新教材人教b版選擇性必修第三冊 5.5數(shù)學(xué)歸納法 作業(yè)

2021-2022學(xué)年新教材人教B版選擇性必修第三冊5.5數(shù)學(xué)歸納法作業(yè)一、選擇題1、已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，若已假設(shè)n＝k(k≥2，且k為偶數(shù))時等式成立，則還需利用歸納假設(shè)再證()A．n＝k＋1時等式成立B．n＝k＋2時等式成立C．n＝2k＋2時等式成立D．n＝2(k＋2)時等式成立2、用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，左邊需要增乘的代數(shù)式為（）A．B．C．D．3、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時，第一步驗(yàn)證時，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()A．1 B． C． D．4、證明不等式≤n＋1(n∈N)，某學(xué)生的證明過程如下：(1)當(dāng)n＝1時，≤1＋1，不等式成立；(2)假設(shè)n＝k(k∈N且k≥1)時，不等式成立，即≤k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時，＝≤＝＝(k＋1)＋1.所以當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立．上述證法()A．過程全都正確B．n＝1時驗(yàn)證不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確5、證明等式時，某學(xué)生的證明過程如下（1）當(dāng)時，，等式成立；（2）假設(shè)時，等式成立，即，則當(dāng)時，，所以當(dāng)時，等式也成立，故原式成立.那么上述證明（）A.過程全都正確B.當(dāng)時驗(yàn)證不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從到的推理不正確6、已知數(shù)列,則一定是A.奇數(shù)B.偶數(shù)C.小數(shù)D.無理數(shù)7、用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在驗(yàn)證n＝1時，左邊所得的項(xiàng)為()A．1B．1＋a＋a2C．1＋aD．1＋a＋a2＋a38、用數(shù)學(xué)歸納法證明，則從到時,左邊所要添加的項(xiàng)是（）．A． B．C． D．9、用數(shù)學(xué)歸納法證明：時，由不等式成立，推證時，左邊增加的代數(shù)式是（）A．B．C．D．10、用數(shù)學(xué)歸納法證明(n∈N且>1)，第二步證明中從“k到k+1”時，左端增加的項(xiàng)數(shù)是（）A.B.C.D.11、數(shù)列{an}滿足an+1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前64項(xiàng)和為（）A.4290B.4160C.2145D.208012、設(shè)是等差數(shù)列，記，設(shè)為的前n項(xiàng)和，且，若取最大值，則（）.A．14 B．15 C．16 D．17二、填空題13、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立，起始值應(yīng)取為__________．14、設(shè)f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________．15、如圖，將自然數(shù)按如下規(guī)則“放置”在平面直角坐標(biāo)系中，使其滿足條件：（1）每個自然數(shù)“放置”在一個“整點(diǎn)”（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）上；（2）0在原點(diǎn)，1在點(diǎn)，2在點(diǎn)，3在點(diǎn)，4在點(diǎn)，5在點(diǎn)，…，即所有自然數(shù)按順時針“纏繞”在以“0”為中心的“樁”上，則放置數(shù)字的整點(diǎn)坐標(biāo)是_________．16、分析下述證明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的過程中的錯誤：證明假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即當(dāng)n＝k＋1時等式也成立．因此對于任何n∈N＋等式都成立．__________________.三、解答題17、（本小題滿分10分）設(shè)數(shù)列滿足：，的前n項(xiàng)和為.（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求；（3）求.18、（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，且(n≥2)．（Ⅰ）計(jì)算，，，的值，猜想的表達(dá)式；（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論．19、（本小題滿分12分）已知集合A是集合Pn＝{1，2，3，…，n}(n≥3，n∈N*)的子集，且A中恰有3個元素，同時這3個元素的和是3的倍數(shù)．記符合上述條件的集合A的個數(shù)為f(n)．（1）求f(3)，f(4)；（2）求f(n)（用含n的式子表示）．參考答案1、答案B解析由于k是偶數(shù)，故k＋2是k后面的第一個偶數(shù)．解析2、答案B解析由時：，則時：增加的代數(shù)式為；考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中第二步歸納遞推中的關(guān)系式.3、答案D解析由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知：當(dāng)時，等式的左邊是，應(yīng)選答案D。4、答案D解析根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，可判斷到的推理中沒有使用歸納假設(shè)，即可得到答案．詳解驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確，但從n＝k到n＝k＋1的推理中沒有使用歸納假設(shè)，而是通過不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求．故應(yīng)選D.點(diǎn)睛本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，其中解答中明確數(shù)學(xué)歸納證明方法：（1）驗(yàn)證時成立；（2）假設(shè)當(dāng)時成立，證得也成立；（3）得到證明的結(jié)論．其中在到的推理中必須使用歸納假設(shè)．著重考查了推理與論證能力．5、答案A詳解：n=1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確，但從n=k到n=k+1的推理中有使用歸納假設(shè)，點(diǎn)晴：據(jù)題設(shè)條件，判斷當(dāng)n=1時，其驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確，并且假設(shè)n=k時不等式成立；數(shù)學(xué)歸納法需利用n=k時的歸納假設(shè)，遞推出當(dāng)n=k+1時的結(jié)果，然而本題中從n=k到n=k+1的推理中沒有使用歸納假設(shè)，.6、答案A解析因?yàn)?所以,則數(shù)列從第3項(xiàng)開始,每一項(xiàng)均為其前兩項(xiàng)的和,因?yàn)榍皟身?xiàng)均為1,是奇數(shù),所以從第三項(xiàng)開始,第3n項(xiàng)均為偶數(shù),第3n+1項(xiàng)均為奇數(shù),第3n+2項(xiàng)均為奇數(shù),所以一定是奇數(shù).點(diǎn)睛：由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)或變化規(guī)律的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.(2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號特征和絕對值特征；⑤化異為同.對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系；⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用處理.7、答案B解析8、答案D詳解：當(dāng)n=k時，等式的左邊為，當(dāng)n=k+1時，等式的左邊為，故從“n=k到n=k+1”，左邊所要添加的項(xiàng)是，故選D.點(diǎn)睛：本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，注意式子的結(jié)構(gòu)特征，以及從n=k到n=k+1項(xiàng)的變化．9、答案C解析根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的概念，求出當(dāng)時，左邊的代數(shù)式，當(dāng)時，左邊的代數(shù)式，相減即可得到結(jié)果．詳解由題意，當(dāng)時，左邊的代數(shù)式，當(dāng)時，左邊的代數(shù)式，當(dāng)時左邊的代數(shù)式減去時左邊的代數(shù)式的結(jié)果為：，故選C．點(diǎn)睛本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納的基本概念及應(yīng)用，解答時要注意式子的結(jié)構(gòu)特征，以及從到時的變化規(guī)律，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題．10、答案C解析當(dāng)n=k時,左端=，那么當(dāng)n=k+1時左端=，∴左端增加的項(xiàng)為,所以項(xiàng)數(shù)為：2k.本題選擇C選項(xiàng).11、答案D詳解：令a1=a，由，可得a2=1+a，a3=2﹣a，a4=7﹣a，a5=a，a6=9+a，a7=2﹣a，a8=15﹣a，a9=a，a10=17+a，a11=2﹣a，a12=24﹣a，可得（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）++（a61+a63）=2+2++2++2=2×16=32；a2+a6+a10++a62=（1+a）+（9+a）++（121+a）=16（1+a）+×16×15×8=976+16a；a4+a8+a12++a64=（7﹣a）+（15﹣a）++（127﹣a）=16（7﹣a）+×16×15×8=1072﹣16a；即有前64項(xiàng)和為32+976+16a+1072﹣16a=2080.故選：D．點(diǎn)睛：數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式；②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項(xiàng)．12、答案C解析由，知，，所以．由，，知，，由此能夠推導(dǎo)出中最大．詳解：由且，所以，所以，，即因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，，，所以，即所以，所以最大．故選：C點(diǎn)睛本題考查數(shù)列前項(xiàng)和的最大值，對一個遞減數(shù)列來講，只要求得的最大的就可能得出結(jié)果（主要還要考慮一下是否有），而本題，會發(fā)現(xiàn)至，，，開始往后均小于0.因此還要比較與的大小，確定是否成立．才能得出正確結(jié)論．13、答案8解析用等比數(shù)列求和公式可得整理得所以n=814、答案－解析f(n＋1)－f(n)＝－＝＋－＝－.15、答案解析按順序填入自然數(shù)，此圖在第二象限的轉(zhuǎn)彎處（角處）所填數(shù)是奇數(shù)的平方，在第四象限的轉(zhuǎn)彎處（角處）所填數(shù)是偶數(shù)的平方，所在坐標(biāo)為．考點(diǎn)：歸納推理．名師點(diǎn)睛歸納推理是通過觀察個別情況，發(fā)現(xiàn)某些相同的本質(zhì)，從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性的命題．其中數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相減的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納．本題觀察發(fā)現(xiàn)在二、四象限轉(zhuǎn)角處的數(shù)字含有一般性的規(guī)律：自然數(shù)的平方．從而完成解題．16、答案缺少步驟歸納奠基，實(shí)際上當(dāng)n＝1時等式不成立解析17、答案（1）證明見解析；（2）；（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，（2）由題意，再利用錯位相減法即可得解；（3）由題意，根據(jù)、分類，利用極限運(yùn)算法則即可得解.詳解：（1）以代，兩式相減得，則，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）知，，，，，；（3）由題意，當(dāng)時，；當(dāng)時，.點(diǎn)睛本題考查了等比數(shù)列的證明及構(gòu)造新數(shù)列解決數(shù)列通項(xiàng)問題，考查了錯位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用及數(shù)列的極限運(yùn)算，屬于中檔題.解析18、答案(Ⅰ)Sn＝－(n∈N＋);(Ⅱ)證明過程見解析；試題解析：(Ⅰ)，，，．由此猜想：．(Ⅱ)證：①當(dāng)n＝1時，左邊，右邊．∵左邊＝右邊，∴原等式成立．②當(dāng)時，假設(shè)成立，由得，∴，∴當(dāng)時，原等式也成立．綜合(1)(2)得對一切，成立．點(diǎn)睛：本題主要考查了由遞推式求數(shù)列中特定的項(xiàng)以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于自然數(shù)的等式問題，難度一般；用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項(xiàng)：①明確初始值并驗(yàn)證真假．（必不可少）②“假設(shè)時命題正確”并寫出命題形式．③分析“時”命題是什么，并找出與“”時命題形式的差別．弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)．④明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等，并用上假設(shè)．解析19、答案（1）f(3)＝1，f(4)＝2；（2）f(n)＝試題解析：（1）f(3)＝1，f(4)＝2；（2）設(shè)A0＝{m∣m＝3p，p∈N*，p≤}，A1＝{m∣m＝3p－1，p∈N*，p≤}，A2＝{m∣m＝3p－2，p∈N*，p≤}，它們所含元素的個數(shù)分別記為∣A0∣，∣A1∣，∣A2∣．①當(dāng)n＝3k時，則∣A0∣＝∣A1∣＝∣A2∣＝k．k＝1，2時，f(n)＝(C)3＝k3；k≥3時，f(n)＝3C＋(C)3＝k3－k2＋k．從而f(n)＝n3－n2＋n，n＝3k，k∈N*．②當(dāng)n＝3k－1時，則∣A0∣＝k－1，∣A1∣＝∣A2∣＝k．k＝2時，f(n)＝f(5)＝2×2×1＝4；k＝3時，f(n)＝f(8)