2023屆河北省衡水市第十三中學(xué)高三年級上冊學(xué)期質(zhì)檢（三）數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆河北省衡水市第十三中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)檢（三）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】計(jì)算，再計(jì)算交集得到答案.【詳解】，所以.故選：B2．已知，則的虛部為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的虛部?故選:A.3．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用“分段法”確定正確答案.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D4．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．已知四棱錐是陽馬，上平面，且，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用空間向量的加減運(yùn)算，把已知向量用空間中一組基底表示.【詳解】，，所以．故選：C5．若直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)斜率求得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得.【詳解】因?yàn)?，所以，令，即，得或（舍去），所以切點(diǎn)是，代入，得，.故選：D6．拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一動點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．5 D．9【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的定義結(jié)合幾何圖形求解.【詳解】如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過作于，過作于，因?yàn)椋援?dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，故的最小值為．故選:A.7．《幾何原木》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．如圖，、是直角圓錐的兩個(gè)軸截面，且，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】在圓錐中，平面，設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以、、、，，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為．故選：B.8．已知雙曲線的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，設(shè)過的直線與的右支相交于兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得，由得，，再結(jié)雙曲線的定義表示出，，然后在和中利用余弦定理列方程可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡x心率為，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，，所以，由余弦定理得，化簡得，解得，故選：D二、多選題9．如圖，在直三棱柱中，，若，則D可能為（

）A．的中點(diǎn) B．AC的中點(diǎn)C．的中點(diǎn) D．的重心【答案】BCD【分析】設(shè)E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，證明平面BEF，得點(diǎn)在平面BEF內(nèi)，從而可得正確選項(xiàng)．【詳解】設(shè)E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，因?yàn)槭侵比庵云矫鍭BC，平面ABC，所以，又因?yàn)?，E為AC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，而平面，則，又因?yàn)?，是正方形，與正方形的對角線平行，所以，又，平面BEF，所以平面BEF，因?yàn)?，所以點(diǎn)D在平面BEF內(nèi)．故選：BCD.10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則的最小值為5C．以線段為直徑的圓與直線相切D．若，則直線的斜率為【答案】AC【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式即可判斷A；過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義結(jié)合圖象即可判斷B；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得，從而可得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)及長度，再求出中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離即可判斷C；根據(jù)，可得，結(jié)合C選項(xiàng)即可判斷D.【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，對于A，由，得，故A正確；對于B，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號，所以的最小值為4，故B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線的方程為，聯(lián)立方程，消去得，則，則，線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的距離為，所以以為直徑的圓與直線相切，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，可得，由，得，解得，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．已知動點(diǎn)到原點(diǎn)與的距離之比為2，動點(diǎn)的軌跡記為，直線，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的方程為B．動點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為C．直線被截得的弦長為D．上存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為【答案】AD【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式和題意確定方程，結(jié)合圓心到直線的距離即可求解，圓的弦長公式求法即可進(jìn)一步求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以的方程為，故A正確；因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線與圓相交，且弦長為，故C錯(cuò)誤；動點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為，故B錯(cuò)誤，D正確．故選：AD.12．設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)逆向思維得到，代入推出的對稱軸，即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)為奇函數(shù)推出對稱中心，進(jìn)一步得出，即的周期為4，即可判斷C選項(xiàng)；由是由的圖像變換而來，所以的周期也為4，進(jìn)而判斷B選項(xiàng)；再算出時(shí)的函數(shù)值以及一個(gè)周期內(nèi)的值即可求解，判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，用去替，所以，所?因?yàn)?，取代入得到，得，所以，用換，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以，故A正確；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則過,圖像向右移動兩個(gè)單位得到過，故圖像關(guān)于對稱，，所以，且.因?yàn)?，所以，則的周期，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以的周期也?，所以，，所以，故B正確；因?yàn)?，，，，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．若直線與直線平行，則_______.【答案】2【分析】利用兩直線平行求參數(shù)即可【詳解】因?yàn)?，所以，所以?當(dāng)時(shí)，，，重合；當(dāng)時(shí)，，，，符合題意.故答案為：2.14．將函數(shù)的圖象向左或向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，則的一個(gè)取值可能為__________.【答案】（或）（只需從中寫一個(gè)答案即可）【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識求得的解析式，根據(jù)是偶函數(shù)列方程，化簡求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得的可能取值.【詳解】由題意可知.因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以.因?yàn)?，所以的取值可能?故答案為：（或）（只需從中寫一個(gè)答案即可）15．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則的面積為______．【答案】【分析】由余弦定理及已知條件可得，再由三角形的面積公式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，得，故．故答案為：四、雙空題16．設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，且長軸長為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________；過任作兩條互相垂直的直線分別另交橢圓于，兩點(diǎn)，則直線過定點(diǎn)___________．【答案】

【分析】設(shè)，根據(jù)是橢圓的上頂點(diǎn)，得到，再根據(jù)長軸長為，得到求解；設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，由求解.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)槭菣E圓的上頂點(diǎn)，所以．因?yàn)殚L軸長為，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，由可得，所以，，因?yàn)?，，所以，，，所以，解得或．?dāng)時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)，不滿足題意，所以直線的方程為，故直線過定點(diǎn)．故答案為：，五、解答題17．已知數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)累加法求解即可；（2）由題知，進(jìn)而根據(jù)裂項(xiàng)求和得，，再求和即可得答案.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，，…，，相加得，因?yàn)椋?，因?yàn)闈M足，所以，．（2）解：因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以?8．已知的頂點(diǎn)分別為，，．(1)求外接圓的方程；(2)直線上有一動點(diǎn)，過點(diǎn)作外接圓的一條切線，切點(diǎn)為，求的最小值，并求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)的最小值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)得到方程組，解出即可；（2）設(shè)圓心為，首先判斷與圓相離.根據(jù)已知條件，可得出，則當(dāng)最小時(shí)，最小.又，即圓心到直線的距離，進(jìn)而根據(jù)已知可求出最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)外接圓的方程為，代入，，，可得，即，解得，所以外接圓的方程為．（2）由（1）知，外接圓可化為，圓心設(shè)為，半徑.設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，則，所以與圓相離.由已知，是圓的一條切線，切點(diǎn)為，則，在中，有，所以要使最小，只需最?。?dāng)時(shí)，最小，即，.設(shè)，因?yàn)椋稍O(shè)直線方程為，又，所以，所以.所以，直線方程為，又在上，聯(lián)立與的方程，解得，即．19．如圖，在五面體ABCDE中，平面ABC，，，．(1)求五面體ABCDE的體積；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）可將該五面體分割成多個(gè)簡單幾何體后進(jìn)行體積求解.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量先求出二面角的余弦值，再求正弦值.【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍭BC，所以．因?yàn)椋矫鍮CE，平面BCE，所以平面BCE，所以，所以．（2）如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OB，因?yàn)?，所以，作．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x，y軸的正方向建立空間直角坐以標(biāo)系，則，，，，，，，．設(shè)平面CDE的法向量為，則令，得．設(shè)平面ACE的法向量為，則令，得．因?yàn)?，所以，故二面角的正弦值為?0．如圖，在長方體中，.(1)求到平面的距離；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，從而求得與平面的法向量，進(jìn)而利用空間向量法求得點(diǎn)到平面的距離；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，求得的坐標(biāo)表示，從而利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可求得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，故，所以到平面的距離為..（2）由（1）得，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.21．已知橢圓的長軸長為，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程.(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（斜率不為0）交橢圓于不同的兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線分別與直線交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，是否存在實(shí)數(shù)，使直線的斜率為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題可得，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可求出，從而可求出橢圓方程；（2）由題意設(shè)直線為，，將直線方程代入橢圓方程化簡再利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后分別表示出直線，的方程，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出，化簡可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的長軸長為，所以，得，所以橢圓為，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，得，所以橢圓方程為；（2）由題意設(shè)直線為，，由，得，，得，則，，因?yàn)?，所以直線為，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以直線為，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，所以若為定值，則與無關(guān)，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，直線的斜率為定值.22．已知雙曲線的上?下頂點(diǎn)分別為為虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)，且.(1)求的方程；(2)直線與雙曲線交于不同于的兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，且于點(diǎn)，證明：存在定點(diǎn)，使為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）不妨設(shè)，求出、的坐標(biāo)，根據(jù)可得答案；（2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理求出，，，根據(jù)求出，代入整理得，求出，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為，代入雙曲線方程，根據(jù)，求出矛盾；再由，得點(diǎn)在以為直徑的圓上，為該圓的圓心，為圓的半徑可得答案.【詳解】（1）由題，不妨設(shè)，所以，，因?yàn)椋?，解得，所以的方程為；?）設(shè)，且，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，整