高考中的洛必達法則問題專題匯編

---高考中的洛必達法則問題專題匯編2010年和2011年高考中的全國新課標卷中的第21題中的第。2步，由不等式恒成立來求參數(shù)的取值范圍問題，分析難度大，但用洛必達法則來處理卻可達到事半功倍的效果。一.洛必達法則法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件:(1)]imf(x)=0及l(fā)img(x)=0；xT“(2)在點a的去心鄰域內,f(x)與g(x)可導且g'(x)H0；(3)「廣(x)一,hm7^3=那么lim蟲=lim卑=l。xTag(x丿xTag，(x丿法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)limf(丄0及l(fā)img(x)=0；w(2)3A0，f(X)和g(x)在(_g,a)與(a,+g)上可導，且g'(x)H0；?(3)「廣(x)_/，xTgg九丿那么lim蟲=lim爲=/。xTgg(x丿xTgg'(x丿法則3若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)limf(x)=g及l(fā)img(x)=g；XT“(2)在點a的去心鄰域內,f(x)與g(x)可導且g'(x)H0；⑶「廣(x)l,lim=l7xTag\x丿那么limf(x)=lim羋)=l。xTag(x丿xTag\x丿利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：

Q將上面公式中的x—a,Q將上面公式中的x—a,X—8換成X—+8,X—_8,xta-洛必達法則也成立。Q洛必達法則可處理0，-，o“，I"，心，Oo，一型。0"①在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足0,-,0,1",0""0，Oo，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限。Q若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。二?高考題處理1.(2010年全國新課標理)設函數(shù)f(%)=ex-1-x-ax2。若a二0，求念)的單調區(qū)間；若當原解：(1)a=0時，f(x)二ex、：l—x，f'(x)二ex-1.、當xe(-",0)時，f'(x)<0；當xe(0,+")時'f'(x)>0.故f(x)在(-",0)單調減少，在?+")單調增加(11)f'(x)二ex-1-2ax由(I)知ex>1+x，當且僅當x=0時等號成立?故f'(x)>x一2ax=(1-2a)x，從而當1-2a>0，即a<￡時，f'(x)>0(x>0)，而f(0)=0,于是當x>0時，f(x)>0.由ex>1+x(x豐0)可得e-x>1-x(x豐0)?從而當a>*時，f'(x)<ex—1+2a(e-x—1)=e一x(ex—1)(ex—2a)，故當xe(0,ln2a)時，f'(x)<0，而f00=，于是當xe(0,ln2a)時，f(x)<0.綜合得a的取值范圍為卜"；j下：另解：(下：另解：(II)當x=0時,f(x)=0，對任意實數(shù)a，均在f(x)>0時，f(x)時，f(x)>0等價于a<ex—x一1令g(x)=ex—x—i(x>0)，則X2xex-2ex+x+2X3h(x)二xex-2ex+x+(x2)，則ch(x)二xex-ex+1，h(X)=xex>o，知h(x)在(o,Q上為增函數(shù)，沁)>h'(o)=o；知h(x)在(o,+J上為增函數(shù)，h(x)>h(o)=0；???g，(xex-2ex+x+2X3TOC\o"1-5"\h\z由洛必達法則知，limex-x—1=limf=lim了=1，故a<1x22x222x—0+x—0+x—0+綜上，知a的取值范圍為卜口土。2?(2011年全國新課標理)已知函數(shù)，曲線y二f(x)在點(1f⑴)處的切線方程為x+2y-3二0?！蟆?、b的值；如果當x>0，且x豐1時，f(x)>啞+k，求k的取值范圍。x一1xzx+1[、原解：(I)一lnx)一b(x+1)2x2由于直線x+2y-3二由于直線x+2y-3二0b=1,<a11—-b=一一,1，所以f(x)-(lnxx—1x(2lnx+(k—1)(1，所以f(x)-(lnxx—1x(2lnx+(k—1)(x2—1))ox考慮函數(shù)h(x)=2lnx+(k-1)(x2一D(x>0)，則h'(x)=(k-1)(x2+1)+2xoxx2(i)設k<0，由h'(x)=k(x2+1-(x-1)2知，當x豐1時，h'(x)<0，h(x)x2遞減。而h(1)=0故當xe(0,1)時，h(x)>0，可得h(x)>0；1—x2當xe(1，+丿時，h(x)<0，可得1h(x)>01-x2從而當x>0，且xh1時，f(x)-(lnx+k)>0,即f(x)>lnx+k.x-1xx-1x(ii)設0<k<1?由于(k—1)(x2+1)+2x=(k—1)x2+2x+k—1的圖像開口向下，且A=4—4(k—1)2>0，對稱軸％=丄>1當xe(1，丄)時,1—k.1—k(k-1)(x2+1)+2x>0,故h'(x)>0,而h(1)=0，故當xe(1，丄)時，h(x)>0,可得1h(x)<0,與題設矛盾。1-k、1-X2(iii)設k」.此時x2+1>2x，(k-1)(x2+1)+2x>onh'(x)>°，而h(1)=0,故當xG(1,+J時，h(x)>0,可得1h1-x2(x)<0,與題設矛盾?！?\、綜合得，k的取值范圍為(-g,0]z'原解在處理第(n)時非常難想到，現(xiàn)利用洛必達法則處理如下：另解：(II)由題設可得，當x>0x豐]時，k<2xInx+1恒成立。'1-x2令g(x)=土+1(x>0,x豐1),則g，(x)二2C訃x；x2+1，1-x2再令h(x)=(x2+1)lnx-x2+1(x>0,x豐1)，則h'()=2xn+x-，xxh〃(x)二2lnx+1-丄，易知h〃(x)二2lnx+1-丄在(0,+g)上為增函數(shù)，且x2x2h〃(1)=0；故當xe(0,1)時，h〃(x)<0，當xg(1，+g)時，h〃(x)>0；???h(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+g)上為增函數(shù)；故h(x)>h'(1)=0...h(x)在(0,+g)上為增函數(shù)■/h(1)=°?當xe(0,1)時，h(x)<0，當xe(1，+g)時，h(x)>0.當xe(0,1)時，g，(x)<0，當xe(1，+g)時，g，(x)>0???g(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+g)上為增函數(shù)，-由洛必達法則知limg(x)=2limxlnx+1=2lim1+lnx+1=21一x2-2x???k.0，即k的取值范圍為rg，0]i規(guī)律總結：對恒成立問題中的求參數(shù)取值范圍，參數(shù)與變量分離較易理解，但有些題中的求分離出來的函數(shù)式的最值有點麻煩，利用洛必達法則可以較好的處理它的最值，是一種值得借鑒的方法。從高考題看含參不等式恒成立問題的解題策略

已知不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍問題是中學數(shù)學的重要內容之一，是函數(shù)、方程、不等式交匯處一個較為活躍的知識點。這類問題以含參不等式“恒成立”為載體，鑲嵌函數(shù)、方程、不等式等內容，綜合性強，思想方法深刻，能力要求較高，因而成為近幾年高考試題中的熱點。為了對含參不等式恒成立問題的解題方法有較全面的認識，本文以2010年高考試題的解法為例，對此類問題的解題策略作歸納和提煉，供大家一分離參數(shù)，轉化為求函數(shù)的最值對于變量和參數(shù)可分離的不等式，可將參數(shù)分離出來，先求出含變量一邊的式子的最值，再由此推出參數(shù)的取值范圍。例1(2010年全國卷1理)已知函數(shù)f(x)=(x+Dinx-x+1若xf'(x)Vx2+ax+1，求a的取值范圍x+11由f'(x)=-+inx一x+11由f'(x)=-+inx一1=inx+(x>0)/.xf'(x)=xinx+1，xx得a>in；一x，令ggxx-，于是，問題化為求函數(shù)g(x)g'(x)=—-1，當0<x<1時,g'(x)>0；當g(x)最大值，g(x)=g⑴=-1a>-1略。maX含參不等式分離參數(shù)后的形式因題、因分法而異，(1)解析：(I)…x+10<x<1時,x>1時，g'(x0<x<1時,x>1時，g'(x)<0。當x-1時，(II)評析：f(x)<f(x)<g(a)恒成立of(x)<g(a)；恒成立(4)f(x)<g(a)恒成立of(x)量g(a)；(2)f(x)>g(a)恒成立of(x)>g(a)(4)inof(x)>g(a)°二分離參