河南省南陽市第二實驗高級中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

河南省南陽市第二實驗高級中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.數(shù)列中，，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：答案：C2.如圖，在等腰直角中，設(shè)為上靠近點的四等分點，過作的垂線，設(shè)為垂線上任一點，則

A.

B.

C.

D.參考答案：A由題意知，，所以，即，所以選A.3.設(shè)集合A，B是兩個集合，①，，；②，，；③，，.則上述對應(yīng)法則中，能構(gòu)成A到B的映射的個數(shù)為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，得到樣本的莖葉圖（如圖所示），則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是

（

）

A．46，45，56

B．46，45，53

C．47，45，56

D．45，47，53參考答案：A5.函數(shù)的值域是（

）A.(0,1)

B.

C.

D.

參考答案：A6.（1）已知曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），C在點處的切線為l，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則l的極坐標(biāo)方程為（

） 參考答案：B

7.已知：是直線，是平面，給出下列四個命題：①若垂直于內(nèi)的兩條直線，則；②若，則平行于內(nèi)的所有直線；③若且則；④若且則；⑤若且則。其中正確命題的個數(shù)是(

)

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3參考答案：B8.如圖所示，醫(yī)用輸液瓶可以視為兩個圓柱的組合體，開始輸液時，滴管為勻速滴下液體（滴管內(nèi)液體忽略不計），設(shè)輸液開始后分鐘，瓶內(nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為厘米，已知當(dāng)時，如果瓶內(nèi)的藥液恰好156分鐘滴完，則函數(shù)的大致圖象為（

）參考答案：A9.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且，，則數(shù)列的前10項的和是（

）A．290 B． C． D．參考答案：C由得，當(dāng)時，，整理得，所以是公差為的等差數(shù)列．又，所以，從而，所以，數(shù)列的前項的和．故選C．10.設(shè)等比數(shù)列的前n項和為Sn，若S10:S5＝1:2，則S15:S5為A．1:2 B．1:3

C．2:3

D．3:4參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知一正四棱柱(底面為正方形的直四棱柱)內(nèi)接于底面半徑為1，高為2的圓錐，當(dāng)正四棱柱體積最大時，該正四棱柱的底面邊長為參考答案：【分析】根據(jù)內(nèi)接關(guān)系作出截面圖，建立正四棱柱和圓錐之間的關(guān)系，從而可求.【詳解】設(shè)正四棱柱的底面邊長為，高為，如圖由題意可得解得，正四棱柱的體積為，，當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)；所以當(dāng)時，正四棱柱體積最大，此時正四棱柱的底面邊長為.【點睛】本題主要考查組合體的內(nèi)接問題，體積最大值的確定要根據(jù)目標(biāo)式的特征來選擇合適的方法，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).12.若圓x2+y2=4與圓x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，則實數(shù)m=．參考答案：±3考點：圓與圓的位置關(guān)系及其判定．專題：直線與圓．分析：先求出圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓相外切，可得圓心距等于半徑之和，求得m的值．解答：解：圓x2+y2=4的圓心為（0，0）、半徑為2；圓x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0，即（x﹣m）2+y2=1，表示圓心為（m，0）、半徑等于1的圓．根據(jù)兩圓相外切，可得圓心距等于半徑之和，即|m|=2+1=3，求得m=±3，故答案為：±3．點評：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩個圓相外切的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13.已知不等式對大于1的自然數(shù)n都成立，則實數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：【考點】8I：數(shù)列與函數(shù)的綜合．【分析】設(shè)Sn=，（n≥2），由已知，只需小于Sn的最小值，利用作差法得出Sn隨n的增大而增大，當(dāng)n=2時Sn取得最小值，再解對數(shù)不等式即可．【解答】設(shè)Sn=，（n≥2）則Sn+1=

Sn+1﹣Sn==＞0，∴Sn隨n的增大而增大．當(dāng)n=2時，Sn取得最小值，S2=∴恒成立．移向化簡整理得loga（a﹣1）＜﹣1．①根據(jù)對數(shù)的真數(shù)為正得：a﹣1＞0，a＞1，①再根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得a﹣1＜，a2﹣a﹣1＜0，②①②聯(lián)立解得故答案為：14.對于函數(shù)，若有六個不同的單調(diào)區(qū)間，則的取值范圍為

.參考答案：（2，3）15.已知點（2,3）在雙曲線C：（a＞0，b＞0）上，C的焦距為4，則它的離心率為_____________.參考答案：2本題考查了雙曲線離心率的求解策略，考查了雙曲線中的基本量難度較小。由條件知半焦距，將點代入雙曲線方程得①，又②，聯(lián)立兩式解得，解得離心率.16.數(shù)列的前項和為，且，則的通項公式_____．參考答案：17.已知數(shù)列{an}對任意的滿足，且，則______.參考答案：－30【分析】令，則，從而可得為等差數(shù)列且公差為，再根據(jù)得到，利用等差數(shù)列的通項公式可求.【詳解】令，則，故，故為等差數(shù)列且公差為，故.因為，故，故.故答案為：－30【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的計算，注意對給定的遞推關(guān)系合理賦值，本題屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè)，提高社會效益和經(jīng)濟(jì)效益，某市計劃用若干年時間更換10000輛燃油型公交車。每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，更換的新車為電力型車和混合動力型車。今年初投入了電力型公交車輛，混合動力型公交車輛，計劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加，混合動力型車每年比上一年多投入輛．設(shè)、分別為第年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量，設(shè)、分別為年里投入的電力型公交車、混合動力型公交車的總數(shù)量。（1）求、，并求年里投入的所有新公交車的總數(shù)；（2）該市計劃用年的時間完成全部更換，求的最小值．參考答案：（13分）（1）設(shè)、分別為第年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量，依題意知，數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列；

1分?jǐn)?shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列，

2分所以數(shù)列的前和，

4分?jǐn)?shù)列的前項和，

6分所以經(jīng)過年，該市更換的公交車總數(shù)；

7分（2）因為、是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，

9分因此是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，

10分所以滿足的最小值應(yīng)該是，

11分即，解得，

12分又，所以的最小值為147．

13分19.在某學(xué)校組織的一次籃球定點投籃訓(xùn)練中,規(guī)定每人最多投次:在處每投進(jìn)一球得分,在處每投進(jìn)一球得分;如果前兩次得分之和超過分即停止投籃,否則投第三次.某同學(xué)在處的命中率為,在處的命中率為,該同學(xué)選擇先在處投一球,以后都在處投,用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分,其分布列為

02345(1)求的值;(2)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望;(3)試比較該同學(xué)選擇都在處投籃得分超過分與選擇上述方式投籃得分超過分的概率的大小.參考答案：（Ⅰ）

（3’）（Ⅱ）

（7’）

（9’）(Ⅲ)設(shè)“同學(xué)選擇A處投，以后再B處投得分超過3分”為事件A設(shè)“同學(xué)選擇都在B處投得分超過3分”為事件B

（11’），該同學(xué)選擇都在B處得分超過3分的概率大于該同學(xué)選擇第一次在A處以后都在B處投得分超過3分的概率。

（12’）20.

已知橢圓）的離心率為,橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，過點P(4，0)且不垂直于x軸直線，與橢圓C相交于A、B兩點．

(I)求橢圓C的方程；

(II)已知O是坐標(biāo)原點，求的取值范圍。

(Ⅲ)若點B關(guān)于x軸的對稱點是點E，證明：直線AE與x軸相交于定點。參考答案：

略21.等比數(shù)列{an}中，．（1）求{an}的通項公式；（2）記Sn為{an}的前n項和．若，求m．參考答案：（1）或.（2）.分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n項和，解方程可得m。詳解：（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，則．由得，此方程沒有正整數(shù)解．若，則．由得，解得．綜上，．點睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，屬于基礎(chǔ)題。22.（13分）正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B（Ⅰ）試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；（Ⅲ）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結(jié)論．參考答案：【考點】直線與平面平行的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【專題】計算題；證明題．【分析】法一（1）要證明線面平行，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條可能與已知直線平行的直線，觀察到平面BEF中三條已知直線中，EF可能與AB平行，故可以以此為切入點進(jìn)行證明．（2）要求二面角的余弦，要先構(gòu)造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出這個平面角的余弦值，進(jìn)而給出二面角的余弦值．（3）線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來．法二，根據(jù)題意，構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系，求出各點的坐標(biāo)，進(jìn)行求出相應(yīng)直線的方向向量和平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解（1）利用直線的方向向量與平面的法向量之間的關(guān)系，判斷線面關(guān)系，（2）通過求兩個平面法向量的夾角求二面角．【解答】解：法一：（I）如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，得EF∥AB，又AB?平面DEF，EF?平面DEF．∴AB∥平面DEF．（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD∴∠ADB是二面角A﹣CD﹣B的平面角∴AD⊥BD∴AD⊥平面BCD取CD的中點M，這時EM∥AD∴EM⊥平面BCD過M作MN⊥DF于點N，連接EN，則EN⊥DF∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角在Rt△EMN中，EM=1，MN=∴tan∠MNE=，cos∠MNE=．

（Ⅲ）在線段BC上存在點P，使AP⊥DE證明如下：在線段BC上取點P．使，過P作PQ⊥CD與點Q，∴PQ⊥平面ACD∵在等邊△ADE中，∠DAQ=30°∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．

法二：（Ⅱ）以點D為坐標(biāo)原點，直線DB、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，平面CDF的法向量為設(shè)平面EDF的法向量為則即所以二面角E﹣DF﹣C的余弦值為

（Ⅲ）在平面坐標(biāo)系xDy中，直線BC的方程為設(shè)∴所以在線段BC上存在點P，使AP⊥DE另解：設(shè)又∵[來源:Zxxk.Com]把代入上式得，∴所以在線段BC上存在點P使AP⊥DE【點評】判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥