專題14閱讀理解與探索-中考數(shù)學解答題專項訓練

專題14-閱讀理解與探索（解析版）1．（2022·山西運城·一模）閱讀理解題定義：如果一條直線把三角形的面積分為相等的兩部分，那么我們稱這條直線是三角形的一條等分線，我們知道三角形的一條中線把三角形的面積分成相等的兩部分，那么三角形的一條中線所在的直線就是該三角形的一條等分線．如圖1，點D是BC的中點，那么直線AD就是△ABC的一條等分線．(1)任務(wù)一：如圖1，若∠B＝30°，∠C＝45°，，則△ABD的面積為______．(2)任務(wù)二：如圖2，點A（1，4），點B（4，2），連接OA，AB，OB，直線l經(jīng)過點A，且直線l是△OAB的等分線，請在圖2中畫出直線l（無需尺規(guī)作圖），并求出直線l的表達式．(3)任務(wù)三：如圖3，點A（3，6），AB⊥x軸于點B，連接OA，點P（1，m）是OA上一點，點Q是AB上一點，若直線PQ是△AOB的等分線，則點Q的坐標為______．【答案】(1)；(2)見解析，；(3)（3，）【解析】【分析】（1）過點A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AE、EC、BE，進而可求出BD，然后根據(jù)三角形面積公式計算；（2）根據(jù)等分線的定義和三角形中線的性質(zhì)可知直線l過OB的中點，據(jù)此作圖；然后求出OB的中點坐標，再利用待定系數(shù)法求直線l的表達式；（3）首先求出點P坐標，然后根據(jù)等分線的定義可得S△APQ＝S△AOB，列方程求出點Q的縱坐標即可解決問題．(1)解：如圖，過點A作AE⊥BC于E，∵∠C＝45°，，∴AE＝EC＝，∵∠B＝30°，∴BE＝，∴BC＝BE＋EC＝，∴，∴S△ABD＝，故答案為：；(2)解：如圖，OB的中點為E，過點A，E的直線即為所求作的直線l，∵B（4，2），點E為OB的中點，∴E（2，1），設(shè)直線l的表達式為：，將點A（1，4），E（2，1）代入得：，解得：，∴直線l的表達式為：；(3)解：設(shè)直線OA的解析式為：，代入A（3，6）得：，解得：，∴直線OA的解析式為：，當x＝1時，，即P（1，2），設(shè)點Q的坐標為（3，n），由S△APQ＝S△AOB，得：，解得：，∴點Q的坐標為（3，），故答案為：（3，）．【點睛】本題考查了新定義，三角形中線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等，正確理解等分線的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣西·南寧市三美學校二模）【閱讀材料】關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：①；②；③．利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如．【學以致用】根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當?shù)墓浇鉀Q下面的實際問題：(1)求的值；(2)如圖，一架直升機在一建筑物上方的點處測得建筑物頂端點的俯角為，底端點的俯角為，此時直升機與建筑物的水平距離為，求建筑物的高；(3)疫情封控期間，直升機給該建筑物的居民投放物資，試求飛機從點處往正東方向飛多遠，居民在點處看飛機的仰角恰好是．【答案】(1)；(2)84米；(3)飛機再飛168米可使點看飛機的仰角為【解析】【分析】（1）根據(jù)，可求的值；（2）根據(jù)求得AB，再根據(jù)ED=求得A、E兩點垂直距離ED，最后CD的長即可求得；（3）延長交于點，作交于點，并使，根據(jù)可求EF的值，即可求解．(1)解：；(2)解：如圖，延長交于點，∵，米，∴米，∵，米∴、垂直距離為ED=米，∴米．答：建筑物的高為84米．(3)解：延長交于點，作交于點，并使，∴米，由（2）得、垂直距離米，∵，，∴，∴米，∴米．答：飛機再飛168米可使點看飛機的仰角為．【點睛】本題主要考查了特殊的銳角三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵是將不特殊三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊三角函數(shù)并結(jié)合圖像解直角三角形．3．（2022·山東濟寧·一模）閱讀資料：如圖1，在平面之間坐標系中，，兩點的坐標分別為，，由勾股定理得，所以，兩點間的距離為．我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點的集合，如圖2，在平面直角坐標系中，為圓上任意一點，則到原點的距離的平方為，當?shù)陌霃綖闀r，的方程可寫為：．問題拓展：如果圓心坐標為，半徑為，那么的方程可以寫為．綜合應(yīng)用：如圖3，與軸相切于原點，點坐標為，是上一點，連接，使，作，垂足為，延長交軸于點，連接．(1)求證是的切線；(2)是否存在到四點，，，距離都相等的點？若存在，求點坐標，并寫出以為圓心，以為半徑的的方程；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在；點的坐標為；【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)確定，根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)確定，根據(jù)切線的性質(zhì)定理確定∠POB=90°，進而確定∠PAB=90°，再根據(jù)切線的判定定理即可證明．（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半可確定當點Q在線段BP的中點時，點Q到四點，，，距離都相等．連接QO，QA，過點Q作QH⊥OB于H．根據(jù)角的和差關(guān)系確定∠OBP=∠POA，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求得OB的長度，根據(jù)線段的和差關(guān)系，相似三角形的判定定理和性質(zhì)求得OH和HQ的長度，進而可求得點Q的坐標，根據(jù)勾股定理求出OQ的長度，再根據(jù)題干中圓的方程知識寫出的方程即可．(1)解：∵PO和PA都是的半徑，．∴△POA是等腰三角形．∵，．∵BP是△POB和△PAB的公共邊，．．與軸相切于原點，．．是的切線．(2)解：存在，當點Q在線段BP的中點時，點Q到四點，，，距離都相等．如下圖所示，連接QO，QA，過點Q作QH⊥OB于H．∵是線段的中點，，．∴當點Q在線段BP的中點時，點Q到四點，，，距離都相等．，，∴∠DPO+∠OBP=90°，∠POA+∠DPO=90°．∴∠OBP=∠POA．∵，．點坐標為，．∴．∵點Q是線段BP的中點，∴．∵∠POB=90°，，．．．，．．∴點的坐標為．．∴以為圓心，以為半徑的的方程為．【點睛】本題考查切線的判定定理和性質(zhì)定理，全等三角形的判定定理和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，解直角三角形，綜合應(yīng)用這些知識點是解題關(guān)鍵．4．（2022·湖北黃石·一模）閱讀材料：材料1：若一元二次方程的兩個根為，則，．材料2：已知實數(shù)，滿足，，且，求的值．解：由題知，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)材料1得，，所以根據(jù)上述材料解決以下問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則___________，____________．(2)類比探究：已知實數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實數(shù)、分別滿足，，且．求的值．【答案】(1)；；(2)；(3)3【解析】【分析】（1）直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得答案；（2）由題意得出、可看作方程，據(jù)此知，，將其代入計算可得；（3）把變形為，據(jù)此可得實數(shù)和可看作方程的兩根，繼而知，，進一步代入計算可得．(1)，；故答案為；；(2)，，且，、可看作方程，，，；(3)把變形為，實數(shù)和可看作方程的兩根，，，．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值、根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立合適的方程及分式的混合運算順序和運算法則．5．（2022·山西運城·一模）下面是小明作業(yè)中一個題目的解答過程，請你仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．如圖，在中，點E是BC上一點，，連接BD，AE，AE與BD交于點F，已知的面積為24，求△BEF的面積．解：作AG⊥BC于點G．∵，∴．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，．∴∠FBE＝∠ADF，∠FEB＝∠FAD，∴．………………依據(jù)∴．∴．∴．……×∴．任務(wù)一：填空：①上面解答過程中，證明三角形相似的依據(jù)是______．②小明的作業(yè)經(jīng)過老師批改在后畫了錯號，這一步錯誤的原因是______．任務(wù)二：請你經(jīng)過正確計算直接寫出△BEF的面積為______．【答案】)①兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；②；③1【解析】【分析】①由題意知，證明三角形相似的依據(jù)是兩組角對應(yīng)相等的三角形相似；進而可得答案；②由①可知，由與的底邊，上的高相等，可得，進而可得答案；③由題意知，，根據(jù)，，，計算求解即可．解：①由題意知，證明三角形相似的依據(jù)是兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；故答案為：兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．②由①可知∵與底邊，上的高相等，∴故答案為：．③解：由題意知，∴，∵∴解得故答案為：1．【點睛】本題考查了平方，負整數(shù)指數(shù)冪，絕對值，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．6．（2022·江蘇·靖江市實驗學校一模）閱讀理解：如果一個角與一條折線相交形成一個封閉圖形，那么這條折線在封閉圖形上的部分就稱為這個角的“組合邊”．例如：圖1中∠QPK的“組合邊”有3條，分別是線段MN、NG和GH．解決問題：在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，點M在線段AD上且AM=1．射線MP在直線AD的下方，將PM繞著點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到射線MQ，∠PMQ的兩邊MP和MQ分別交矩形的邊于點E和點F（如圖2）．設(shè)∠AMP為β，0≤β≤90°．(1)若β=30°，求∠PMQ“組合邊”的所有邊長之和；(2)當射線MP經(jīng)過點B時，請判斷點F落在矩形ABCD的哪條邊上，并說明理由；(3)若E在AB邊上，且∠PMQ“組合邊”的所有邊長之和為，求tanβ的值．【答案】(1)；(2)F點落在邊CD上；或2；【解析】【分析】（1）作MG⊥BF于點G，解Rt△AME和Rt△MGF求出AE，GF的長即可解答；（2）假設(shè)F點在BC上，則解Rt△MGF求出GF的長，如果GF＞GC則F點在CD上；（3）設(shè)AE=x，當F點在CD上時，作MG⊥BF于點G，MF、BC延長線交于點H，則解Rt△FCH可求CF的長；結(jié)合（1）（2）列方程求解即可；(1)解：如圖，作MG⊥BF于點G，ABCD是矩形，則AE=AMtan∠AMP=1×tan30°=，∴BE=2-，∠PMF=90°，則∠GMF=∠AMP=30°，MG=AB=2，GF=MGtan∠GMF=2×tan30°=，BG=AM=1，∴組合邊的長度=BE+BG+GF=2-+1+=；(2)解：當MP經(jīng)過B點時，設(shè)F點在BC上，則tan∠AMP==2，∴GF=MGtan∠AMP=4，∵GC=4-1=3，GF＞GC，∴F點落在邊CD上；(3)解：設(shè)AE=x，①當F點在BC上時，tan∠AMP=x，則2-x+1+2x，解得：x，此時GC=2×2.5=3，F(xiàn)點跟C點重合，tanβ；②當F點在CD上時，如圖作MG⊥BF于點G，MF、BC延長線交于點H，GH=MGtan∠GMH=2x，則CH=GH-GC=2x-3，MG∥CD，則∠CFH=∠GMH=∠AME，F(xiàn)C==，∴BE+BC+CF，2-x+4+，經(jīng)檢驗解得：x或x=2，x=2時，點E和點B重合，符合題意，tanβ=2；綜上所述tanβ的值為：或2；【點睛】本題主要考查了利用正切解直角三角形，矩形的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．7．（2022·廣東·汕頭市龍湖實驗中學八年級期中）閱讀：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與；這樣，化簡一個分母含有二次根式的式子時，采用分子，分母同乘以分母的有理化因式．如：；；(1)請你寫出的有理化因式：．(2)已知：，求的值．(3)化簡：.【答案】(1)（答案不唯一）；(2)14；(3)【解析】【分析】（1）利用平方差公式進行求解即可；（2）先求出，從而得到，，然后利用完全平方公式的變形求解即可；（3）先求出，據(jù)此求解即可．(1)解：∵，∴是的有理化因式，故答案為：（答案不唯一）；(2)解：∵，∴，，∴；(3)解：∵∴．【點睛】本題主要考查了分母有理化，完全平方公式的變形求值，熟知分母有理化的計算法則是解題的關(guān)鍵．8．（2022·貴州遵義·七年級期末）類比推理是一種重要的推理方法，根據(jù)兩種事物在某些特征上相似，得出它們在其他特征上也可能相似的結(jié)論．閱讀感知：在異分母的分數(shù)的加減法中，往往先化作同分母，然后分子相加減，例如：，我們將上述計算過程倒過來，得到，這一恒等變形過程在數(shù)學中叫做裂項．類似地，對于可以用裂項的方法變形為：．類比上述方法，解決以下問題．(1)【類比探究】猜想并寫出：______；(2)【理解運用】類比裂項的方法，計算：；(3)【遷移應(yīng)用】探究并計算：【答案】(1)；(2)；(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)題中材料即可得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中的裂項方法，把每一個分數(shù)進行裂項，由有理數(shù)的加減法則即可完成計算；（3）先變形，再由閱讀感知把每個分數(shù)進行裂項，最后進行加減乘運算即可．(1)由題意知：故答案為：(2)由（1）易得(3)由閱讀感知易得；【點睛】本題是材料閱讀題，考查了有理數(shù)的四則混合運算，關(guān)鍵是讀懂題中的材料，根據(jù)材料提供的方法靈活應(yīng)用．9．（2022·江蘇·如皋市外國語學校一模）閱讀材料：曲線切線和法線的定義：如圖1，P和Q是曲線C上鄰近的兩點，當Q點沿著曲線C無限地接近P點（P和Q重合）時，割線PQ的極限位置PT叫做曲線C在點P的切線，P點叫做切點；經(jīng)過切點P并且垂直于切線PT的直線PN叫做曲線C在點P的法線．問題解決：(1)如圖2，⊙O在點P（2，1）的法線解析式是．(2)如圖3，經(jīng)過點A（0，－2）拋物線的切線解析式是．(3)如圖4，雙曲線過點P的切線與x軸、y軸分別交于點A、點B；在點P的法線交y軸于點M．求證：MA=MB【答案】(1)；(2)；(3)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)法線的定義，用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)切線解析式，代入點，聯(lián)立直線和拋物線，令判別式，即可求出的值，從而確定切線解析式；（3）直線的解析式：，聯(lián)立直線與雙曲線，令判別式，求出點坐標，再根據(jù)，點坐標，易證是的中點，即可證明是的中垂線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得證．(1)解：設(shè)在點的法線解析式：，代入點，得，解得，在點的法線解析式：．故答案為：；(2)解：設(shè)經(jīng)過點的拋物線切線解析式為：，代入，得，聯(lián)立，得，△，（舍或，經(jīng)過點的拋物線的切線解析式為：．故答案為：．(3)證明：設(shè)直線的解析式：，聯(lián)立，得，直線與雙曲線相切，△，，此時，，，，當時，，，當時，，，，的中點坐標為，，為的中點，，為的垂直平分線，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)，反比例函數(shù)，圓與切線和法線的綜合，解題的關(guān)鍵是理解法線和切線的定義．10．（2022·河南焦作·一模）下面是某數(shù)學興趣小組探究用不同方法作一條線段的垂直平分線的討論片段，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．小晃：如圖1，（1）分別以A，B為圓心，大于為半徑作孤，兩弧交于點P；（2）分別作的平分線，交點為E；（3）作直線．直線即為線段的垂直平分線．簡述作圖理由：由作圖可知，，所以點P在線段的垂直平分線上，，因為分別是的平分線，所以，所以，所以點E在線段的垂直平分線上，所以是線段的垂直平分線．小航：我認為小晃的作圖方法很有創(chuàng)意，但是可以改進如下，如圖2，（1）分別以A，B為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點P；（2）分別在線段上截??；（3）連接，交點為E；（4）作直線．直線即為線段的垂直平分線．……任務(wù)：(1)小晃得出點P在線段的垂直平分線上的依據(jù)是__________；(2)小航作圖得到的直線是線段的垂直平分線嗎？請判斷并說明理由；(3)如圖3，已知，點C，D分別為射線上的動點，且，連接，交點為E，當時，請直接寫出線段的長．【答案】(1)到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上(2)是線段的垂直平分線，理由見解析；(3)2或【解析】【分析】（1）由線段垂直平分線的判定定理即可得到結(jié)論．（2）證明APDBPC（SAS），得出∠PAD=∠PBC，證出AE=BE，則可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，①點E在AB上方，②點E在AB下方，由三角函數(shù)解直角三角形可得出結(jié)論．(1)解：到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；(2)證明：由作圖可知：PA=PB，PC=PD在APD和BPC中∴APDBPC（SAS）∴∠PAD=∠PBC

∵PA=PB∴點P在線段AB的垂直平分線上∠PAB=∠PBA∴∠PAB?∠PAD=∠PBA?∠PBC即∠DAB=∠CBA∴AE=BE∴點E在線段AB的垂直平分線上∴PE是線段AB的垂直平分線(3)解：如圖3，在過點E作EMAB于點M由（2）可知，EA=EB∵ADBC∴∠EAB=∠EBA=45又∵AB=∴AM=AB=如圖3,當點E在AB上方時，在RtEMA中，cos∠EAM=，即AE＝=∵∠P=30，PA=PB∴∠PAB=∠PBA==75∴∠CAE=∠PAB?∠EAB=75?45=30∴在RtCEA中，cos∠CAE=，即如圖4，當點E在AB下方時，同理可得AE=∵∠P=30，PA=PB∴∠PAB=∠PBA==75∴∠CAE=180?（∠PAB+∠EAB）=180?（75+45）=60∴在RtCEA中，cos∠CAE=，即AC=∴綜上所述，線段AC的長為2或．【點睛】本題考查三角形的綜合題，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)解直角三角形等．理解題意掌握線段垂直平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．11．（2022·浙江紹興·一模）定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形．(1)閱讀與理解：如圖1，四邊形內(nèi)接于⊙O，點A為弧BD的中點．四邊形ABCD（填“是”或“不是”）等補四邊形．(2)探究與運用：①如圖2，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請說明理由；②如圖3，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點F，若CD＝10，AF＝5，求DF的長．(3)思考與延伸：在等補四邊形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BAD＝120°，當對角線AC長度最大時，以AC為斜邊作等腰直角三角形ACP，直接寫出線段DP的長度．【答案】(1)是；(2)①AC平分∠BCD，理由見解析；②DF＝5﹣5；(3)或，【解析】【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形互補可知，∠A＋∠C＝180°，再根據(jù)弧相等證AD＝AB，即可根據(jù)等補四邊形的定義得出結(jié)論；（2）①根據(jù)等補四邊形可得四點共圓，根據(jù)弧相等可得圓周角相等；②連接AC，先證∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再證△ACF∽△DAF，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等可求DF的長；（3）由前面的探究可知當AC是等補四邊形ABCD的外接圓的直徑時AC長度最大，分情況討論：①如圖4，P在D的異側(cè)，②如圖5，P在D的同側(cè)，分別求得直徑即可．(1)解：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∵點A為弧BD的中點，∴，∴AD＝AB，∴四邊形ABCD是等補四邊形，故答案為：是；(2)①AC平分∠BCD，理由：∵四邊形ABCD是等補四邊形，∴A、B、C、D四點共圓，∵AB＝AD，∴，∴∠ACD＝∠ACB，即AC平分∠BCD；②如圖3，連接AC，∵四邊形ABCD是等補四邊形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，又∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，∵AF平分∠EAD，∴∠FAD＝∠EAD，由①知，AC平分∠BCD，∴∠FCA＝∠BCD，∴∠FCA＝∠FAD，又∠AFC＝∠DFA，∴△ACF∽△DAF，∴＝，即＝，∴DF＝．(3)當對角線AC是直徑時，長度最大，以AC為斜邊作等腰直角三角形ACP，分同側(cè)異側(cè)兩種情況：①如圖4，P在D的異側(cè)，將△APD繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△PCQ，∴△PDQ是等腰直角三角形，∴DQ＝DP，∵∠DAB＝180°，∴∠DCB＝60°，由（2）知∠DCA＝30°，∵AD＝3，∴DC＝3，∴DQ＝DC+CQ＝DC+AD＝3+3，∴DP＝＝，②如圖5，P在D的同側(cè)，過P作DP的垂線段交DC于點Q，∵∠PDC＝∠PAC＝45°，∴PD＝PQ，∠DPQ＝90°，又∵∠APC＝90°，∴∠APD＝∠CPQ，在△APD和△CPQ中，，∴△APD≌△CPQ（SAS），∴CQ＝AD，∴DQ＝DC﹣CQ＝DC﹣AD＝＝3﹣3，∴DP＝＝，故答案為：或．【點睛】本題考查了新定義等補四邊形，圓的有關(guān)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是要能夠通過自主學習來進行探究，運用等．12．（2021·廣東梅州·七年級期末）閱讀理解：“若滿足，求的值”．解：設(shè)，則，，那么．解決問題：(1)若滿足，求的值；(2)若滿足，求的值；(3)如圖，正方形ABCD的邊長為，AE=14，CG=30，長方形EFGD的面積是500，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)；(2)；(3)陰影部分的面積為：2256【解析】【分析】（1）設(shè)，，根據(jù)完全平方公式和代數(shù)式的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）設(shè)，，根據(jù)完全平方公式和代數(shù)式的性質(zhì)計算，即可得到答案；（3）根據(jù)題意，推導得；設(shè)-14=a，-30=b，根據(jù)完全平方公式和代數(shù)式的性質(zhì)計算，即可得到答案．(1)設(shè)，∴，

∴，∴＝；(2)設(shè)，，∴，∴，∴，∴=2160，即；(3)∵正方形ABCD的邊長為，AE=14，CG=30，∴DE=-14，DG=-30，

∴設(shè)-14=a，-30=b，

∴a-b=（-14）-（-30）=16，∵長方形EFGD的面積是500∴ab=500，∵四邊形NGDH和MEDQ都是正方形∴，∴陰影部分的面積=，∴陰影部分的面積=，∴陰影部分的面積為：2256．【點睛】本題考查了完全平方公式、代數(shù)式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式的性質(zhì)，從而完成求解．13．（2021·河北·保定市第十七中學一模）【閱讀】數(shù)學中，常對同一個量（圖形的面積、點的個數(shù)、三角形的內(nèi)角和等）用兩種不同的方法計算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”．“算兩次”也稱做富比尼原理，是一種重要的數(shù)學思想．(1)【理解】如圖①，兩個邊長分別為的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一個梯形．用兩種不同的方法計算梯形的面積，并寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；(2)如圖②，n行n列的棋子排成一個正方形，用兩種不同的方法計算棋子的個數(shù)，可得等式：_______；(3)【運用】n邊形有n個頂點，在它的內(nèi)部再畫m個點，以個點為頂點，把n邊形剪成若干個三角形，設(shè)最多可以剪得y個這樣的三角形．當時，如圖③，最多可以剪得7個這樣的三角形，所以．①當時，如圖④，______；當_______時，；②對于一般的情形，在n邊形內(nèi)畫m個點，通過歸納猜想，可得_______（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)直角邊長分別為a、b，斜邊長為c的直角三角形中a2＋b2＝c2；(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n?1；(3)①6；3；②n＋2（m?1）．【解析】【分析】（1）此等腰梯形的面積有三部分組成，利用等腰梯形的面積等于三個直角三角形的面積之和列出方程并整理．（2）由圖可知n行n列的棋子排成一個正方形棋子個數(shù)為n2，每層棋子分別為1，3，5，7，…，2n?1．故可得用兩種不同的方法計算棋子的個數(shù)，即可解答．（3）根據(jù)畫出圖形探究不難發(fā)現(xiàn)，三角形內(nèi)部每增加一個點，分割部分增加2部分，即可得出結(jié)論．(1)解：有三個Rt△其面積分別為ab，ab和c2．直角梯形的面積為（a＋b）（a＋b）．由圖形可知：（a＋b）（a＋b）＝ab＋ab＋c2，整理得（a＋b）2＝2ab＋c2，a2＋b2＋2ab＝2ab＋c2，∴a2＋b2＝c2．故結(jié)論為：直角邊長分別為a、b，斜邊長為c的直角三角形中a2＋b2＝c2；(2)解：n行n列的棋子排成一個正方形棋子個數(shù)為n2，每層棋子分別為1，3，5，7，…，2n?1．由圖形可知：n2＝1＋3＋5＋7＋…＋2n?1．故答案為：1＋3＋5＋7＋…＋2n?1．(3)解：①如圖：當n＝4，m＝2時，y＝6；如圖：當n＝5，m＝3時，y＝9．故答案是：6；3；②算法Ⅰ．y個三角形，共3y條邊，其中n邊形的每邊都只使用一次，其他邊都各使用兩次，所以n邊形內(nèi)部共有

（3y?n）÷2條線段；算法Ⅱ．n邊形內(nèi)部有1個點時，其內(nèi)部共有n條線段，共分成n個三角形，每增加一個點，都必在某個小三角形內(nèi)，從而增加3條線段，所以n邊形內(nèi)部有m個點時，其內(nèi)部共有n＋3（m?1）條線段，由

（3y?n）÷2＝n＋3（m?1），化簡得：y＝n＋2（m?1）．故答案是：n＋2（m?1）．【點睛】本題考查了四邊形綜合題，對于這種圖形的變化規(guī)律的問題，讀懂題目信息，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．14．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)里水雙語實驗學校七年級階段練習）在一次數(shù)學活動課上，張老師準備了若干張如圖1所示的甲、乙、丙三種紙片，其中甲種紙片是邊長為x的正方形，乙種紙片是邊長為y的正方形，丙種紙片是長為y，寬為x的長方形，并用甲種紙片一張，乙種紙片一張，丙種紙片兩張拼成了如圖2所示的一個大正方形．(1)①觀察圖2，用兩種不同方式表示陰影部分的面積可得到一個等式：．②利用①中的等式解決問題：若x+y＝8，x2+y2＝40，則xy的值為．(2)【閱讀理解】若x滿足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值．我們可以作如下解答：設(shè)a＝20﹣x，b＝x﹣30，則（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）=20﹣30=﹣10，所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．【學以致用】若x滿足（4﹣x）（5﹣x）＝8，仿照上述解法求（4﹣x）2+（5﹣x）2的值．(3)【聯(lián)系拓廣】如圖3，將正方形EFGH疊放在正方形ABCD上，重要部分LFKD是一個長方形，AL=8，CK=12．沿著LD、KD所在直線將正方形EFGH分割成四個部分，若四邊形ELDN和四邊形DKGM恰好為正方形，且它們的面積之和為400，求長方形NDMH的面積．【答案】(1)①；②；(2)；(3)【解析】【分析】（1）①通過用整體和部分的和兩種形式表示圖形的面積就得到該題結(jié)果；②由①結(jié)果（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2可得，將x＋y＝8，x2＋y2＝40代入計算即可；（2）設(shè)4?x＝a，5?x＝b，由（a?b）2＝a2?2ab＋b2可得a2＋b2＝（a?b）2＋2ab，將4?x＝a，5?x＝b代入計算即可；（3）設(shè)正方形ABCD的邊長為x，則正方形ELDN和正方形DKGM的邊長為x?8和x?12，再設(shè)x?8＝a，x?12＝b，由（a?b）2＝a2?2ab＋b2可得，將x?8＝a，x?12＝b和a2＋b2＝400代入計算即可．(1)解：①由該正方形面積可表示為（x＋y）2，又可以表示為x2＋2xy＋y2，可得等式（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2，故答案為：（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2；②由（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2可得：，∴當x＋y＝8，x2＋y2＝40時，．故答案為：12．(2)由完全平方公式（a?b）2＝a2?2ab＋b2可得：a2＋b2＝（a?b）2＋2ab，設(shè)4?x＝a，5?x＝b，得（4?x）2＋（5?x）2＝[（4?x）?（5?x）]2＋2（4?x）（5?x）＝（?1）2＋2×8＝17．故答案為：17．(3)設(shè)正方形ABCD的邊長為x，則正方形ELDN和正方形DKGM的邊長為x?8和x?12，再設(shè)x?8＝a，x?12＝b，由（a?b）2＝a2?2ab＋b2可得，∴當x?8＝a，x?12＝b，a2＋b2＝400時，，即長方形NDMH的面積為192．【點睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合對完全平方公式的理解與應(yīng)用，關(guān)鍵是能結(jié)合圖形對公式進行變式應(yīng)用．15．（2021·廣東珠海·七年級期中）閱讀理解：如圖1，已知AB//CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：如圖2、過點P作PE//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°，結(jié)合小明的解題思路，解決下列問題：(1)如圖3，如果AB//CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF的度數(shù)為．(2)如圖4，已知AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，那么∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(3)在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合）請你直接寫出∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)360°；(2)∠CPD＝∠α+∠β，理由見解析；(3)∠CPD＝∠β﹣∠α或∠CPD＝∠α﹣∠β．【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；（2）過點P作PF∥AD，故∠ADP=∠DPF．由PF∥AD，AD∥BC，得PF∥BC，故∠FPC=∠PCB．那么，∠CPD=∠DPF+∠CPF=∠α+∠β；（3）當P在A的左側(cè)，如圖5，由AD∥BC，得∠DKC=∠BCP=∠β．又因∠DKC=∠CPD+∠ADP，故∠CPD=∠β-∠α．當P在B的右側(cè)，如圖6，由AD∥BC，得∠ADP=∠DQC=∠α．又因∠DQC=∠CPD+∠BCP，故∠CPD=∠α-∠β．(1)∵AB∥CD∥EF，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∠DCE+∠CEF＝180°，∴∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF＝360°，即∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°，故答案為：360°；(2)∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖4，過點P作PF∥AD，∴∠ADP＝∠DPF，即∠α＝∠DPF，∵PF∥AD，AD∥BC，∴PF∥BC，∴∠FPC＝∠PCB，即∠FPC＝∠β，∴∠CPD＝∠DPF+∠CPF＝∠α+∠β，∴∠CPD＝∠α+∠β；(3)∠CPD＝∠β﹣∠α或∠CPD＝∠α﹣∠β，理由如下：當P在A的左側(cè)，如圖5，CP交AD于點K，∵AD∥BC，∴∠DKC＝∠BCP＝∠β．又∵∠DKC＝∠CPD+∠ADP，∴∠β＝∠CPD+∠α，即∠CPD＝∠β﹣∠α；當P在B的右側(cè)，如圖6，DP交BC于點Q，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DQC＝∠α，又∵∠DQC＝∠CPD+∠BCP，∴∠α＝∠CPD+∠β，∴∠CPD＝∠α﹣∠β，綜上，∠CPD＝∠β﹣∠α或∠CPD＝∠α﹣∠β．【點睛】本題主要平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．16．（2022·湖北襄陽·七年級期末）閱讀理解絕對值是基本而重要的代數(shù)概念，是“距離”這一幾何量的代數(shù)表示，教材給出的定義是：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作．如果對這個定義作進一步研究，我們會發(fā)現(xiàn)：數(shù)軸上表示數(shù)a的點A與表示數(shù)b的點B之間的距離可以記作，即：，比如：在數(shù)軸上，點A對應(yīng)的數(shù)是2，點B對應(yīng)的數(shù)是5，則點A與點B之間的距離．嘗試練習(1)在同一數(shù)軸上，點A對應(yīng)的數(shù)是－2，點B對應(yīng)的數(shù)是5，點P對應(yīng)的數(shù)是x．①______；②若，即，則______；③若取最小值時，即取最小值，求這個最小值．拓展運用(2)在同一數(shù)軸上，點A對應(yīng)的數(shù)是－2，點B對應(yīng)的數(shù)是5，若點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向右移動，同時，點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左移動，點到達點A后立即返回并沿數(shù)軸向右移動（點P到達點B后，P與Q均停止運動）．設(shè)點P、Q移動的時間為t（秒）．①在范圍內(nèi)，t為何值時，點P與點Q相遇?②在范圍內(nèi)，t為何值時，點P與點Q相距1個單位長度?【答案】(1)①；②或；③最小值為(2)①時，點P與點Q相遇；②t時，點P與點Q相距1個單位長度．【解析】【分析】（1）①根據(jù)兩點距離求解即可，②根據(jù)題意解絕對值方程即可，③根據(jù)題意可知，當點在線段上時，最小，即取最小值，此時，進而化簡絕對值即可；（2）①設(shè)點P、Q移動的時間為t（秒），則點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，根據(jù)相遇時，兩點重合列出一元一次方程解方程求解即可；②當時，點到達點A后立即返回并沿數(shù)軸向右移動,點繼續(xù)沿數(shù)軸向右移動，則點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，根據(jù)相距1個單位長度，列一元一次方程解方程求解即可．(1)解：①點A對應(yīng)的數(shù)是－2，點B對應(yīng)的數(shù)是5，故答案為：7②，或解得或，故答案是：-1或-3；③根據(jù)可知，當點在線段上時，最小，即取最小值此時；(2)設(shè)點P、Q移動的時間為t（秒），則點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，①在范圍內(nèi)，點P與點Q相遇，則解得時，點P與點Q相遇②在范圍內(nèi)，當時，點到達點A后立即返回并沿數(shù)軸向右移動,點繼續(xù)沿數(shù)軸向右移動，則點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，或解得或（舍去）t時，點P與點Q相距1個單位長度．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點距離，化簡絕對值，兩點之間線段最短，整式的加減，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．17．（2022·山東·青島大學附屬中學一模）【閱讀理解】排列：從n個元素中選取m（m≤n）個元素，這m個元素稱為一個排列，不同順序視作不同排列，排列數(shù)量記作．組合：從n個元素中選取m（m≤n）個元素，這m個元素稱為一個排列，不同順序視作同一排列，組合數(shù)量記作．例如：（甲、乙），（乙、甲）是兩種不同的排列，確實同一種組合．【問題提出1】在5個點中選取其中3個，有多少種排列？有多少種組合？【問題解決1】將5個點分別編號為“1”“2”“3”“4”“5”．（一）排列：（1）選取第1個點：如圖①，從全部5個點中選取1個，有5種情況；（2）選取第2個點：如圖①，從剩余4個點中選取1個，有4種情況；（3）選取第3個點：如圖①，從剩余3個點中選取1個，有3種情況；綜上所述，從5個點中任選3個點，共有5×4×3=60種排列，即=60．（二）組合：因為每個組合都包含了3個點，所有每3個點共有=3×2×1=6（種）排列．例如：包含“1”“2”“3”這3個點的組合，就有（1，2，3）（1，3，2）（2，1，3）（2，3，1）（3，1，2）（3，2，1）共6種不同排列……像這樣，每個組合都重復了6次（即次），即組合數(shù)=排列數(shù)的，故“在5個點中選取其中3個”對應(yīng)組合數(shù)（種）．(1)填空①=；②=（n≥3）；③=（n≥2）．(2)【問題提出2】在五邊形中，每次取其中的3個頂點連接成三角形，可以構(gòu)造多少個三角形？【問題解決2】解：問題可以抽象成在5個點中取其中3個，有多少種組合．∵（種），∴在5個點中取其中3個，有10種組合．即在五邊形中，每次取其中的3個頂點連接成三角形，可以構(gòu)造10個三角形．【問題延伸】在六邊形中，每次取其中的4個頂點連接成四邊形，可以構(gòu)造多少個四邊形？（請仿照【問題解決2】利用排列、組合的計算方法解決問題）解：【建立模型】在n（n≥3）邊形中，每次取其中的m（m≤n）個頂點連接成m角形，可以構(gòu)造個m邊形．(3)【模型應(yīng)用】在如圖②所示的正方形網(wǎng)格圖中，以格點為頂點的三角形共有個．【答案】(1)①；②；③；(2)[問題延伸]見解析；[建立模型]；(3)76；【解析】【分析】（1）由前面的示例直接進行計算即可；（2）仿照[問題解決2]總結(jié)出公式并進行計算即可；（3）在正方形網(wǎng)格圖中，共9個格點，任取3個格點，則共有84種，其中3個格點在同一直線上的共有8種，減去8即可；(1)①；②（n≥3）；③（n≥2）．故答案為：①；②；③；(2)在六邊形中，每次取其中的4個頂點連接成四邊形，可以構(gòu)造個四邊形；在n（n≥3）邊形中，每次取其中的m（m≤n）個頂點連接成m角形，可以構(gòu)造個m邊形；故答案為：；(3)在如圖②所示的正方形網(wǎng)格圖中，共9個格點，任取3個格點，則共有，其中3個格點在同一直線上的共有8種，則以格點為頂點的三角形共有84-8=76（個）．【點睛】主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．18．（2021·浙江·嘉興一中一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分別過A、B向經(jīng)過點C直線作垂線，垂足分別為D、E，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：△ADC≌△CEB．(1)探究問題：如果AC≠BC，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；△ADC∽△CEB．請你說明理由．(2)學以致用：如圖③，在平面直角坐標系中，直線y＝x與直線CD交于點M（2，1），且兩直線夾角為α，且tanα＝，請你求出直線CD的解析式．(3)拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，點E為BC邊上一個動點，連接AE，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A落在點P處，當點P在矩形ABCD外部時，連接PC，PD．若△DPC為直角三角形時，請你探究并直接寫出BE的長．【答案】(1)見解析；(2)；(3)4或【解析】【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，且∠ADC=∠BEC=90°，可得結(jié)論；（2）過點O作ON⊥OM交直線CD于點N，分別過M、N作ME⊥x軸NF⊥x軸，由（1）的結(jié)論可得：△NFO∽△OEM，可得，可求點N坐標，利用待定系數(shù)法可求解析式；（3）分兩種情況討論，由全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可求解．(1)解：理由如下，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，又∵∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，且∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC∽△CEB；(2)解：如圖，過點O作ON⊥OM交直線CD于點N，分別過M、N作ME⊥x軸，NF⊥x軸，由（1）可得：△NFO∽△OEM，∴，∵點M（2，1），∴OE＝2，ME＝1，∵tanα＝＝，∴，∴NF＝3，OF＝，∴點N（，3），∵設(shè)直線CD表達式：y＝kx+b，∴∴∴直線CD的解析式為：y＝-x+；(3)解：當∠CDP＝90°時，如圖，過點P作PH⊥BC，交BC延長線于點H，∵∠ADC+∠CDP＝180°，∴點A，點D，點P三點共線，∵∠BAP＝∠B＝∠H＝90°，∴四邊形ABHP是矩形，∴AB＝PH＝4，∵將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°，∴∠AEB+∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠H＝90°，AE＝EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴BE＝PH＝4，當∠CPD＝90°時，如圖，過點P作PH⊥BC，交BC延長線于點H，延長HP交AD的延長線于N，則四邊形CDNH是矩形，∴CD＝NH＝4，DN＝CH，設(shè)BE＝x，則EC＝5-x，∵將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°，∴∠AEB+∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠EHP＝90°，AE＝EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴PH＝BE＝x，AB＝EH＝4，∴PN＝4-x，CH＝4-（5-x）＝x-1＝DN，∵∠DPC＝90°，∴∠DPN+∠CPH＝90°，且∠CPH+∠PCH＝90°，∴∠PCH＝∠DPN，且∠N＝∠CHP＝90°，∴△CPH∽△PDN，∴，∴=∴x＝∵點P在矩形ABCD外部，∴x＝，∴BE＝，綜上所述：當BE的長為4或時，△DPC為直角三角形．【點睛】本題是考查了待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．19．（2022·河南鄭州·二模）閱讀下面材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德是古希臘的數(shù)學家、物理學家．在《阿基米德全集》里，他關(guān)于圓的引理的論證如下：命題：設(shè)AB是一個半圓的直徑，并且過點B的切線與過該半圓上的任意一點D的切線交于點T，如果作DE垂直AB于點E，且與AT交于點F，則DF=EF．證明：如圖①，延長AD與BT交于點H，連接OD，OT．∵DT，BT與⊙O相切∴……，①∴BT=DT∵AB是半⊙O的直徑，∠ADB=90°，②在△BDH中，BT=DT，得到∠TDB=∠TBD，可得∠H=∠TDH，∴BT=DT=HT．又∵DE∥BH，∴=，=∴=又∵BT=HT，∴DF=EF．任務(wù)：(1)請將①部分證明補充完整；(2)證明過程中②的證明依據(jù)是；(3)如圖②，△BED是等邊三角形，BE是⊙O的切線，切點是B，D在⊙O上，CD⊥AB，垂足為C，連接AE，交CD于點F，若⊙O的半徑為2，求CE的長．【答案】(1)見解析；(2)直徑所對的圓周角是直角；(3)【解析】【分析】（1）通過DT、BT為切線，易得Rt△ODT≌Rt△OBT，從而可以繼續(xù)證明；（2）直徑所對的圓周角是直角；（3）先根據(jù)∠EBD=60°，得到∠DBA=30°，由外角得到∠DOC=60°，△ODA為等邊三角形，并求出OC、CD，再求出BD、ED，最后再Rt△EBC求出結(jié)果即可．(1)如圖，連接OD，OT，∴∠ODT=∠OBT=90°，在Rt△ODT和Rt△OBT中，，∴Rt△ODT≌Rt△OBT（HL）；(2)直徑所對的圓周角是直角；故答案為：直徑所對的圓周角是直角．(3)如圖，連接OD，CE，∵△BED是等邊三角形，∴∠EBD=60°，∵BE是⊙O的切線，∴∠EBA=90°，∴∠DBA=30°，∴∠DOC=60°，∵OD=OA，∴△ODA為等邊三角形，∵OD=2，CD⊥AB，∴OC=OA=1，DC=，∴BD=2=BE，∵OB=2，∴BC=3，在Rt△EBC中，由勾股定理得：CE=．【點睛】本題考查圓的切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)、利用相切轉(zhuǎn)化直角并通過勾股定理求出線段是解題的關(guān)鍵．20．（2022·山西·模擬預測）閱讀與思考請仔細閱讀材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．利用數(shù)學知識求電阻的阻值數(shù)學和物理的關(guān)系十分密切，數(shù)學是表達物理概念、定律簡明而準確的語言，同時，數(shù)學為物理提供了計量、計算的工具和方法．例如：已知兩個電阻和串聯(lián)后的總電阻為，并聯(lián)后的總電阻為，求這兩個電阻的阻值各是多少．根據(jù)串聯(lián)電路中電阻之間的關(guān)系，得①根據(jù)并聯(lián)電路中電阻之間的關(guān)系，得②把①代入②，得③以上問題也可以通過以下兩種數(shù)學方法求解．方法：設(shè)的阻值為，則的阻值為根據(jù)③可將問題轉(zhuǎn)化為是否有正數(shù)解的問題．方法：設(shè)兩個電阻的阻值分別為和，則根據(jù)③，得根據(jù)③，得所以同時滿足要求的正數(shù)和的值可以看成反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點坐標．任務(wù)：(1)已知兩個電陽和串聯(lián)后的總電阻為，并聯(lián)后的總電阻為，請你借助“方法”，求這兩個電阻的阻值各是多少．(2)是否存在兩個電阻和，使串聯(lián)后的總電阻為，并聯(lián)后的總電阻為？小明借助“方法”解答如下：假設(shè)存在，設(shè)這兩個電阻的阻值分別為和，根據(jù)①，得______．根據(jù)③，得______．在如圖所示的直角坐標系中，小明分別畫出了滿足條件的反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象．觀察圖象可知，______填“存在”或“不存在”滿足條件的兩個電阻．【答案】(1)和；(2)，，不存在．【解析】【分析】根據(jù)題意，得方程解方程即可；根據(jù)題意可得，，求與的值即求一次函數(shù)與反比例函數(shù)有無交點，根據(jù)圖象判斷即可．(1)解：設(shè)，則，根據(jù)題意得，得，將代入，得，解方程得或，這兩個電阻的阻值分別為：和．(2)設(shè)，則，根據(jù)題意得，求解和的過程即為求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，根據(jù)圖象可知，兩函數(shù)沒有交點，不存在滿足條件的兩個電阻．故答案為：，，不存在．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型是解決本題的關(guān)鍵．21．（2022·安徽·安慶市第四中學八年級期中）閱讀理解：【問題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1，利用此圖，可以驗證勾股定理嗎？【探索新知】從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積＝小正方形的面積+4個直角三角形的面積．從而得數(shù)學等式：，化簡證得勾股定理：．(1)【初步運用】如圖1，若b＝2a，則小正方形面積：大正方形面積＝；(2)【初步運用】現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2，若a＝4，b＝6，此時空白部分的面積為；(3)【初步運用】如圖3，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成風車狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為24，OC＝3，求該風車狀圖案的面積．(4)【初步運用】如圖4，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，則S2＝．(5)【遷移運用】如果用三張含60°的全等三角形紙片，能否拼成一個特殊圖形呢？帶著這個疑問，小麗拼出圖5的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗證，發(fā)現(xiàn)含60°的三角形三邊a、b、c之間的關(guān)系，寫出此等量關(guān)系式及其推導過程（知識補充：如圖6，含60°的直角三角形，對邊y：斜邊x＝定值k）．【答案】(1)5：9；(2)28；(3)24；(4)；(5)，見解析【解析】【分析】（1）如圖1，求出小正方形的面積，大正方形的面積即可；（2）根據(jù)空白部分的面積＝小正方形的面積﹣2個直角三角形的面積計算即可；（3）可設(shè)AC＝x，根據(jù)勾股定理列出方程可求x，再根據(jù)直角三角形面積公式計算即可求解；（4）根據(jù)圖形的特征得出四邊形MNKT的面積設(shè)為x，將其余八個全等的三角形面積一個設(shè)為y，從而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可；（5）根據(jù)大正三角形面積＝三個全等三角形面積+小正三角形面積，構(gòu)建關(guān)系式即可．(1)∵，b＝2a，∴c＝a，∴小正方形面積：大正方形面積＝(a)2：(3a)2＝5：9，故答案為：5：9；(2)根據(jù)題意可求，∵空白部分的面積為=小正方形的面積-兩個三角形的面積，∴空白部分的面積為=52-2××4×6＝28．故答案為：28；(3)根據(jù)題意可知AB+AC=24÷4＝6，OB=OC=3．設(shè)AC＝x，則OA＝3+x，AB＝6-x．在中，，即，解得x＝1，∴OA=4，∴該風車狀圖案的面積=；(4)將四邊形MTKN的面積設(shè)為x，將其余八個全等的三角形面積一個設(shè)為y．∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，且S1+S2+S3＝40，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，∴x+4y＝，∴S2＝x+4y＝．故答案為：；(5)結(jié)論：．由題意：大正三角形面積＝三個全等三角形面積+小正三角形面積可得：，∴∴．【點睛】本題考查勾股定理的證明和應(yīng)用，根據(jù)圖形得出面積關(guān)系是解題的關(guān)鍵．22．（2022·山東泰安·八年級期末）（1）閱讀理解利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學問題是一種常用的方法．如圖1，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA＝1，，PC＝2．求∠BPC的度數(shù)．為利用已知條件，不妨把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得，連接．利用這種變換可以求∠BPC的度數(shù)，請寫出推理過程；（2）類比遷移如圖2，點P是等腰Rt△ABC內(nèi)一點，∠ACB＝90°，PA＝2，，PC＝1．求∠APC的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）90°【解析】【分析】（1）把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得，連接(如圖)，得出是直角三角形，則，可得出，即可得出結(jié)論；（2）把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得，連接(如圖)，同理可證是直角三角形，則，得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，是等邊三角形，∴，，，在中，∵，∴是直角三角形，∴，∵，∴，∴；（2）如圖，把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，是等腰直角三角形，∴，，∴，，在中，∵，∴是直角三角形，∴，∴，∴【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2022·福建三明·七年級期中）閱讀學習：數(shù)學中有很多恒等式可以用面積來得到．如圖1，可以求出陰影部分的面積是；如圖2，把圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，它的長是，寬是，比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到恒等式．(1)觀察圖3，請你寫出，，ab之間的一個恒等式：_____；(2)根據(jù)（1）的結(jié)論，若，，求下列各式的值；①xy；②．【答案】(1)；(2)①xy＝2；②【解析】【分析】（1）利用圖3中的面積找出（a+b）2、（a-b）2、ab之間的等量關(guān)系即可；（2）根據(jù)面積的兩種表達方式得到圖4所表示的代數(shù)恒等式．(1)解：由圖3得：大正方形的邊長為（a+b），面積為（a+b）2；大正方形也可以看作：中間一個邊長為（a-b）的小正方形與四個長為a、寬為b的長方形，則面積為（a-b）2+4ab；∴（a+b）2=（a-b）2+4ab，故答案為：（a-b）2+4ab；(2)解：①根據(jù)（1）的結(jié)論，得(x?y)2=(x+y)2?4xy，∵(x+y)2=10，(x?y)2=2，∴2=10－4xy，∴xy=2；②∵(x+y)2=x2+2xy+y2，(x+y)2=10，(x?y)2=2，xy=2，∴10=x2+2×2+y2，∴x2+y2=10?4，∴x2+y2=6．【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，根據(jù)矩形的面積公式分整體與部分兩種思路表示出面積，然后再根據(jù)同一個圖形的面積相等即可解答．24．（2022·山西臨汾·八年級期末）閱讀下列材料：利用完全平方公式，將多項式變形為的形式，然后由就可求出多項式的最小值．例題：求的最小值解：∵不論x取何值，總是非負數(shù)，即．∴∴當時，有最小值，最小值是1.根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)填空：(2)將變形為的形式，并求出的最小值．(3)如圖所示的第一個長方形邊長分別是、，面積為，如圖所示的第二個長方形邊長分別是、，面積為，試比較與的大小，并說明理由．【答案】(1)49，7；(2)-27；(3)，見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)完全平方公式解答；（2）利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負性解答；（3）根據(jù)單項式乘多項式、多項式乘多項式的運算法則分別求出、，利用作差法判斷大小即可．(1)解：，故答案為：49，4；(2)解：，當時，的最小值為；(3)解：，，∵∴∴∴．【點睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確運用完全平方公式、偶次冪的非負性求解．25．（2022·山東·廣饒縣實驗中學一模）(1)閱讀理解：如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點，∠EAF＝45°，則我們常會想到：把△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．易證△AEF≌_______，得出線段BF，DE，EF之間的數(shù)量關(guān)系為____________；(2)類比探究：如圖2，在等邊△ABC中，D，E為BC邊上的點，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求線段DE的長；(3)拓展應(yīng)用如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，點D，E在BC邊上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰長，請直接寫出BD：CE的值．【答案】(1)

；

；(2)；(3)或【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，進而得到，由全等三角形的性質(zhì)可得，即可解答；（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，過點作，交的延長線于點，進而證≌，得到，即可求出和，再根據(jù)勾股定理即可解答；（3）利用的方法，分類討論是等腰的腰長，求出：的值即可．(1)解：把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，可知：，，，，，在和中，≌，，，，故答案為；．(2)如圖，將△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABF，連接DF，過點F作FG⊥BC，交CB的延長線于點G，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠C＝60°，AB=AC，∵∠DAE＝30°，∴∠CAE+∠BAD＝30°，∴∠DAF＝30°，又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF，∴DE=DF，∵∠ABF＝∠ABC＝∠C＝60°，∠FBG＝60°，∵BF=CE=4，∠G＝90°，∴BG＝BF=2，F(xiàn)G＝=，∴DG＝5，∴在Rt△DFG中，DF=，∴線段DF的長為．(3)如圖，將△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)150°，得到△ABG，連接DG，過點D作DH⊥BG，交BG的于點H，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰，∠ADE為頂角，則∠ADE=30°，∵AB=AC，∠BAC=150°，∴∠ABC=∠C=（180°-150°）=15°，∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得△ABG≌△ACE，∴BG=CE，AG=AE，∠ABG=∠C=15°，∴∠DBG=30°，∵將△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)150°，得到△ABG，∴∠EAG=150°，∵∠DAE＝75°，∴∠GAD=75°，∴∠ADE=30°，在△ADE和△ADG中，，∴△ADE≌△ADG，∴∠GDA=∠ADE=30°，∴∠GDE=60°，∵∠GDE=∠GBD+∠BGD，∴∠BGD=60°-30°=30°，∴BD=DG，∴BH=GH=BG=CE，在Rt△BHD中，設(shè)HD=x，∵∠DBG=30°，∴BD=2x，由勾股定理得：BH=，∴BG=2，∴CE=2，∴BD：CE=：3；如圖將△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)150°，得到△ABM，連接DM，過點M作MN⊥BD，交BD于點N，∵∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰長，∠E為頂角，∴∠E=30°，∵AB=AC，∠BAC＝150°，∴∠C=∠ABC=15°，∴∠CAE=15°，∴AE=CE=DE，∴∠BAD=150°-75°-15°=60°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知△ABM≌△ACE，∴∠BAM=∠CAE=15°，∠ABM=∠ACE=15°，AM=AE，BM=CE，∴∠MAD=15°+60°=75°=∠DAE，在△MAD和△EAD中，，∴△MAD≌△EAD，∴DM=DE=CE=BM，∵MN⊥BD，∴BN=DN=BD，∵∠MBD=∠ABM＋∠ABC=15°+15°=30°，∴在Rt△BNM中，設(shè)MN=a，∴BM=2a，∴CE=2a，由勾股定理得：BN=，∴BD=2a，∴BD：CE=2a：2a=：1=．【點睛】本題考查了四邊形的綜合題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．26．（2022·仁壽縣長平初級中學校（四川省仁壽第一中學校南校區(qū)初中部）一模）先閱讀理解下面的例題，再解答問題：例：解一元三次方程∵

即由“幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為零，積就為零”，得x＝0或x＋1＝0或x－1＝0∴

根據(jù)以上解答過程，請你完成下列兩個一元三次方程的解答：(1)解一元三次方程；(2)解一元三次方程．【答案】(1)；(2)，，【解析】【分析】（1）先分組后，再分組分解，然后提公因式，再利用公式法因式分解，再根據(jù)“幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為零，積就為零”轉(zhuǎn)化為一元一次方程，解方程即可；（2）先分組后，再分組分解，然后提公因式，再利用公式法因式分解，再根據(jù)“幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為零，積就為零”轉(zhuǎn)化為一元一次方程，解方程即可．(1)解一元三次方程，因式分解得，，，由“幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為零，積就為零”，得：或或，∴；(2)解一元三次方程，，，，∴，由“幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為零，積就為零”，得：或或，∴，，．【點睛】本題考查高次方程的解法，因式分解化為因式及為0的形式，轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解，掌握因式分解法是解高次方程的專用工具．27．（2022·四川綿陽·一模）閱讀理解：對于任意正實數(shù)a、b，∵≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有當a＝b時，等號成立．結(jié)論：在a+b≥2（a、b均為正實數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥，只有當a＝b時，a+b有最小值．

根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：(1)若m＞0，只有當m＝________時，有最小值________；(2)若m＞0，只有當m＝________時，有最小值________；(3)已知直線L1：y＝，若點C為雙曲線y＝上任意一點，作CD∥y軸交直線L1于點D，求線段CD長的最小值及此時C、D點的坐標．【答案】(1)1，2；(2)2，8；(3)CD最短為5，C（4，﹣2），D（4，3）【解析】【分析】（1）由，當a=b時a＋b有最小值，則當m＝時，即m＝1時，m+有最小值；（2）由，當a=b時a＋b有最小值，即可求出答案；（3）設(shè)C，則：D，即可表示出CD的長，再由若ab為定值P，則，只有當a=b時，a+b有最小值，即可求出答案．(1)解：∵m＞0，∴m+≥2＝2，當且僅當m＝時，即m＝1時，m+有最小值，最小值為2，故答案為：1，2；(2)∵m＞0，∴2m+≥2＝8，當且僅當2m＝時，即m＝2時，2m+有最小值，最小值為8，故答案為：2，8；(3)解：設(shè)C，則：D，∴CD＝，∴CD最短為5，此時，n＝4，∴C（4，﹣2），D（4，3）．【點睛】本題考查反比例函數(shù)綜合，幾何不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖形上的點的性質(zhì)，注意理解幾何不等式以及準確的應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵．28．（2021·四川·成都教育科學研究院附屬學校七年級期中）對數(shù)的定義：一般地，若（a>0，a≠1），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作：．比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化成對數(shù)式，對數(shù)式可以轉(zhuǎn)化成指數(shù)式，根據(jù)對數(shù)的定義可得到對的一個性質(zhì)：（a>0，a≠1，M>0，N>0）．理由如下：設(shè)，則∴由對數(shù)的定義得；而∴，認真閱讀理解上述材料，解決以下問題：(1)填空：①將指數(shù)式轉(zhuǎn)化成對數(shù)式為；②將對數(shù)式轉(zhuǎn)化成指數(shù)式為；③計算：；(2)試說明：；(3)計算：．【答案】(1)①；②；③1；(2)證明見解析；(3)2【解析】【分析】（1）①根據(jù)新定義運算：對數(shù)的含義直接可得答案；②根據(jù)新定義運算：對數(shù)的含義直接可得答案；③根據(jù)新定義：對數(shù)的運算法則直接可得答案；（2）設(shè)，則可得由對數(shù)的定義得，從而可得結(jié)論；（3）分別利用新定義運算法則與從左至右進行運算，從而可得答案.(1)解：①，故答案為：②，故答案為：③故答案為：1(2)設(shè)，則∴由對數(shù)的定義得；而∴(3)【點睛】本題考查的是新定義運算，對數(shù)的理解，理解閱讀部分新定義運算的含義，再利用新定義運算的法則進行證明與計算是解本題的關(guān)鍵.29．（2022·福建泉州·八年級期末）我們知道，在學習了課本閱讀材料：《綜合與實踐一面積與代數(shù)恒等式》后，利用圖形的面積能解釋與得出代數(shù)恒等式，請你解答下列問題：(1)如圖，根據(jù)3個正方形和6個長方形的面積之和等于大正方形的面積.可以得到代數(shù)恒等式：_____；(2)已知，，求的值；(3)若n、t滿足如下條件：，，求t的值．【答案】(1)a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；(2)ab+ac+bc的值為38；(3)t的值為5．【解析】【分析】（1）依據(jù)大正方形的面積=（a+b+c）2，各部分面積之和=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，從而可得答案；（2）依據(jù)（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，進行計算即可；（3）設(shè)n?2019=a，2021?2n=b，n+1=c，原式整理得（a+b+c）2=t2+2t?18+2?2t=t2?16，解方程即可求解．(1)解：最外層正方形的面積為：（a+b+c）2，分部分來看，有三個正方形和六個長方形，其和為：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，總體看的面積和分部分求和的面積相等．即（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；故答案為：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；(2)解：∵a+b+c=11，a2+b2+c2=45，∴112=45+2(ab+ac+bc)，∴ab+ac+bc=(121-45)÷2=38，∴ab+ac+bc的值為38；(3)解：設(shè)n?2019=a，2021?2n=b，n+1=c，則原式為：a2+b2+c2=t2+2t?18，ab+ac+bc=1?t，由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，得：（a+b+c）2=t2+2t?18+2?2t=t2?16，∴（n?2019+2021?2n+n+1）2=t2?16，即t2=25，∴t=-5，或t=5，當t=-5時，a2+b2+c2=t2+2t?18=25-10-18=-3<0，不符合題意，舍去，當t=5時，a2+b2+c2=t2+2t?18=25+10-18=17>0，符合題意，∴t的值為5．【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，明確相關(guān)圖形的面積計算公式，數(shù)形結(jié)合，正確列式是解題的關(guān)鍵．30．（2022·江蘇鹽城·七年級期中）【閱讀思考】單元復習課后，小飛遇到了下面一個問題，他進行如下的解答．已知：如圖1，，E為、之間一點，連接，得到．探索、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由．(1)小飛是這樣解答的：、、之間的數(shù)量關(guān)系為，理由如下：過點E作，∴∵，，∴，……請接著他的思路完成解答過程．___________________________________(2)【問題變式】如圖2，若，，則______°；(3)【問題拓展】已知：直線，點A，B在直線m上，點C，D在直線n上，連接，，平分，平分，且，所在的直線交于點E．①如圖3，當點B在點A的左側(cè)時，若，，求的度數(shù)；②如圖4，當點B在點A的右側(cè)時，設(shè)，，直接寫出的度數(shù)為______（用含有，的式子表示）．【答案】(1)見解析；(2)250°；(3)①；②．【解析】【分析】（1）由兩直線平行，內(nèi)錯角相等解答；（2）過點F作，由平行線的傳遞性可知，再由兩直線平行同旁內(nèi)角互補得到，最后結(jié)合（1）中結(jié)論解答即可；（3）①由角平分線的性質(zhì)解得，結(jié)合（1）中結(jié)論解答即可；②過點E作，由平行線的傳遞性可知，結(jié)合兩直線平行同旁內(nèi)角互補，及兩直線平行內(nèi)錯角相等解答，最后由解題即可．(1)解：，理由如下：過點E作，∴∵，，∴，，，；(2)過點F作，由（1）可得，故答案為：250°；(3)①如圖3，平分，平分，，，，；②如圖4，過點E作，，，，，平分，平分，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，是重要考點，掌握輔助線的作法，理解相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．31．（2021·山西陽泉·七年級課時練習）課題學習：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．閱讀理解：如圖1，已知點A是BC外一點，連接AB，AC．求∠BAC＋∠B＋∠C的度數(shù)．(1)閱讀并補充下面推理過程．解：過點A作ED∥BC，所以∠B=，∠C=．又因為∠EAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°．所以∠B＋∠BAC＋∠C＝180°．(2)解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC，∠B，∠C“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．方法運用：如圖2，已知AB∥ED，求∠B＋∠BCD＋∠D的度數(shù)．提示：過點C作CF∥AB．(3)深化拓展：已知AB∥CD，點C在點D的右側(cè)，∠ADC＝70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直線交于點E，點E在AB與CD兩條平行線之間．如圖3，點B在點A的左側(cè)，若∠ABC＝60°，則∠BED的度數(shù)為°．【答案】(1)，；(2)；(3)．【解析】【分析】（1）過點A作ED∥BC，由平行線的性質(zhì)可以得出結(jié)論；（2）如圖2，過點C作，由，可得，從而得出，，進而可得結(jié)果；（3）如圖4，過點E作，由，可得，從而得到，，利用角平分線定義可得，，從而可求出結(jié)論．(1)解：如圖1，過點A作ED∥BC，ED∥BC，，，EAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°，∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，故答案為：，；(2)解：如圖2，過點C作，，，，，，；(3)解：如圖3，過點E作，，，，，，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ADC＝70°，∠ABC＝60°，，，；故答案為：65．【點睛】本題主要考查了角平分線定義及平行線的性質(zhì)，作出平行線構(gòu)造角相等是解本題的關(guān)鍵．32．（2022·青?！の鲗幨薪逃茖W研究院八年級期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖，延長AD到點E，使DE＝AD，連結(jié)BE．請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到的理由是（

）．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)AD的取值范圍是（

）．A．

B．

C．

D．(3)【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．【問題解決】如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．【答案】(1