新教材人教b版選擇性必修第三冊(cè) 5.5數(shù)學(xué)歸納法 作業(yè)

2021-2022學(xué)年新教材人教B版選擇性必修第三冊(cè)5.5數(shù)學(xué)歸納法作業(yè)一、選擇題1、整數(shù)列{an}滿足an+1-an-1<3n+，an+2？an>3n+1-，a2=3，則a2018=？A.B.C.D.2、凸邊形有條對(duì)角線，則凸邊形的對(duì)角線的條數(shù)為（）A． B． C． D．3、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，第一步驗(yàn)證時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是（）A．B．C．D．4、用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n∈N＋)”的過程中，第二步n＝k時(shí)等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)得到()A．1＋2＋22＋＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k＋1－15、對(duì)于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某學(xué)生的證明過程如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，≤1＋1，不等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即<k＋1，則n＝k＋1時(shí)，＝<＝＝(k＋1)＋1，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，上述證法()A．過程全都正確B．n＝1驗(yàn)證不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確6、用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1＋a＋a2＋＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a37、用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗(yàn)證是否成立時(shí)，左邊應(yīng)該是()A． B． C． D．8、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少應(yīng)取()A．7B．8C．9D．109、定義：分子為1且分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)稱為單位分?jǐn)?shù),我們可以把1分拆為若干個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和。如：,依此類推，其中，且設(shè)則()A．5B．6C．7D．910、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3++(n+3)=(n∈N),驗(yàn)證n=1時(shí),左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()A．1B．1+2C．1+2+3D．1+2+3+411、利用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋＋…＋<1(n∈N*，且n≥2)時(shí)，第二步由k到k＋1時(shí)不等式左端的變化是()．A．增加了這一項(xiàng)B．增加了和兩項(xiàng)C．增加了和兩項(xiàng)，同時(shí)減少了這一項(xiàng)D．以上都不對(duì)12、用數(shù)學(xué)歸納證明“凸邊形對(duì)角線的條數(shù)”時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證（）A.成立B.成立C.成立D.成立二、填空題13、如圖，以，為頂點(diǎn)作正三角形，再以和的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作正三角形，再以和的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作正三角形，，如此繼續(xù)下去.有如下結(jié)論：①所作的正三角形的邊長(zhǎng)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列；②每一個(gè)正三角形都有一個(gè)頂點(diǎn)在直線上；③第六個(gè)正三角形的不在第五個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是；④第個(gè)正三角形的不在第個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則.其中正確結(jié)論的序號(hào)是___________.（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）14、用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.(1)當(dāng)n0＝________時(shí)，左邊＝____________，右邊＝________________；當(dāng)n＝k時(shí)，等式左邊共有______________項(xiàng)，第(k－1)項(xiàng)是______________．(2)假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即_________________成立．(3)當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題的形式是________________；此時(shí)，左邊增加的項(xiàng)為______________．15、設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)觀察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.16、如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)⊥時(shí)，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e＝________.三、解答題17、（本小題滿分10分）已知是大于1的正整數(shù)，求證：18、（本小題滿分12分）設(shè)Sn＝＋＋＋…＋，寫出S1，S2，S3，S4的值，歸納并猜想出結(jié)果，并給出證明．19、（本小題滿分12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列前項(xiàng)和的值.參考答案1、答案C解析由,可得：，又且{an}為整數(shù)列，所以，.故選：C點(diǎn)睛：數(shù)列通項(xiàng)的求法：歸納法、遞推公式法、通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、兩邊夾的方法.本題就是通過兩邊夾的方法來定通項(xiàng)，,又{an}為整數(shù)列，可得：，然后通過累加得方式求a2018.2、答案C解析凸多邊形邊數(shù)增加1條，即增加一個(gè)頂點(diǎn)，自這一頂點(diǎn)向其它不相鄰的k-2個(gè)頂點(diǎn)可引k-2條對(duì)角線，原來一條邊變?yōu)閷?duì)角線，所以共增加k-1條，故選C?？键c(diǎn)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的概念及方法步驟，多邊形。3、答案D解析根據(jù)所給式子可知左邊為，可知正確選項(xiàng).詳解當(dāng)時(shí)，左邊應(yīng)為，即，故選D.點(diǎn)睛本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法及歸納推理的能力，屬于容易題.4、答案D解析由條件知，左邊是從20,21一直到2n－1都是連續(xù)的，因此當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)為1＋2＋22＋＋2k－1＋2k，而右邊應(yīng)為2k＋1－1.考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法5、答案D解析6、答案C解析當(dāng)n=1時(shí)，左端為1＋a＋a2，故選C.7、答案C解析首先分析題目在驗(yàn)證是否成立時(shí)，把代入左邊，即可得出結(jié)果.詳解：用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗(yàn)證時(shí)，把代入，左邊.故選：C.點(diǎn)睛本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，屬于基礎(chǔ)題.8、答案B解析9、答案C解析根據(jù)1=++++++++++++，結(jié)合裂項(xiàng)相消法，可得+==，解得m，n值，根據(jù)奇函數(shù)的定積分為零，即可得到結(jié)果.詳解∵2=1×2，6=2×3，30=5×6，42=6×7，56=7×8，72=8×9，90=9×10，110=10×11，132=11×12，∴1=++++++++++++=（1﹣）+++（﹣）+，∴+==∴m=13，n=20，即∴故選：C點(diǎn)睛本題考查歸納推理，考查定積分知識(shí)，考查學(xué)生的邏輯思維能力與計(jì)算能力，求得m，n的值是關(guān)鍵．10、答案D解析由等式1+2+3++(n+3)=(n∈N),當(dāng)n=1時(shí)，n+3=4，而等式左邊起始為1的連續(xù)的正整數(shù)的和，由此易得答案．詳解在等式1+2+3++(n+3)=(n∈N),中，當(dāng)n=1時(shí)，n+3=4，而等式左邊起始為1的連續(xù)的正整數(shù)的和，故n=1時(shí)，等式左邊的項(xiàng)為：1+2+3+4故選：D．點(diǎn)睛本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法的步驟，在數(shù)學(xué)歸納法中，第一步是論證n=1時(shí)結(jié)論是否成立，此時(shí)一定要分析等式兩邊的項(xiàng)，不能多寫也不能少寫，否則會(huì)引起答案的錯(cuò)誤．解此類問題時(shí)，注意n的取值范圍．11、答案C解析不等式左端共有n＋1項(xiàng)，且分母是首項(xiàng)為n，公差為1，末項(xiàng)為2n的等差數(shù)列，當(dāng)n＝k時(shí)，左端為＋＋＋…＋；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端為＋＋＋…＋＋＋，對(duì)比兩式，可得結(jié)論．12、答案C解析因?yàn)槎噙呅沃辽儆?條邊，故第一步只需驗(yàn)證n=3結(jié)論成立即可。本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第(1)步驗(yàn)算n＝n0的n0不一定為1，而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值.13、答案①②③④解析根據(jù)規(guī)律可判斷①②真假，結(jié)合圖形求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷③真假，求出第個(gè)正三角形的不在第個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，然后求極限可得結(jié)論.詳解：解：由題意可得，每一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)都是上一個(gè)正三角形邊長(zhǎng)的，故①正確；根據(jù)圖形的規(guī)律可知每一個(gè)正三角形都有一個(gè)頂點(diǎn)在直線上，故②正確；第六個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為，故頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為，從而頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故③正確；第個(gè)正三角形的不在第個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，，，，，，通過圖象可得，故④正確.故答案為：①②③④.點(diǎn)睛本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用，同時(shí)考查了識(shí)圖能力，屬于中檔題.14、答案(1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k；(k－1)[3(k－1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2；(k＋1)[3(k＋1)＋1]解析15、答案fn(x)=解析由題知，fn(x)解析式是分式，其分子是不變，分母是一次函數(shù)，當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，的系數(shù)分別為1,3,7,16，故的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，所以fn(x)=.16、答案解析由題意，得b2＋c2＋c2＝(c＋a)2，即c2－ac－a2＝0，所以e2－e－1＝0，又e>1，解得e＝.17、答案下面用數(shù)