山東省菏澤市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2021級(jí)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題根據(jù)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)直接求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于Oxy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：C2.已知直線與直線平行，則m的值為（）A.3 B. C.3或 D.3或4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線平行的判定得即可求m值，注意驗(yàn)證兩直線是否平行，而非重合.【詳解】由題設(shè)，，可得或，當(dāng)時(shí)，、平行，符合題設(shè)；當(dāng)時(shí)，、重合，不合題設(shè)；∴.故選：B.3.已知直線，若直線與垂直，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直線與垂直得到的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得到答案.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，且，所以，解得，設(shè)的傾斜角為，，所以.故選：D4.在等比數(shù)列中，，，則公比q的值為（）A.1 B. C.1或2 D.1或【答案】D【解析】【分析】討論、，由已知結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求公比q.【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，符合題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，∴，則，可得或（舍），綜上，或.故選：D.5.已知等差數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后由裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得則所以則故選：A6.已知圓與直線，則圓上到直線的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】由得，則圓的圓心為，半徑，由，則圓心到直線的距離，∵，∴在圓上到直線距離為1的點(diǎn)有兩個(gè).故選：B.7.等軸雙曲線的焦距為（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】先求得，然后求得.【詳解】由解得或，所以，則，，所以焦距.故選：C8.已知點(diǎn)與不重合的點(diǎn)A，B共線，若以A，B為圓心，2為半徑的兩圓均過點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓，然后由圓的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，弦長最小，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，弦長最長，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可【詳解】設(shè)點(diǎn)，則以A，B為圓心，2為半徑的兩圓方程分別為和，因?yàn)閮蓤A過，所以和，所以兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓，因?yàn)辄c(diǎn)與不重合的點(diǎn)A，B共線，所以為圓的一條弦，所以當(dāng)弦長最小時(shí)，，因?yàn)?，半徑?，所以弦長的最小值為，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，弦長最長為4，因?yàn)?，所以?dāng)弦長最小時(shí)，的最大值為，當(dāng)弦長最大時(shí)，的最小值為，所以的取值范圍為，故選：D二?多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.最小 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及前項(xiàng)和公式可得，即可得出數(shù)列單調(diào)性，進(jìn)而判斷選項(xiàng)BCD的正確性，再由數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)即可得前1011項(xiàng)的和最小，得出正確結(jié)果.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得可得，即選項(xiàng)BC正確；因此等差數(shù)列的公差，所以數(shù)列為遞增數(shù)列；，即選項(xiàng)D正確；由可知，該數(shù)列前1011項(xiàng)全部為負(fù)，所以前1011項(xiàng)的和最小，即最小，所以A錯(cuò)誤；故選：BCD10.下列說法正確的是（）A.若G是四面體OABC的底面三角形ABC的重心，則B.在四面體OABC中，若，則A，B，C，G四點(diǎn)共面C.已知平行六面體的棱長均為1，且，則對(duì)角線的長為D.若向量，則稱（m，n，k）為在基底下的坐標(biāo)．已知向量在單位正交基底下的坐標(biāo)為（1，2，3），則在基底下的坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】【分析】A令，，，，由G是底面三角形ABC的重心，利用向量的坐標(biāo)表示即可判斷；B根據(jù)空間向量共面的結(jié)論即可判斷；C由，應(yīng)用向量的運(yùn)算律求的模即可；D用基底及對(duì)應(yīng)坐標(biāo)表示出向量即可判斷.【詳解】A：令，，，，又G是底面三角形ABC的重心，∴，，，，，∴成立，正確；B：由，而，故A，B，C，G四點(diǎn)不共面，錯(cuò)誤；C：如下圖，，∴，又且棱長為1，∴，則，正確；D：在基底下坐標(biāo)為，則，故在基底下坐標(biāo)為（1，2，3），正確.故選：ACD.11.已知曲線，分別為C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，且是直角三角形，下列判斷正確的是（）A.曲線C的焦距為B.若滿足條件的點(diǎn)P有且只有4個(gè)，則m的取值范圍是且C.若滿足條件的點(diǎn)P有且只有6個(gè)，則D.若滿足條件的點(diǎn)P有且只有8個(gè)，則m的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】依次對(duì)所給選項(xiàng)利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行判斷即可.【詳解】A.當(dāng)C表示橢圓時(shí)，因?yàn)椋訡的焦點(diǎn)在x軸上，且，所以，即，所以焦距為；當(dāng)C表示雙曲線時(shí)，因?yàn)?，即，所以C的焦點(diǎn)在x軸上，所以，即，所以焦距為；故A正確；B.若滿足條件的點(diǎn)P有且只有4個(gè)，則C表示橢圓，如圖1，以為直徑的圓O與C沒有公共點(diǎn)，所以，即，所以m的取值范圍是，故B錯(cuò)誤；C.若滿足條件的點(diǎn)P有且只有6個(gè)，則C表示橢圓，如圖2，以為直徑的圓O與C有2個(gè)公共點(diǎn)，所以，即，所以m的取值范圍是，故C正確；D.若滿足條件點(diǎn)P有且只有8個(gè)，則當(dāng)C表示橢圓時(shí)，如圖3，以為直徑的圓O與C有4個(gè)公共點(diǎn)，所以，即，所以m的取值范圍是；當(dāng)C表示雙曲線時(shí)，如圖4，以為直徑的圓O與C恒有8個(gè)公共點(diǎn)，所以，綜上m的取值范圍是或；故D錯(cuò)誤.故選：AC12.兩千多年前，古希臘大數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)，用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，其截口曲線是圓錐曲線（如圖）．已知圓錐軸截面的頂角為2θ，一個(gè)不過圓錐頂點(diǎn)的平面與圓錐的軸的夾角為α．當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓；當(dāng)時(shí)，截口曲線為拋物線；當(dāng)時(shí)，截口曲線為雙曲線．在長方體中，，，點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)，下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到平面的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線B.若點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到的距離之和等于4，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓C.若，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線D.若，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線【答案】BD【解析】【分析】A、B將距離轉(zhuǎn)化到平面ABCD內(nèi)P到定點(diǎn)、定直線的距離，結(jié)合圓錐曲線的定義判斷正誤；C、D確定被截圓錐的軸與截面ABCD的夾角，并比較被截圓錐軸截面頂角一半的大小關(guān)系，結(jié)合題設(shè)判斷P的軌跡.【詳解】A：如下圖，P到直線的距離與P到平面的距離相等，又P在平面ABCD內(nèi)，∴在平面內(nèi)，P到的距離與P到直線的距離相等，又，∴在直線上，故P的軌跡為直線，錯(cuò)誤；B：P到直線的距離與P到的距離之和等于4，同A知：平面內(nèi)，P到直線的距離與P到的距離之和等于4，而，∴P的軌跡為橢圓，正確；C：如下示意圖，根據(jù)正方體的性質(zhì)知：與面所成角的平面角為，∴時(shí)，相當(dāng)于以為軸，軸截面的頂角為的圓錐被面所截形成的曲線，而，則，即，故P的軌跡為橢圓，錯(cuò)誤；D：同C分析：時(shí)，相當(dāng)于以為軸，軸截面的頂角為的圓錐被面所截形成的曲線，而，即，故P的軌跡為雙曲線，正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將空間點(diǎn)線、點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為平面點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線距離判斷軌跡，由題設(shè)及給定的條件確定被截圓錐的軸與截面ABCD的夾角、被截圓錐軸截面頂角大小，進(jìn)而確定軌跡形狀.三?填空題：本大題共4小題，律小題5分，共20分.13.已知△的三個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn)A（4，0），，，則△的外接圓的方程為______．【答案】【解析】【分析】令外接圓圓心，而中點(diǎn)為、中點(diǎn)為，由求x、y，進(jìn)而求半徑，即可寫出△的外接圓的方程.【詳解】令△的外接圓圓心，又A（4，0），，∴中點(diǎn)為，則，則，中點(diǎn)為，則，則，∴圓心，又外接圓的半徑，∴△的外接圓的方程為.故答案為：.14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則__________.【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，求解，當(dāng)當(dāng)時(shí)，求出然后求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，①②減②得：所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以故答案為：15.如圖，已知圓的半徑為定長是圓所在平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和直線相交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)：（1）當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)且不與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)的軌跡是__________（從圓?橢圓?拋物線中選擇一個(gè)填寫）；（2）當(dāng)__________（從>，=，<中選擇一個(gè)填寫）時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．【答案】①.橢圓②.>【解析】【分析】根據(jù)圓錐曲線定義判斷求解．【詳解】當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)且不與點(diǎn)重合時(shí)，，因此點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為半徑的橢圓，當(dāng)點(diǎn)A在圓上時(shí)，點(diǎn)到圓心重合，當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為半徑的雙曲線的一支．故答案為：橢圓；．16.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．過作其中一條漸近線的垂線，交雙曲線的右支于點(diǎn)P，若，則雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】【分析】由題設(shè)，不妨令，過作，則，結(jié)合勾股定理、等腰直角三角形求，再由雙曲線定義求參數(shù)間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求離心率.【詳解】如下圖，垂直一條漸近線，則，過作，故，又，∴，，又在△中，故，，由雙曲線定義知：，則，∴.故答案為：.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上．（1）求p的值及F的坐標(biāo)；（2）過F且斜率為的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），求．【答案】（1），（2）4【解析】【分析】（1）將M坐標(biāo)代入方程即可；（2）聯(lián)立直線l與拋物線方程得到A、B的橫坐標(biāo)，再利用焦半徑公式求出即可.【小問1詳解】將代入，得，解得，所以【小問2詳解】由（1）得拋物線方程為，直線l的方程為，聯(lián)立消y得，解得或，因?yàn)锳在第一象限，所以，所以，，所以18.已知圓C的圓心在直線上，且與x軸相交于點(diǎn)M（2，0）和N（4，0）．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，試問符合要求的直線有幾條？并求出相應(yīng)直線l的方程．【答案】（1）;（2）有2條，分別為、?！窘馕觥俊痉治觥浚?）由題設(shè)易知圓心在直線上，聯(lián)立求圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求半徑，即可得圓的方程.（2）判斷的位置，討論直線l斜率，結(jié)合圓的方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長公式求參數(shù)，即可判斷直線的條數(shù)及對(duì)應(yīng)方程.【小問1詳解】由題設(shè)，中點(diǎn)為，則圓心在直線上，聯(lián)立，可得圓心為，∴圓的半徑為，綜上，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：.【小問2詳解】∵，∴在圓外，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線方程為，則，，顯然符合題設(shè)；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)為，聯(lián)立圓C可得：，若，，則，，∴，可得：.∴此時(shí)，直線l：，即.綜上，符合條件的直線有2條，分別為、.19.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，，側(cè)面底面ABCD，，．（1）若PB的中點(diǎn)為E，求證：平面PCD；（2）若PB與底面ABCD所成的角為60°，求平面PCD與平面PBD的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取PC的中點(diǎn)F，連接EF，DF，推導(dǎo)出四邊形ADFE是平行四邊形，，由此能證明平面PCD；（2）△為等邊三角形，是中點(diǎn)，作，以為原點(diǎn)，、、為x、y、z軸建空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【小問1詳解】如圖，取PC的中點(diǎn)F，連接EF，DF，，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)，，，且，且，四邊形ADFE是平行四邊形，，平面PCD，平面PCD，平面PCD．【小問2詳解】若是中點(diǎn)，作，由底面ABCD為直角梯形且，，，由側(cè)面底面ABCD，面面，面，∴在面ABCD的投影在直線上，又PB與底面ABCD所成的角為60°，∴PB與底面ABCD所成角的平面角，則△為等邊三角形.∴以為原點(diǎn)，、、為x、y、z軸建空間直角坐標(biāo)系，如下圖示：∴、、、，則，，，設(shè)平面BDP的法向量，則，取，得，設(shè)平面PCD的法向量，則，取，得，設(shè)平面PCD與平面PBD的夾角為，則，平面PCD與平面PBD的夾角的余弦值為．20.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對(duì)已知等式兩邊取倒數(shù)，再利用等比數(shù)列定義證明，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可求解.【小問1詳解】由，兩邊取倒數(shù)得，即，即故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以，，即所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】由（1）知，，①②兩式相減得：21.已知雙曲線的實(shí)軸長為2，且雙曲線上任一點(diǎn)到它的兩條漸近線的距離之積為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn).（i）當(dāng)時(shí)，能否是線段的中點(diǎn)？若能，求出的方程；若不能，說明理由；（ii）若點(diǎn)不是線段的中點(diǎn)，寫出所滿足的關(guān)系式（不要求證明）【答案】（1）（2）（i）不能，理由見解析；（ii）【解析】【分析】（1）由題意可知，利用任一點(diǎn)到它的兩條漸近線的距離之積為可計(jì)算出，得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）假設(shè)是線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法可求出直線方程，再根據(jù)直線和雙曲線的位置關(guān)系得出矛盾即可判斷出結(jié)論；（ii）根據(jù)（i）中的證明可假設(shè)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)求出所滿足的關(guān)系式，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由雙曲線實(shí)軸長為2可得，即；則雙曲線的兩條漸近線為；設(shè)，則滿足，到兩條漸近線的距離之積為，聯(lián)立①②得，解得所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】（i）由題意可知，假設(shè)是線段的中點(diǎn)，設(shè)直線與雙曲線的兩點(diǎn)，則滿足，兩式相減整理得；由是線段的中點(diǎn)可得，即所以直線的方程為，即；聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，此方程，此時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)，這與直線