2020北京高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編：函數(shù)的概念與性質(zhì)

第16頁/共16頁2020北京高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編函數(shù)的概念與性質(zhì)一、單選題1．（2020·北京·高一期末）“函數(shù)在區(qū)間上不是增函數(shù)”的一個(gè)充要條件是（

）A．存在滿足 B．存在滿足C．存在且滿足 D．存在且滿足2．（2020·北京西城·高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．3．（2020·北京·高一期末）下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．（2020·北京密云·高一期末）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．5．（2020·北京東城·高一期末）下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（）A． B． C． D．6．（2020·北京西城·高一期末）下列四個(gè)函數(shù)中，在(0，+∞)上單調(diào)遞減的是（）A．y＝x+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝2x D．7．（2020·北京石景山·高一期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．8．（2020·北京平谷·高一期末）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是A． B． C． D．9．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，設(shè)，，，則的大小關(guān)系是A． B． C． D．10．（2020·北京石景山·高一期末）下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是A． B． C． D．二、多選題11．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．12．（2020·北京東城·高一期末）已知函數(shù)，下列命題正確的有（）A．對于任意實(shí)數(shù)，為偶函數(shù)B．對于任意實(shí)數(shù)a，C．存在實(shí)數(shù)，在上單調(diào)遞減D．存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式的解集為三、填空題13．（2020·北京密云·高一期末）若函數(shù)為奇函數(shù)，則__________．14．（2020·北京西城·高一期末）給定函數(shù)y＝f(x)，設(shè)集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若對于?x∈A，?y∈B，使得x+y＝0成立，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P．給出下列三個(gè)函數(shù)：①；②；③y＝lgx．其中，具有性質(zhì)P的函數(shù)的序號是_____．15．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)開________.16．（2020·北京平谷·高一期末）函數(shù)，在區(qū)間上的增數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________.四、雙空題17．（2020·北京·高一期末）對于正整數(shù)，設(shè)函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù).①則___________；②設(shè)函數(shù)，則在函數(shù)的值域中所含元素的個(gè)數(shù)是___________.18．（2020·北京房山·高一期末）已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)開_______；若在R上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是________.19．（2020·北京西城·高一期末）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_____；滿足f(x0)＞1的x0的取值范圍是_____．20．（2020·北京東城·高一期末）已知函數(shù)，則_____；若，則實(shí)數(shù)_____．五、解答題21．（2020·北京·高一期末）已知函數(shù).(Ⅰ)設(shè)集合,,,分別指出2,3,4是,,中哪個(gè)集合的元素;(Ⅱ)若,,當(dāng)時(shí),都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（2020·北京密云·高一期末）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸右側(cè)的圖象，如圖所示．（1）畫出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的解析式；（3）解不等式.23．（2020·北京房山·高一期末）已知函數(shù)（且）的圖象過點(diǎn)，.若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)t，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)M.（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)M？并說明理由；（3）證明：函數(shù)具有性質(zhì)M.24．（2020·北京東城·高一期末）已知函數(shù)（1）判斷的奇偶性并證明；（2）判斷的單調(diào)性并說明理由；（3）若對任意恒成立,求的取值范圍．25．（2020·北京西城·高一期末）已知函數(shù)．,（Ⅰ）證明：f(x)為偶函數(shù)；（Ⅱ）用定義證明：f(x)是(1，+∞)上的減函數(shù)；（Ⅲ）當(dāng)x∈[﹣4，﹣2]時(shí)，求f(x)的值域．26．（2020·北京西城·高一期末）設(shè)函數(shù)其中P，M是非空數(shù)集．記f(P）＝{y|y＝f(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝f(x)，x∈M}．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；（Ⅱ）若P∩M＝?，且f(x)是定義在R上的增函數(shù)，求集合P，M；（Ⅲ）判斷命題“若P∪M≠R，則f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以證明．27．（2020·北京石景山·高一期末）已知函數(shù)（，且）．（Ⅰ）求函數(shù)的定義域；（Ⅱ）判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅲ）解關(guān)于x的不等式．

參考答案1．D【分析】由函數(shù)在區(qū)間上不是增函數(shù)舉例說明A，B，C錯(cuò)誤，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】∵

函數(shù)在區(qū)間上不是增函數(shù)，但對于任意的，，∴

“存在滿足”不是“函數(shù)在區(qū)間上不是增函數(shù)”的充要條件，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，∵

函數(shù)在區(qū)間上不是增函數(shù)，但對于任意的，，∴

“存在滿足”不是“函數(shù)在區(qū)間上不是增函數(shù)”的充要條件，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，∵

函數(shù)在區(qū)間上不是增函數(shù)，任意的且時(shí)，∴

“存在且滿足”不是“函數(shù)在區(qū)間上不是增函數(shù)”的充要條件，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選：D.2．D【解析】根據(jù)偶次方根被開方數(shù)非負(fù)、分母不為0，可建立等式關(guān)系，進(jìn)而可求出函數(shù)的定義域.【詳解】由題意，可得，解得或.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.3．C【解析】直接利用函數(shù)性質(zhì)判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A中不是周期函數(shù),故排除A;選項(xiàng)B,D中的函數(shù)均為奇函數(shù),故排除B,D;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)的周期性和奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.4．D【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于，，為指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)?，不是偶函?shù)，不符合題意；對于，，為冪函數(shù)，是奇函數(shù)，不符合題意；對于，，為偶函數(shù)，在不是增函數(shù)，不符合題意；對于，，為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判定，關(guān)鍵是掌握常見函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．5．A【解析】根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性,綜合即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng)：對于A,,是偶函數(shù),符合題意；對于B,,是對數(shù)函數(shù),不是偶函數(shù),不符合題意；對于C,,是指數(shù)函數(shù),不是偶函數(shù),不符合題意；對于D,,是冪函數(shù),不是偶函數(shù),不符合題意；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷,關(guān)鍵是掌握常見函數(shù)的奇偶性,屬于基礎(chǔ)題．6．D【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，綜合即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，y＝x+1，為一次函數(shù)，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，不符合題意；對于B，y＝x2﹣1，為二次函數(shù)，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，不符合題意；對于C，y＝2x，為指數(shù)函數(shù)，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，不符合題意；對于D，，為對數(shù)函數(shù)，在(0，+∞)上單調(diào)遞減，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，關(guān)鍵是掌握常見函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．7．D【解析】要使函數(shù)有意義，只需滿足分母不為零，被開方數(shù)不為負(fù)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解得且，所以函?shù)定義域?yàn)?，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了有函數(shù)解析式的定義域的求法，屬于容易題.8．C【詳解】y=2x為指數(shù)函數(shù)，沒有奇偶性；y=sinx，x∈[0，2π]，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，沒有奇偶性；y=x3定義域?yàn)镽，f（-x）=-f（x），為奇函數(shù)；y=lg|x|的定義域?yàn)閧x|x≠0}，且f（-x）=f（x），為偶函數(shù)．故選C．9．B【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，又因?yàn)?，所以，選B.10．C【詳解】試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以選項(xiàng)A不正確；因?yàn)楹癁楹瘮?shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，所以選項(xiàng)B不正確；函數(shù)的圖象拋物線開口向下，對稱軸是軸，所以此函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，選項(xiàng)C正確；函數(shù)雖然是偶函數(shù)，但是此函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以選項(xiàng)D不正確；故選C．考點(diǎn)：1、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性；2、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)；3函數(shù)的圖象．11．AD【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義以及基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，對于函數(shù)的定義域?yàn)?，，該函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，合乎題意；對于B選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，該函?shù)為偶函數(shù)，由于該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則該函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，不合乎題意；對于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，該函?shù)為奇函數(shù)，不合乎題意；對于D選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，，該函?shù)為偶函數(shù)，由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在該函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，合乎題意.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.12．ACD【解析】直接利用函數(shù)的對稱性和函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】解：函數(shù),①對于選項(xiàng)A：由于,且,故函數(shù)為偶函數(shù)．故選項(xiàng)A正確．②對于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)時(shí),,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．③對于選項(xiàng)C：由于函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,在時(shí),函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),在時(shí),函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),故在上單調(diào)遞減,故選項(xiàng)C正確．④對于選項(xiàng)D：由于函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,且在時(shí),函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),在時(shí),函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),故存在實(shí)數(shù)時(shí),使得關(guān)于的不等式的解集為,故選項(xiàng)D正確．故選：ACD.【點(diǎn)睛】函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于綜合題型．13．【解析】由函數(shù)為在定義域上為奇函數(shù)，則必有，然后利用待定系數(shù)法求解．【詳解】解：函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋覟槠婧瘮?shù)，滿足條件；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查奇偶性的定義的應(yīng)用，要注意判斷和應(yīng)用的區(qū)別，判斷時(shí)一定要從兩個(gè)方面，一是定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，二是模型是否滿足．應(yīng)用時(shí)，已經(jīng)知道奇偶性了，則對于定義域中任一變量都滿足模型，做大題時(shí)用待定系數(shù)法求參數(shù)，做客觀題時(shí)可用特殊值求解，屬于基礎(chǔ)題．14．①③【解析】A即為函數(shù)的定義域，B即為函數(shù)的值域，求出每個(gè)函數(shù)的定義域及值域，直接判斷即可．【詳解】對①，A＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，顯然對于?x∈A，?y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性質(zhì)P；對②，A＝R，B＝(0，+∞)，當(dāng)x＞0時(shí)，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性質(zhì)P；對③，A＝(0，+∞)，B＝R，顯然對于?x∈A，?y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性質(zhì)P；故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題以新定義為載體，旨在考查函數(shù)的定義域及值域，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零，分式分母不為零列不等式組，解不等式組求得函數(shù)的定義域.【詳解】依題意有，解得.故答案為【點(diǎn)睛】本小題主要考查具體函數(shù)定義域的求法，考查對數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.16．【分析】作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】解:函數(shù)的圖像如圖.由圖像可知要使函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)，則.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的圖象的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于簡單題目.17．

1

4【分析】由定義可得可得答案；先由定義得出，然后得出是以1為周期的周期函數(shù)，再在內(nèi)考查的取值分段得出答案.【詳解】①②所以是以1為周期的周期函數(shù).若，則若，則若，則若，則由函數(shù)的周期為1，故其值域?yàn)椋手涤蛑泻?個(gè)元素故答案為：1；

418．

【解析】當(dāng)時(shí)，分別求出和時(shí)的值域，再求并集即可；在R上單調(diào)遞減，則需要時(shí)單調(diào)遞減和，即可解出答案.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，又，所以時(shí)的值域?yàn)?，所以的值域?yàn)椋蝗粼赗上單調(diào)遞減，則需時(shí)單調(diào)遞減，以及時(shí)，，故，故.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查求函數(shù)值域、指數(shù)函數(shù)和分段函數(shù)的圖像性質(zhì)，屬于中檔題19．

2

（﹣1，0）∪（2，+∞）【解析】直接解方程求出零點(diǎn)即可知零點(diǎn)個(gè)數(shù)，注意分段函數(shù)分段求解．解不等式f(x0)＞1也同樣由函數(shù)解析式去求解．【詳解】時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，共2個(gè)零點(diǎn)，即零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，即，∴的的取值范圍是．故答案為：2；．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)，已知分段函數(shù)值求自變量的值，解不等式都要分段求解，注意各段的取值范圍即可．20．

或【解析】結(jié)合已知函數(shù)解析式,把代入即可求解,結(jié)合已知函數(shù)解析式及,對進(jìn)行分類討論分別求解．【詳解】,則；,①當(dāng)時(shí),可得,即,②當(dāng)時(shí),可得,即,綜上可得或．故答案為：；或【點(diǎn)睛】本題考查了求分段函數(shù)的函數(shù)值的問題,解題時(shí)應(yīng)對自變量進(jìn)行分析,是基礎(chǔ)題．21．（Ⅰ），，；（Ⅱ）【解析】(Ⅰ)根據(jù)題意,求出的解集,即可得集合??,據(jù)此分析可得答案;(Ⅱ)根據(jù)題意可知函數(shù)在,上單調(diào)遞增,再結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.【詳解】(Ⅰ)函數(shù),若,解得或,則或,或,;所以,,;(Ⅱ)因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象是開口朝上的拋物線,且對稱軸是,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,當(dāng)時(shí),都有,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,所以,即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查集合,考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,涉及一元二次不等式的解法,難度不大.22．（1）圖見解析；函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是（2）（3）【解析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的對稱性作出函數(shù)圖象，由函數(shù)圖象讀出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，可得．再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，可得，由此能求出函數(shù)的解析式．（3）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；由函數(shù)圖象讀出解集即可；【詳解】解：（1）如圖作函數(shù)圖象.

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是：，單調(diào)減區(qū)間是：．

（2）因?yàn)闀r(shí)，，若，則，，又因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，.

綜上：．（3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；所以解集為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象的作法，函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)解析式的求法，考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．23．（1）；（2）函數(shù)不具有性質(zhì)M，詳見解析；（3）證明見解析【解析】（1）將點(diǎn)代入的解析式求解即可；（2）由，可得對數(shù)方程，運(yùn)用對數(shù)的性質(zhì)判斷方程的解，即可判斷是否具有性質(zhì)；（3）由，求得方程的根或范圍，結(jié)合新定義即可得證.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，所以，解得；（2）函數(shù)不具有性質(zhì)M，證明如下：函數(shù)的定義域?yàn)?，方程，而方程無解，所以不存在實(shí)數(shù)使得成立，所以函數(shù)不具有性質(zhì)M；（3）由（1）知，定義域?yàn)镽，方程，設(shè)，，，函數(shù)的圖象連續(xù)，且，所以函數(shù)在區(qū)間存在零點(diǎn)，所以存在實(shí)數(shù)t使得成立，所以函數(shù)具有性質(zhì)M.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的新定義的理解和運(yùn)用、函數(shù)方程的關(guān)系和零點(diǎn)定理，考查學(xué)生推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.24．（1）奇函數(shù),證明見解析；（2）增函數(shù),理由見解析；（3）【解析】（1）求出的定義域,再計(jì)算與比較,即可判斷奇偶性；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)大于，即可的的單調(diào)性；（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性和將轉(zhuǎn)化為，再分情況討論即可得出的取值范圍．【詳解】解（1）判斷：是奇函數(shù).證明：因?yàn)?定義域?yàn)?所以是奇函數(shù)；（2）判斷：在上是增函數(shù).證明：因?yàn)樗运栽谏鲜窃龊瘮?shù).（3）若對任意恒成立,求的取值范圍．因?yàn)樗?由（1）知是奇函數(shù),則又由（2）知在上是增函數(shù),則,對任意恒成立,①當(dāng)時(shí),,符合題意；②當(dāng)時(shí),,因?yàn)?，無最小值,所以不合題意；③當(dāng)時(shí),,則,解得,所以，符合題意；綜上所述：.故若對任意恒成立，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷和證明,以及利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式,是基礎(chǔ)題.25．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）【解析】(I)用偶函數(shù)定義證明；(II)用減函數(shù)定義證明；(III)根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得函數(shù)在上的單調(diào)性，可得最大值和最小值，得值域．【詳解】(I)函數(shù)定義域是,,∴是偶函數(shù)；(II)當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，∵，∴，∴，即，∴在上是減函數(shù)；(III)由(I)(II)知函數(shù)在上是增函數(shù)，∴，，∴所求值域?yàn)椋军c(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，掌握奇偶性與單調(diào)性的定義是解題基礎(chǔ)．26．（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}；（Ⅲ）真命題，證明見解析【解析】(Ⅰ)求出f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，由此能過求出f(P)∪f(M)．(Ⅱ)由f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(0)＝0，得到當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＜0，(﹣∞，0)?P．

同理可證(0，+∞)?P．由此能求出P，M．(Ⅲ)假設(shè)存在非空數(shù)集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．證明0∈P∪M．推導(dǎo)出f(﹣x0)＝﹣x0，且f(﹣x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，由此能證明命題“若P∪M≠R，