新教材人教b版必修第一冊(cè)3.1.2第1課時(shí)函數(shù)單調(diào)性的定義與證明函數(shù)的最值課件

第三章函數(shù)的單調(diào)性第1課時(shí)函數(shù)單調(diào)性的定義與證明、函數(shù)的最值學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.理解函數(shù)的單調(diào)性的定義，能運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的

單調(diào)性.2.會(huì)用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷(或證明)一些函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求一些

具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，能借助函數(shù)的圖像和單調(diào)性，

求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的最值.內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE增函數(shù)減函數(shù)條件一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，且I?D：如果對(duì)任意x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時(shí)都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)結(jié)論y＝f(x)在I上是增函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞增)y＝f(x)在I上是減函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞減)知識(shí)點(diǎn)一增函數(shù)與減函數(shù)的定義圖像思考

在增函數(shù)和減函數(shù)定義中，能否把“任意x1，x2∈I”改為“存在x1，x2∈I”？答案

不能.如果函數(shù)y＝f(x)在I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在I上具有

(當(dāng)I為區(qū)間時(shí)，稱I為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，也可分別稱為單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間).單調(diào)性知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間思考

所有的函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性嗎？答案

不是.

最大值最小值條件一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，且x0∈D：如果對(duì)任意x∈D都有f(x)

f(x0)都有f(x)

f(x0)結(jié)論稱f(x)的最大值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最大值點(diǎn)稱f(x)的最小值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最小值點(diǎn)≤≥知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)的最值統(tǒng)稱最大值和最小值統(tǒng)稱為_(kāi)____最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)統(tǒng)稱為_(kāi)______最值最值點(diǎn)1.若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,3]上是減函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[1,3].(

)2.若函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則f(－3)>f(3).(

)3.若函數(shù)y＝f(x)在定義域上有f(1)<f(2)，則函數(shù)y＝f(x)是增函數(shù).(

)4.若f(x)在(－5,1)上是增函數(shù)，則f(x)在(－5,1)上的最大值為f(1).(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√××2題型探究PARTTWO證明任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，一、函數(shù)單調(diào)性的判定與證明因?yàn)?＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2>4，x1x2－4>0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函數(shù)f(x)＝x＋

在(2，＋∞)上是增函數(shù).延伸探究若本例的函數(shù)不變，試判斷f(x)在(0,2)上的單調(diào)性.證明：任取x1，x2∈(0,2)，且x1＜x2，因?yàn)?＜x1＜x2＜2，所以x1－x2＜0,0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).反思感悟利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的4個(gè)步驟跟蹤訓(xùn)練1求證：函數(shù)f(x)＝

在(0，＋∞)上是減函數(shù)，在(－∞，0)上是增函數(shù).證明

對(duì)于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).對(duì)于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2畫(huà)出函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋3的圖像，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解當(dāng)x≥0時(shí)，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，當(dāng)x<0時(shí)，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，作出函數(shù)的圖像如圖所示，所以函數(shù)在(－∞，－1)和[0,1)上是增函數(shù)，在[－1,0)和[1，＋∞)上是減函數(shù).反思感悟求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法(1)定義法.即先求出定義域，再利用定義法進(jìn)行判斷求解.(2)圖像法.即先畫(huà)出圖像，根據(jù)圖像求單調(diào)區(qū)間.單調(diào)遞增區(qū)間為[2，＋∞).跟蹤訓(xùn)練2

作出函數(shù)f(x)＝

的圖像，并指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.遞減區(qū)間為(－∞，1]和(1,2]，命題角度1利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小三、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，試比較f(a2－a＋1)與

又f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，

的大小.反思感悟利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在解決比較函數(shù)值的問(wèn)題時(shí)，要注意將對(duì)應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上.跟蹤訓(xùn)練3

(1)定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有

<0，則A.f(3)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(3)C.f(2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(2)√則(x2－x1)與[f(x2)－f(x1)]異號(hào)，則f(x)在R上是減函數(shù).又3>2>1，則f(3)<f(2)<f(1).(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則下列關(guān)系式一定成立的是A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)C.f(a2＋a)<f(a) D.f(a2＋1)<f(a2)√解析

當(dāng)a<0時(shí)，a>2a，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，所以f(a)<f(2a)，故A不正確.當(dāng)0<a<1時(shí)，a2<a，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，所以f(a2)>f(a)，故B不正確.當(dāng)a＝0時(shí)，a2＋a＝a＝0，所以f(a2＋a)＝f(a)，故C不正確.因?yàn)閍2＋1>a2，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，所以f(a2＋1)<f(a2).命題角度2利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式例4已知函數(shù)f(x)是定義在[－1,1]上的增函數(shù)，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范圍.解∵函數(shù)f(x)是定義在[－1,1]上的增函數(shù)，解得1≤x≤2，

①又∵f(x－2)<f(1－x)，∴x－2<1－x，即x<. ②反思感悟利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的注意點(diǎn)利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的實(shí)質(zhì)是單調(diào)性的逆用，如果f(x1)<f(x2)，必須注意兩點(diǎn)：①兩邊化為同名函數(shù)的不同函數(shù)值；②自變量必須化到同一單調(diào)區(qū)間上，若轉(zhuǎn)化不了，就進(jìn)行討論.跟蹤訓(xùn)練4

(1)已知函數(shù)y＝f(x)在定義域(－1,1)上是減函數(shù)，且f(1－a)<f(2a－1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____.(2)函數(shù)f(x)是定義在R上的減函數(shù)，其圖像過(guò)點(diǎn)(－3,2)和(1，－2)，則使|f(x)|<2的自變量x的取值范圍是________.(－3,1)解析∵f(x)是定義在R上的減函數(shù)，f(－3)＝2，f(1)＝－2，∴當(dāng)x>－3時(shí)，f(x)<2；當(dāng)x<1時(shí)，f(x)>－2，故當(dāng)－3<x<1時(shí)，|f(x)|<2.命題角度3利用單調(diào)性求最值(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并證明；解

f(x)在[3,5]上是增函數(shù)，證明如下：任取x1，x2∈[3,5]，且x1<x2，因?yàn)?≤x1<x2≤5，所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以f(x)在[3,5]上為增函數(shù).(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.解

由(1)知，f(x)在[3,5]上為增函數(shù)，反思感悟利用函數(shù)單調(diào)性求最值的方法(1)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a).(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，則f(x)的最大值為f(a)，最小值為f(b).(3)若函數(shù)y＝f(x)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再?gòu)母鲄^(qū)間的最值中決定出最大(小)值.函數(shù)的最大(小)值是整個(gè)值域范圍內(nèi)的最大(小)值.跟蹤訓(xùn)練5已知函數(shù)f(x)＝

＋3(x∈[2,4])，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.解

設(shè)x1，x2是[2,4]上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，因?yàn)?≤x1<x2≤4，所以x1－x2<0,1－x1<0,1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在[2,4]上是增函數(shù)，所以f(x)的最大值為f(4)＝1，f(x)的最小值為f(2)＝－3.核心素養(yǎng)之邏輯推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI二次函數(shù)最值分類討論問(wèn)題典例已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函數(shù)f(x)的最小值.解

由題意得，函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x＝1，(1)當(dāng)1≥t＋2，即t≤－1時(shí)，f(x)在[t，t＋2]上為減函數(shù)，∴f(x)的最小值為f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.(2)當(dāng)t≤1<t＋2，即－1<t≤1時(shí)，f(x)的最小值為f(1)＝－4.(3)當(dāng)1<t，即t>1時(shí)，f(x)在[t，t＋2]為增函數(shù)，∴f(x)的最小值為f(t)＝t2－2t－3.素養(yǎng)提升二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值主要有三類：軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)、兩者都動(dòng).與二次函數(shù)的開(kāi)口、對(duì)稱軸有關(guān)，求解時(shí)要注意這兩個(gè)因素.要注意利用二次函數(shù)圖像，通過(guò)直觀想象，進(jìn)行分類討論，提升邏輯推理素養(yǎng).3隨堂演練PARTTHREE1.如圖是函數(shù)y＝f(x)的圖像，則此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的個(gè)數(shù)是12345解析由圖像，可知函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間有2個(gè).√2.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a，b)，且對(duì)其內(nèi)任意實(shí)數(shù)x1，x2，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，則函數(shù)f(x)在(a，b)上是A.增函數(shù)

B.減函數(shù)C.不增不減函數(shù)

D.既增又減函數(shù)12345√即當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)>f(x2)或當(dāng)x1>x2時(shí)，f(x1)<f(x2).不論哪種情況，都說(shuō)明函數(shù)f(x)在(a，b)上為減函數(shù).3.函數(shù)y＝x2－6x的單調(diào)遞減區(qū)間是A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[3，＋∞) D.(－∞，3]12345√解析

y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，3].12345A.有最大值無(wú)最小值B.有最小值無(wú)最大值C.有最大值也有最小值D.無(wú)最大值也無(wú)最小值所以f(x)在[1，＋∞)上有最大值，無(wú)最小值.√123455.函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇－4,6]，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－4，－2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[－2,6]上單調(diào)遞增，且f(－4)<f(6)，則函數(shù)f(x)的最小值是______，最大值是____.解析

作出符合條件的函數(shù)的簡(jiǎn)圖(圖略)，可知最小值為f(－2)，最大值為f(6).f(－2)f(6)課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識(shí)清單：(1)增函數(shù)、減函數(shù)的定義.(2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法.(3)單調(diào)性的應(yīng)用.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間誤用并集.4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.如圖是定義在區(qū)間[－5,5]上的函數(shù)y＝f(x)，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.函數(shù)在區(qū)間[－5，－3]上單調(diào)遞增B.函數(shù)在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞增C.函數(shù)在區(qū)間[－3,1]∪[4,5]上單調(diào)遞減D.函數(shù)在區(qū)間[－5,5]上沒(méi)有單調(diào)性基礎(chǔ)鞏固1345678910111213141516解析單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接.√22.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是A.y＝3－x

B.y＝x2＋1C.y＝

D.y＝－|x＋1|1345678910111213141516解析

y＝x2＋1在(0,2)上是增函數(shù).2√3.函數(shù)f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的單調(diào)遞增區(qū)間分別是A.(－∞，0]，(－∞，1] B.(－∞，0]，(1，＋∞)C.[0，＋∞)，(－∞，1]

D.[0，＋∞)，[1，＋∞)1345678910111213141516解析

分別作出f(x)與g(x)的圖像得，f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞增，選C.2√4.已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，則f(x)的最大值為A.－1 1345678910111213141516解析因?yàn)閒(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸為x＝2.所以f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增.又因?yàn)閒(x)在[0,1]上的最小值為－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x)的最大值為f(1)＝－1＋4－2＝1.2√134567891011121314151625.(多選)如果函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，對(duì)于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，則下列結(jié)論中正確的是A.>0

B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)

D.f(x1)>f(x2)√√解析

由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，若函數(shù)y＝f(x)在給定的區(qū)間上是增函數(shù)，則x1－x2與f(x1)－f(x2)同號(hào)，由此可知，選項(xiàng)A，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，D，因?yàn)閤1，x2的大小關(guān)系無(wú)法判斷，所以f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系也無(wú)法判斷，故C，D不正確.`6.若f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(x－2)<f(3)，則x的取值范圍是__________.13456789101112131415162(5，＋∞)解析函數(shù)的定義域?yàn)镽，由條件可知，x－2>3，解得x>5.134567891011121314151627.若二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋m在(－∞，2]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_________.[2，＋∞)解析

題中二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為x＝a，由二次函數(shù)的圖像，知函數(shù)在(－∞，a]上單調(diào)遞減，∴a≥2.13456789101112131415168.已知函數(shù)f(x)＝

則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________，單解析因?yàn)楫?dāng)x≥1時(shí)，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)是減函數(shù)，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1)，單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞).2(－∞，1)調(diào)遞增區(qū)間是__________.[1，＋∞)1345678910111213141516(1)判斷函數(shù)在區(qū)間(－1，＋∞)上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；2解f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)，證明如下：任取－1<x1<x2，因?yàn)椋?<x1<x2?x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0?f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù).1345678910111213141516(2)求該函數(shù)在區(qū)間[2,4]上的最大值和最小值.2解由(1)知f(x)在[2,4]上單調(diào)遞增，134567891011121314151610.求函數(shù)f(x)＝x＋

(x>0)的單調(diào)區(qū)間，并指出函數(shù)的最小值.213456789101112131415162解

設(shè)x1，x2是(0，＋∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>0.由于x1x2－9的符號(hào)不能確定，因此需要對(duì)x1，x2的取值進(jìn)行討論.當(dāng)x1，x2∈(0,3]時(shí)，有x1x2－9<0，1345678910111213141516∴f(x)在區(qū)間(0,3]上是減函數(shù)；當(dāng)x1，x2∈[3，＋∞)時(shí)，有x1x2－9>0，2∴f(x)在區(qū)間[3，＋∞)上是增函數(shù).故f(x)的最小值為f(3)＝6.11.已知函數(shù)f(x)＝

是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范綜合運(yùn)用13456789101112131415162圍是A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2]√解得0<a≤2.134567891011121314151612.(多選)若函數(shù)y＝ax＋1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2，則實(shí)數(shù)a的值可以是A.2 B.－2√解析

依題意，當(dāng)a>0時(shí)，y＝ax＋1在x＝2處取得最大值，在x＝1處取得最小值，所以2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2.當(dāng)a<0時(shí)，y＝ax＋1在x＝1處取得最大值，在x＝2處取得最小值，所以a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2.2√134567891011121314151613.設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，則不等式f(x)解析令y＝－2，f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即為f(－2x)