角，稱(chēng)為t時(shí)辰質(zhì)點(diǎn)角坐標(biāo)，為ttt時(shí)間間隔內(nèi)角坐標(biāo)增量，稱(chēng)為在時(shí)間間隔內(nèi)的角位移。圖1-112、角速度平均角速度：定義：（2-9）t稱(chēng)為平均角速度。平均角速度大體地描繪了物體的運(yùn)動(dòng)。為了描繪運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)，需要引進(jìn)剎時(shí)角速度。定義：limlimd（2-10）t0t0tdtd（2-11）dt結(jié)論：角速度等于角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。說(shuō)明：角速度是矢量，的方向與角位移d方向一致。3、角加快度為了描繪角速度變化的快慢，引進(jìn)角加快度看法。（1）平均角加快度：設(shè)在ttt內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)角速度增量為定義：t（2-12）稱(chēng)為ttt時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均角加快度剎時(shí)角加快度：定義：limlimdd2（2-13）tdtdt2t0t0稱(chēng)為t時(shí)辰質(zhì)點(diǎn)的剎時(shí)角加快度，簡(jiǎn)稱(chēng)角加快度。dd2（2-14）dtdt2結(jié)論：角加快度等于角速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)或等于角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。說(shuō)明：角加快度是矢量，方向沿d方向。9第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）4、線(xiàn)量與角量的關(guān)系把物理量v、v、a、at、an等稱(chēng)為線(xiàn)量，，等稱(chēng)為角量。（1）、v與關(guān)系B,tdt如圖2-7，dt0時(shí)，drdsrddrdsA,tdrrdr有ddtdtr（2-15）即vr（2）、at與關(guān)系圖1-12x式（2-15）兩邊對(duì)t求一階導(dǎo)數(shù)，有dvrddtdt即atr（2-16）（3）、an與關(guān)系v2r2r2anrr即anr2（2-17）§1-3相對(duì)運(yùn)動(dòng)本節(jié)議論一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，用兩個(gè)參照系來(lái)描繪，并得出兩個(gè)參照系中物理量（如：速度、加快度）之間的數(shù)學(xué)變換關(guān)系。一、相對(duì)位矢設(shè)有參照系E、M，其上固連的坐標(biāo)系，如圖M相關(guān)于E運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)P相對(duì)E、M的位矢分別為rPE、rPM，相對(duì)位矢為：rPErPMrO'E(2-18)結(jié)論：P對(duì)E的位矢等于P對(duì)M的位矢與O'對(duì)E的位矢的矢量和。二、相對(duì)位移由（2-18）有

1-13，二坐標(biāo)系相應(yīng)坐標(biāo)軸平行，yMyprPErPMEOxrO'EOx圖1-1310第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）rPErPMrO'E（2-19）結(jié)論：P對(duì)E的位移等于P對(duì)M的位移與O'對(duì)E的位移的矢量和。三、相對(duì)速度將式（2-18）兩邊對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)有vPEvPMvME（2-20）結(jié)論：P對(duì)E的速度等于P對(duì)M的速度與M對(duì)E的速度的矢量和。四、相對(duì)加快度由式（2-20）對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)有aPEaPMaME（2-21）結(jié)論：P對(duì)E的加快度等于P對(duì)M的加快度與M對(duì)E的加快度的矢量和。例1-3：質(zhì)點(diǎn)做平面曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其位矢、加快度和法向加快度大小分別為r，a和an，速度為v，試說(shuō)明下式正確的有哪些？advdt⑵ad2rdt2⑶a2an2dvdt⑷avvr解：因?yàn)闃?biāo)量矢量，所以⑴不對(duì)。又ad2r，而d2rd2r，故⑵不對(duì)。dt2dt2dt2而a2an2atdvdv，所以⑶正確。dtdt因?yàn)閍vv中r為曲率半徑，而這里r為位矢的大小，不必定是曲率半徑，所以⑷不對(duì)。r例1-4：在一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的齒輪上，一個(gè)齒尖P沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，其行程S隨時(shí)間的變化規(guī)律為Sv0t1bt2，此中，v0，b都是正的常數(shù)，則t時(shí)辰齒尖P的速2度和加快度大小為多少？解：vdsv0btdt11第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）dv2222v0bt4a22vbatandtRR2例1-5：一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為r10cos5ti10sin5tj（SI），求：（1）at?（2）an?dr50sin5ti50cos5tj解：⑴vdtvv50sin5t250cos5t250m/satdv0dt⑵ana2at2a250m/s2(注意此方法，給定運(yùn)動(dòng)方程，先求出a、at，今后求an，這樣比用anv2求an簡(jiǎn)單)r例1-6：拋射體運(yùn)動(dòng)，拋射角為，初速度為v0，不計(jì)空氣阻力，⑴問(wèn)運(yùn)動(dòng)中a變化否？at、an變否？⑵隨意地點(diǎn)at、an為多少？⑶拋出點(diǎn)、最高點(diǎn)、落地點(diǎn)at、an