廣西梧州市2022-2023學(xué)年高三第一次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題

梧州市2023屆高三第一次模擬測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將姓名、座位號(hào)、考籍號(hào)填寫在答題卡上。2.考生作答時(shí)，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答（答題注意事項(xiàng)見答題卡），在本試題上作答無(wú)效。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，滿足，，，則（）A.3 B. C. D.44.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為（）A.6 B.8 C.10 D.125.在中，三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.若，，則（）A.2 B. C.4 D.6.若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，且，則點(diǎn)到軸的距離為（）A.2 B.3 C.4 D.57.某中學(xué)從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有______種.（）A.9 B.36 C.54 D.1088.已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.9.在三棱錐中，已知平面，，.若三棱錐的各頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.10.若函數(shù)的部分圖象如圖所示，直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作兩漸近線的垂線，垂足分別為，.若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列結(jié)論正確的有______個(gè).（）①；②為定值；③雙曲線的離心率；④當(dāng)點(diǎn)異于頂點(diǎn)時(shí)，的內(nèi)切圓的圓心總在直線上.A.1 B.2 C.3 D.412.已知，，，其中，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則______.14.直線與圓交，兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則的值為______.15.若一個(gè)正四棱臺(tái)的上下底面的邊長(zhǎng)分別為2和4，側(cè)棱長(zhǎng)為，則這個(gè)棱臺(tái)的體積為______.16.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為______.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，全科試題免費(fèi)下載公眾號(hào)《高中僧課堂》考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（本題滿分12分）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記求前12項(xiàng)的和.18.（本題滿分12分）某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：，，，，，.（1）求圖中的值和學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；（2）從成績(jī)低于60分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，該2人中成績(jī)?cè)?0分以下的人數(shù)記為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.19.（本題滿分12分）如圖，直三棱柱中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，現(xiàn)將繞直線旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)與平面內(nèi)的點(diǎn)重合.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.20.（本題滿分12分）已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的最小值；（2）證明：.21.（本題滿分12分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)（，均在軸右側(cè)），的周長(zhǎng)為8.（1）求橢圓的方程；（2）直線和分別交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)與軸交于點(diǎn)，證明：為定值.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本題滿分10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）若與交于，兩點(diǎn)，求的值.23.[選修4—5：不等式選講]（本題滿分10分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù)的最小值為，且正實(shí)數(shù)，，滿足，求證：梧州市2023屆高三第一次模擬測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案1.A【解析】，.故選A.2.D【解析】由得，則，則復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選D.3.D【解析】由得，因?yàn)椋?故選D.4.C【解析】由三視圖知該幾何體是底面為梯形的直棱柱，其體積為，故選C.5.B【解析】由正弦定理，及，得，又，整理得，所以，又，所以，由余弦定理，得，.故選B.6.A【解析】拋物線方程為，可知準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，從而可知點(diǎn)到軸的距離為2.故選A.7.C【解析】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同選派方案共有種.故選C.8.D【解析】偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，故當(dāng)，；當(dāng)，；因，則當(dāng)時(shí)，，即或，解得，則當(dāng)時(shí)，，即，解集為空集，所以不等式的解集為.故選D.9.A【解析】因?yàn)?，，所以，所以三角形的外接圓直徑，所以，因?yàn)槠矫?，，由于三角形為等腰三角形，則有該三棱錐的外接球的半徑，則球的表面積為.故選A.10.B【解析】令，則可以看作由經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q得到的.由題中圖象知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，即，則結(jié)合的圖象可得.……①又直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，結(jié)合圖象可得.……②②-①解得，再代入①解得：，所以.由，得.故選B.11.C【解析】由題意雙曲線的漸近線方程是，圓的圓心是，半徑是1，則，（舍去），①錯(cuò)誤.又，所以，離心率為，③正確；設(shè)的內(nèi)切圓與三邊切點(diǎn)分別為，，，如圖，由圓的切線性質(zhì)知，所以，因此內(nèi)心在直線，即直線上，④正確；設(shè)，則，，漸近線方程是，則，，為常數(shù)，②正確；故選C.12.A【解析】，設(shè)，，因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，即，，所以，而，所以.設(shè)，則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)）等號(hào)成立，所以，，綜上，，所以.13.【解析】由題意得，而，故，，故.14.【解析】由條件可得圓心到直線的距離為，解得.15.28【解析】因?yàn)樯舷碌酌娴膶?duì)角線長(zhǎng)分別為和，求得正四棱臺(tái)的高為，所以棱臺(tái)的體積為.16.【解析】當(dāng)，，令解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上遞減，在上遞增，.設(shè)，則有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由可知，與異號(hào)，不妨設(shè)，要使方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則或，①當(dāng)時(shí)，，得；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，得，綜上的取值范圍為.17.解：（1）當(dāng)時(shí)，，……1分又，兩式相減得，即.……3分又因?yàn)闀r(shí)，，得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.……5分所以.……6分（2）由（1）知，……9分……10分……11分.……12分18.解：（1）由頻率分布直方圖知，解得.……2分設(shè)成績(jī)的中位數(shù)為，有，得.……4分（2）由頻率分布直方圖知成績(jī)低于60分的學(xué)生人數(shù)為，成績(jī)?cè)?0分以下的人數(shù)為.因此可能的取值為0，1，2，……6分，，.所以的分布列為012……10分故的數(shù)學(xué)期望為.……12分19.解：（1）證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，由，，可得為等腰直角三角形，所以為等腰直角三角形，所以，.……2分又由，，平面，所以平面.……4分因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)?，所?……5分（2）由（1）易知平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸、軸，建立的空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，，，，可得，，.……6分設(shè)平面的法向量為，則即取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，……8分設(shè)平面的法向量為，則即取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，……10分所以，由于二面角為鈍二面角，故二面角的余弦值為.……12分20.解：（1），，……1分因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，……3分故在上遞減，在上遞增，……4分故.……5分（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，……6分即當(dāng)時(shí)，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），……7分令，則，所以.……8分而即，故……9分從而，，…，，累加可得，……11分，故證畢.……12分21.解：（1）由知，由的周長(zhǎng)為8，知，所以，……2分橢圓的方程為：.……4分（2）證明：由（1）可得，，，設(shè)直線，與聯(lián)立，消去整理得，……6分設(shè)，，直線，與聯(lián)立，消去整理得，所以，……8分所以，從而，同理可得，，所以，所以，……10分令可得，，即直線過(guò)定點(diǎn).所以為定值.……12分22.解：（1）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以消去參數(shù)得，即，顯然直線過(guò)原點(diǎn)，傾斜角為，直線的極坐標(biāo)方程為.……3分曲線的極坐標(biāo)方程化為，將代入得：，即，所以的極坐標(biāo)方程為，的直角坐標(biāo)方程為.……5分（2）把代入得，