2022-2023學年江蘇省南京市九年級（下）數(shù)學期中模擬試卷（四）含答案

2022-2023學年江蘇省南京市九年級（下）數(shù)學期中模擬試卷（四）

一、選一選（本題共12個小題，每小題3分，滿分36分）

1.〃的值是【】

A.4B.2C.-2D.±2

【答案】B

【解析】

【詳解】根據(jù)算術(shù)平方根的定義，求數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是求一個正數(shù)x,使得x2=a,則x

就是a的算術(shù)平方根，特別地，規(guī)定0的算術(shù)平方根是0.

?.?22=4,；.4的算術(shù)平方根是2.故選B.

2.今年1—5月份，深圳市累計完成地方一般預(yù)算收入216.58億元，數(shù)據(jù)216.58億到

A.百億位B.億位C.百萬位D.百分位

【答案】C

【解析】

考點：近似數(shù)和有效數(shù)字.

專題：應(yīng)用題.

分析：考查近似數(shù)的度，要求由近似數(shù)能準確地說出它的度.216.58億元中的5雖然是小數(shù)點

后的位，但它表示5千萬，同樣8表示8百萬，所以216.58億元到百萬位.

解答：解：根據(jù)分析得：216.58億元到百萬位.

故選C.

點評：本題主要考查學生對近似數(shù)的度理解是否深刻，這是一個的題目.許多同學沒有假思考

地誤選D,通過該題培養(yǎng)學生認真審題的能力和端正學生嚴謹治學的態(tài)度.

3.下列交通標志圖案是軸對稱圖形的是（）

aAfS。。?

【答案】B

【解析】

【詳解】A圖形中三角形和三角形內(nèi)部圖案的對稱軸沒有一致，所以沒有是軸對稱圖形；B為

軸對稱圖形，對稱軸為過長方形兩寬中點的直線；C外圈的正方形是軸對稱圖形，但是內(nèi)部圖

案沒有是軸對稱圖形，所以也沒有是；D圖形中圓內(nèi)的兩個箭頭沒有是軸對稱圖象，而是對稱

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圖形，所以也沒有是軸對稱圖形.故選B.

4.為了方便行人推車過某天橋，市政府在10m高的天橋一側(cè)修建了40m長的斜道（如圖所示卜我

們可以借助科學計算器求這條斜道傾斜角的度數(shù)，具體按鍵順序是（）

A.|2ndF||sin||0||?||2||5||

B.|31n||2ndF||0||,||2|I5II=I

c.[2E]QDUHDUJ[ZJ

D.函回\JJ□DU[JZ|EEJ

【答案】A

【解析】

【分析】先利用正弦的定義得到sinA=0.25,然后利用計算器求銳角NA.

【詳解】解：因為力C=40,BC=\O,sinZA=—,

AC

所以s加N/=025.

所以用科學計算器求這條斜道傾斜角的度數(shù)時，按鍵順序為

3回凹口區(qū)□□EZ1

故選：A.

【點睛】本題考查了計算器-三角函數(shù)：正確使用計算器，一般情況下，三角函數(shù)值直接可以求

出，已知三角函數(shù)值求角需要用第二功能鍵.

5.一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為6的半圓，則這個圓錐的底面半徑為（）

A.1.5B.2C,2.5D.3

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：半徑為6的半圓的弧長是6兀，根據(jù)圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形

弧長，得到圓錐的底面周長是兀，根據(jù)弧長公式有2m=6兀，解得：r=3,即這個圓錐的底面半徑

是3.

故選D.

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考點：圓錐的計算.

6.如圖，在下列網(wǎng)格中,小正方形的邊長均為1,點A、8、O都在格點上，則NZ08的正弦

Df

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：作ACLOB于點C,

則AC=^2，A0=2y/5，sinZAOB==—^=-

AO27510

考點：三角函數(shù)的計算.

7.如圖，E是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一點，且BE=BC,P為CE上任意一點,

PQ_LBC于點Q,PRLBE于點R,則PQ+PR的值是（）

\2R1「百D后

K.D._C.U.---

3222

【答案】D

【解析】

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【分析】

【詳解】連接AC,BP,

VABCD是正方形，

AAC1BD,

設(shè)垂足為O,

△BCE的面積=/xBExCO=SABEp+SABCP=gxBExPR+*xBCxPQ=gBEx(PR+PQ),.^.CO=PR

+PQ,

VAB=1,

；.AC=0,CO=—,

2

5

/.PR+PQ=—,

2

故選：D.

考點：正方形性質(zhì)與三角形面積綜合題.

8.在平面直角坐標系中，個正方形ABCD的位置如圖6所示，點A的坐標為（1,0）,點D的

坐標為（0,2）.延長CB交x軸于點Ai，作第二個正方形AIBIGC；延長GBi交x軸于點A2,

作第三個正方形AzB2c2。，..按這樣的規(guī)律進行下去，第2010個正方形的面積為（）

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A.5（1）2TO9B.5（；嚴。c.5《嚴D.5（1）40,8

【答案】D

【解析】

【詳解】分析：分別求出第1個，第3個，第3個，第4個正方形的邊長和面積，從它們的表

達式中探索規(guī)律.

詳解：

正方形序號邊長面積

1有5

3,

2V5+-V5=~V5叼產(chǎn)

22

3

33回「2石5[(-)2]2

244

3

4?符？后工指5[(-)3]2

488

3

n......5[(-r-1]2

33

所以第2010個正方形的面積為5[（5）2。51]2=5（/嚴叫

點睛：解規(guī)律探索題要注意以下兩點:（1）探索規(guī)律的關(guān)鍵：注意觀察已知的對應(yīng)數(shù)值

（圖形）的變化規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系或圖形的變化規(guī)律，即得到規(guī)律.（2）探索規(guī)律

的步驟：①從具體的題目出發(fā)，用列表或列舉的方式，把數(shù)量或圖形的變化特點展現(xiàn)

在圖表當中；②認真觀察圖表或圖形，通過合理聯(lián)想，大膽猜想，總結(jié)歸納，得出數(shù)

字或圖形間的變化規(guī)律，形成結(jié)論；③由此及彼驗證結(jié)論的正誤.

9.下列說確的是（）

A.要了解人們對“綠色出行”的了解程度，宜采用普查方式；

B.隨機的概率為50%,必然的概率為；

C.一組數(shù)據(jù)3,4,5,5,6,7的眾數(shù)和中位數(shù)都是5；

D.若甲組數(shù)據(jù)的方差是0.168,乙組數(shù)據(jù)的方差是0.034,則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定.

【答案】C

【解析】

【詳解】分析：4看對的對象是否適用普查；8.隨機的概率在0和1之間；C根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)

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的定義判斷；D方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

詳解：4的對象很多，且的結(jié)果沒有需要那么，沒有適宜用普查，則《沒有正確；

8.隨機的概率在0和1之間，則B沒有正確；

C.3,4,5,5,6,7的眾數(shù)和中位數(shù)都是5,正確；

。.因為方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，所以乙組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，則。沒有正確.

故選C

點睛：一般來說當?shù)膶ο蠛芏嘤譀]有是每個數(shù)據(jù)都有很大的意義，或著的對象雖然

沒有多，但是帶有破壞性，應(yīng)采用抽查方式；如果對象沒有需要花費太多的時間又

沒有據(jù)有破壞性或者生產(chǎn)生活中有關(guān)隱患的問題就必須采用普查的方式進行；隨機

的概率在0和1之間.

10.如下圖，將4ABC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABC，，則點P的坐標是（）

C.(4,3)D.(1,4)

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到點A的對應(yīng)點為點A，，點B的對應(yīng)點為點B，，再

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到旋轉(zhuǎn)在線段AA，的垂直平分線，也在線段BB，的垂直平分線，即兩垂直平

分線的交點為旋轉(zhuǎn).

:將4ABC以某點為旋轉(zhuǎn)，順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABT7,二點A的對應(yīng)點為點A，，點C的

對應(yīng)點為點C，，作線段AA，和CC的垂直平分線，它們的交點為P（1,2）,...旋轉(zhuǎn)的坐

標為（1,2）.

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考點：坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

11.二次函數(shù)丁="2+云+。（。=0）的圖象如圖所示,下列結(jié)論：①Mc>0：②從一4ac<0：

(3)4(7+c>2b；@(a+c)2>b2；?x(ax+b)<a-b,其中正確結(jié)論的是()

A.①③④B.②③④C.①③⑤D.③④⑤

【答案】C

【解析】

【分析】利用圖象信息以及二次函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可;

【詳解】解：??,拋物線開口向下，

,對稱軸工=-1=------,

2a

：.b<0,

??,拋物線交y軸于正半軸，

/.abc>0,故①正確，

???拋物線與x軸有兩個交點,

：.b2-4ac>0,故②錯誤，

,?”=-2時，y>0,

/.4a-2b+c>0,

4a+c>2b,故③正確，

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x=-1時，y>0,x=\時，y<0,

?\a-b+c>0,a+b+cVO，

(a-b+c)(〃+6+c)<0

：.(a+c)2-b2<0,

/.(a+c)2<b2,故④錯誤，

x=-1時，y取得值a-b+c,

ax^+bx+c^a-b+c,

：.x(ax+b)<a-b,故⑤正確.

故選C.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活

運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

12.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OBCD是邊長為4的正方形，平行于對角線BD的直

線1從O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，運動到直線1與正方形沒有交

點為止.設(shè)直線1掃過正方形OBCD的面積為S,直線1運動的時間為t(秒)，下列能反映S

與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象是()

【解析】

【分析】據(jù)三角形的面積即可求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式選擇圖象.

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【詳解】如圖:

22

①當OS"時，S=yxtxt=yt,BPS=yt.

該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分.

故B、C錯誤；

②當4<氐8時，S=16-yx(8-t)x(8-t)=-yt2+8t-16.

該函數(shù)圖象是開口向下的拋物線的一部分.

故A錯誤.

故選D.

【點睛】考點：動點問題的函數(shù)圖象.

第n卷

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分)

13.在函數(shù)、=正日中，自變量x的取值范圍是.

x+2

【答案】立1且存-2

【解析】

【詳解】解：根據(jù)題意得：1-於0且x+2加，

解得：%<1且#-2.

故答案為爛1且存-2

Y2m

14.若關(guān)于x的方程=2+——的解是正數(shù)，則m的取值范圍是____________.

x-3x-3

3

【答案】m<3且mW-;

2

【解析】

【分析】解方程，用含，”的式子表示x,由x>0,求出機的范圍，再把使分母為0的x值排除.

x2m

【詳解】解方程^=2+——得，x=6-2m.

x-3x-3

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因為x為正數(shù)，所以6—2加＞0,即用＜3.

3

把x=3代入方程x=6—2加得，3=6—2〃?，解得加=—.

2

3

所以m的取值范圍是加＜3且m豐一.

2

3

故答案為機＜3且m*—.

2

【點睛】本題考查了由分式方程的解的情況求字母系數(shù)的取值范圍，這種問題的一般解法是：

①根據(jù)未知數(shù)的范圍求出字母的范圍；②把使分母為0的未知數(shù)的值代入到去分母后的整式方

程中，求出對應(yīng)的字母系數(shù)的值；③綜合①②，求出字母系數(shù)的范圍.

15.已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+kx-4=0的兩根分別為x1,X2.若2xWkx2?13=0.則k的值為

【答案】15±372

【解析】

【詳解】分析：把不代入到原方程，化簡為2x；=—左玉+4,把2x；代入到方程為2—正一13

=0,整理得一網(wǎng)演+%2)—9=0,再把%+工2=-1整體代入求鼠要判斷人的值是否使原方程

有實數(shù)根.

k

詳解：根據(jù)題意得：x1+x=--,X.X2=-2.

因為X]原方程的根，所以2x：一4=0,

2-

即2xf=~kx]+4,代入方程2xi—to13=0得：

k

—ZrX1+4—kxi_13=0,即一k(Xj4~x2)—9=0,所以一)—9=0,

解得k=±3y/2.

因為b2—4“c=F+32＞0.,所以％=±3及.

故答案為±3、?.

點睛：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求一元二次方程中字母系數(shù)的值，一般需要將所給方程用

原方程的兩根之和與兩根之積表示，再整體代入，得到關(guān)于字母系數(shù)的方程，求出字

母系數(shù)，還要根據(jù)根的判別式判別所得字母系數(shù)的值是否使原方程有實數(shù)根.

16.如圖，在平面直角坐標系中，已知A(1,0),D(3,0),ZkABC與4DEF位似，原點O是

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位似.若AB=1.5,貝i]DE=

【答案】4.5

【解析】

【詳解】試題分析：已知A(1,0),D(3,0),可得OA=1,OD=3,又因AABC與4DEF位

似，AB=1.5,所以坐=3=工，所以DE=4.5.

DEOD3

考點：位似的性質(zhì).

17.如圖，直線y=Y3x+G與x軸、y軸分別相交于A,B兩點，圓心P的坐標為(1,0),OP與y

3

軸相切于點O.若將0P沿x軸向左平移，當。P與該直線相切時，點P坐標為—.

【答案】(-1,0),(-5,0);

【解析】

【詳解】分析：畫出0P與直線43相切時的圖形，計算出48與x軸的夾角，勾股定理和含30。

角的直角的性質(zhì)求ZP,力外的長.

詳解：如圖，當圓心戶運動到點尸I,尸2時，與直線N8相切.

當夕=0時，Y3x+Ji=0,解得x=-3,所以題一3,0)；

3

當x=0時，丫=仆,所以8(0,JJ).

即△ZB。中，則勾股定理得N8=6,所以/8/。=30。.

因為45與(DR相切，所以44CPi=90°,所以4Pi=2PC=2.

所以O(shè)P=3—2=1,則0).

同理“尸2=2,則0P2=3+2=5,則尸2(—5,0).

故答案為(-1,0),(一5,0).

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點睛：當直線的左值是百時，與X軸正方向的夾角是60。；當直線的左值是一G時,

與x軸正方向的夾角是120。；當直線的左值是也時，與x軸正方向的夾角是30。；當

3

直線的左值是-無時，與x軸正方向的夾角是150。.

3

18.如圖，點A在雙曲線y="的象限的那一支上，AB垂直于y軸與點B,點C在x軸正半軸

x

上，且OC=2AB,點E在線段AC上，且AE=3EC,點D為OB的中點，若4ADE的面積為

【解析】

【分析】由AE=3EC,Z\ADE的面積為3,可知AADC的面積為4,再根據(jù)點D為OB的中點,

得到aADC的面積為梯形BOCA面積的一半，即梯形BOCA的面積為8,設(shè)A(x,&),從而

x

表示出梯形BOCA的面積關(guān)于k的等式，求解即可.

【詳解】如圖，連接DC,

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VAE=3EC,AADE的面積為3,AACDE的面積為1.

.".△ADC的面積為4.

:點A在雙曲線y=夕的象限的那一支上,

k

，設(shè)A點坐標為（x,一）.

V0C=2AB,，0C=2x.

???點D為OB的中點，.二△ADC的面積為梯形BOCA面積的一半，，梯形BOCA的面積為8.

1k\k16

???梯形BOCA的面積=—（x+2x）?一二一-3%?一二8,解得k二一.

2x2x3

【點睛】反比例函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，同底

三角形面積的計算，梯形中位線的性質(zhì).

三、解答題（本大題共7個小題，滿分66分）.

/2_\2__2

19.先化簡，再求值：----—X-]+2.'------丁，其中x=y=V6.

【答案】一口，-1+V3.

【解析】

【分析】先將括號里面進行通分，再將能分解因式的分解因式，約分化簡即可.

"x2-y_x2x](x-j)2

、xxx)(x+y)(x-y)

—y—xx—y

xx+y

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x-y

X

把x=y=代入得：

原式=一也靜=一1+

V2

【點睛】考點：分式的化簡求值，二次根式的計算.

20.為了解學生課余情況，某班對參加A組：繪畫；B組：書法；C組：舞蹈；D組：樂器；

這四個課外興趣小組的人員分布情況進行抽樣，并根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了如圖兩幅沒有完整的

統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中提供信息，解答下面的問題：

（1）此次共了多少名同學？

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整，

（3）計算扇形統(tǒng)計圖中書法部分的圓心角的度數(shù)；

（4）已知在此次中，參加D組的5名學生中有3名女生和2名男生，要從這5名學生中隨機抽取

2名學生參加市舉辦的音樂賽，用列表法或畫樹狀圖的方法求出抽取的2名學生恰好是1男1

3

【答案】（1）25名同學；（2）見解析；⑶172.8°；（4）-.

5

【解析】

【詳解】分析：（1）用4組6人占人數(shù)的24%求的人數(shù)；（2）求出C組人數(shù)后即可補充統(tǒng)計圖；（3）

用參加書法組的人數(shù)除以的人數(shù)乘以360。；（4）用樹狀圖法求出總有可能性和符合條件的可能性.

詳解：（1）根據(jù)題意得：6+24%=25（名），

答：此次共了25名同學；

（2）。組的人數(shù)是：25-6-12-5=2（人）,補圖如下:

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⑶書法部分的圓心角的度數(shù)是玉*360。=1728；

（4）畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有20種等可能性，其中符合條件的可能性有12種.

則P（1男1女）==12=之3

205

點睛：本題主要考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，在等可能中，如果所有等可能

的結(jié)果為〃，而其中所包含的4可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)是加，那么/的概率為一.

n

21.身高1.65米的兵兵在建筑物前放風箏，風箏沒有小心掛在了樹上.在如圖所示的平面圖形

中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前點B處，風箏掛在建筑物上方的樹枝點G處（點

G在此的延長線上）.經(jīng)測量，兵兵與建筑物的距離BC=5米，建筑物底部寬尸C=7米，風箏

所在點G與建筑物頂點D及風箏線在手中的點A在同一條直線上，點A距地面的高度48=1.4

米，風箏線與水平線夾角為37。.

（1）求風箏距地面的高度GF；

（2）在建筑物后面有長5米的梯子梯腳M在距墻3米處固定擺放，通過計算說明：若兵

兵充分利用梯子和一根5米長的竹竿能否觸到掛在樹上的風箏？（參考數(shù)據(jù)：sin37OY）.60,

cos37°~0.80,tan37°~0.75）

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【答案】(1)10.4米；(2)能

【解析】

【分析】(1)過4作ZP_LG尸于點P.在用AR4G中利用三角函數(shù)求得GP的長，從而求得G尸

的長.

(2)在RtAMNF中,利用勾股定理求得NF的長度，N尸的長加上身高再加上竹竿長，與GF

比較大小即可.

【詳解】解：(1)過4作/PJ_G尸于點P,

則4P=3尸=12,AB=PF=\A,NGAP=37。,

GP

在出△物G中，tanZPAG=——，

AP

/.GP=/4P?tan37oK12x0.75=9(米).

.,.GF=9+1.4^10.4(米).

(2)由題意可知M/V=5,MF=3,

在直角4MNF中，NF=VMN2-MF2=4.

VI0.4-5-1.65=3.75<4,

???能觸到掛在樹上的風箏.

22.小米手機越來越受到大眾的喜愛，各種款式相繼投放市場，某店經(jīng)營的A款手機去年總額

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為50000元，今年每部價比去年降低400元，若賣出的數(shù)量相同，總額將比去年減少20%.

（1）今年A款手機每部售價多少元？

（2）該店計劃新進一批A款手機和B款手機共60部，且B款手機的進貨數(shù)量沒有超過A款

手機數(shù)量的兩倍，應(yīng)如何進貨才能使這批手機獲利至多？A,B兩款手機的進貨和價格如下表:

A款手機B款手機

進貨價格（元）11001400

價格（元）今年的價格2000

【答案】（1）今年A款手機每部售價1600元；（2）進A款手機20部，B款手機40部時，這

批手機獲利.

【解析】

【分析】（1）設(shè)今年A款手機的每部售價x元，則去年售價每部為（x+400）元，由賣出的數(shù)

量相同建立方程求出其解即可；

（2）設(shè)今年新進A款手機a部，則B款手機（60-a）部，獲利y元，由條件表示出y與a之間

的關(guān)系式，由a的取值范圍就可以求出y的值

【詳解】解：（1）設(shè)今年A款手機每部售價x元，則去年售價每部為（x+400）元，

由題意，得”叫=5。。。。（1-2。％）

x+400x

解得：x=1600.

經(jīng)檢驗，x=1600是原方程的根.答：今年A款手機每部售價1600元；

（2）設(shè)今年新進A款手機a部，則B款手機（60-a）部，獲利y元，

由題意，得丫=（1600-1100）a+（2000-1400）（60-a）,y=-100a+36000.

款手機的進貨數(shù)量沒有超過A款手機數(shù)量的兩倍，

A60-a<2a>

Aa>20.

Vy=-100a+36000.

：.k=-100<0,

；.y隨a的增大而減小.

.?.a=20時,y=34000元.

款手機的數(shù)量為：60-20=40部.

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當新進A款手機20部，B款手機40部時，這批手機獲利.

【點睛】考查函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，讀懂題目，找出題目中的等量關(guān)系列出方程是解

題的關(guān)鍵.

23.如圖，已知AB為00的直徑，點E在00上，NEAB的平分線交。0于點C,過點C作AE的

垂線，垂足為D,直線DC與AB的延長線交于點P.

(1)判斷直線PC與。0的位置關(guān)系，并說明理由;

3

(2)若tanNP=—，AD=6,求線段AE的長.

9

【答案】(1)PC是。O的切線;2)2-

【解析】

【詳解】試題分析：(1)結(jié)論：PC是。。的切線.只要證明。C〃/。，推出NOCP=ND=90。,

即可.

(2)由0C〃4Z),推出上="，即二=&11,解得尸竺，由8E〃尸。，

ADAP6104

AE=AB*smZABE=AB*sinZP,由止匕計算即可.

試題解析：解：(1)結(jié)論：PC是。。的切線.理由如下：

連接OC...ZC平分NE/3,AZEAC=ZCAB.又YNCAB=/ACO,：.ZEAC=ZOCA,

：.OC//AD."ADLPD,：.NOCP=ND=90°,；.PC是00的切線.

3

(2)連接在RtZ\4。尸中，ZADP=90°,AD=6,tanZP=-,：.PD=8,4P=10,設(shè)半徑為

4

OCOPr10-r15

r.-JOC//AD,：.—=——，a即n一=-----,解得尸一.,.ZB是直徑，...N2E8=NZ)=90°,

ADAP6104

1539

J.BE//PD,：.AE=AB>sinZABE=AB-sinZP=—=-.

252

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D

點睛：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知

識解決問題，屬于中考常考題型.

24.如圖1,△H8C為等腰直角三角形，ZACB=90-,尸是4C邊上的一個動點(點尸與4、C

沒有重合)，以C尸為一邊在等腰直角三角形外作正方形CQEF,連接8F、AD.

(1)猜想圖1中線段8尸、/Q的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；

(2)將圖1中的正方形。EF,繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度a,得到如圖2的情形.圖2

中8尸交4c于點“，交AD于點0,請你判斷(1)中得到的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的

判斷.

(3)將原題中的等腰直角三角形/8C改為直角三角形48C,N/C8=90。，正方形CDE尸改為矩

4

形CDEF,如圖3,且/C=4,BC=3,CD=-,CF=\,BF交AC于點、H,交/。于點0,連接

3

BD、AF,求BZAlX產(chǎn)的值.

250

【答案】⑴8尸=40,BFLAD；(2)BF=AD,5尸_L4D仍然成立，理由見解析;(3)---,

9

【解析】

【分析】(1)可由"S證得△BC尸絲△ZC。得到BF1AD；

(2)與(1)中的方法相同；

(3)證得再利用勾股定理求解.

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【詳解】(1)BF=4D,BFLAD；

延長8尸交NO于”，如圖1所示.

???△43C是等腰直角三角形，ZACB=90°,

：.AC=BC,

,：四邊形CDEF是正方形，

：.CD=CF,ZFCD=90°,

在△8CF和△4C￡>中，BC^AC,NBCF=NACD=90°,CF=CD,

ABCF學AACDISAS),

：.BF=AD,NCBF=NCAD,

：.ZBAD+NABF=NBAC+NCAD+NABF

=ZBAC+ZCBF+ZABF

=N8ZC+N/8C=90°,

ZAHA=90°,

：.BFLAD-,

(2)8/=40,8尸_L4D仍然成立，

「△/BC是等腰直角三角形，ZACB=90°,

:.AC=BC,

,：四邊形CDEF是正方形，

：.CD=CF,NFCD=90°,

ZACB+ZACF=ZFCD+ZACF,即NBCF=ZACD,

在△BCF和△/(?￡)中，BC=AC,NBCF=/ACD,CF=CD,

2BCFg/\ACD(SAS),

：.BF=AD,ZCBF=ZCAD,

又,:NBHC=NAHO,ZCBH+NBHC=90。,

：.ZCAD+ZAHO=90°,

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ZAOH=90\

：.BF1AD；

(3)證明：連接DR如圖所示.

圖3

,四邊形CDE尸是矩形，

AZFCD=90,

又,：4ACB=90

：.ZACB=NFCD

/.N/C8+NACF=ZFCD+NACF,即NBCF=NACD,

4

'：AC=4,SC=3,CD=-,CF=\,

3

：.BC:AC=CF:CD=3A,

:ABCFSAACD,

；.NCBF=NCAD,

又*：4BHC=NAHO,NCBH+NBHC=90°,

：.ZCAD+ZAHO=90\

：.ZAOH=90°,

：.BFLAD,

：.ZBOD=ZAOB=90°,

：.BD2=OB2+OD2,AF2=OA2+OF2,AB1=OA1+OB1,D產(chǎn)=O產(chǎn)+ODL

：.BD1+AF，1=OB2+OD2+OA2+OF1=AB2+DI^,

:在及/△/BC中，N4CB=90°,AC=4,BC=3,

/.J52=/4C2+BC2=32+42=25,

4

:在口△尸CD中，NFCD=90。CD=-,CF=l,

3

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425

：.DF2=CD2+CF2=(-)2+12=—,

25250

：.BD2+AF<2=AB2+DF2=25-\——=——.

99

【點睛】這是一種類比題，當圖形從到一般時，一般圖形中的解題方法可類比圖形中的解題方

法，圖形中的很多結(jié)論在一般圖形中還存在.它考查了等腰直角三角形和直角三角形的性質(zhì)，

勾股定理，矩形與正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識,

具有一定的綜合性.

25.如圖，已知拋物線y=(x2+bx+cAABC的三個頂點，其中點A(0,1),點B(-9,10),

AC〃x軸，點P是直線AC下方拋物線上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點P且與y軸平行的直線1與直線AB、AC分別交于點E