新教材人教b版選擇性必修第二冊4.2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征第2課時(shí)離散型隨機(jī)變量的方差作業(yè)

課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十五離散型隨機(jī)變量的方差(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.(多選題)已知隨機(jī)變量X的分布列為X-101P11a則下列式子正確的是 ()A.P(X=0)=13 B.a=C.E(X)=-13 D.D(X)=【解析】選ABC.由分布列可知,P(X=0)=13,a=1-12-13=16,E(X)=(-1)×12-13;D(X)=-1+132×12+0+132X-101P111若Y=2X+2,則D(Y)等于 ()13 B.59 C.109 【解析】選D.由題意知,E(X)=-1×12+0×13+1×16故D(X)=-1+132×12+0+132×D(Y)=D(2X+2)=4D(X)=4×59=203.拋擲一枚硬幣,規(guī)定正面向上得1分,反面向上得-1分,則得分X的均值與方差分別為 ()A.E(X)=0,D(X)=1 B.E(X)=12,D(X)=C.E(X)=0,D(X)=12 D.E(X)=1【解析】選A.拋擲一枚硬幣,規(guī)定正面向上得1分,反面向上得-1分,則得分X的分布列為X1-1P所以E(X)=1×0.5+(-1)×0.5=0,D(X)=(1-0)2×0.5+(-1-0)2×0.5=1.4.(多選題)編號(hào)為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位,每位學(xué)生坐一個(gè)座位,設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ,則 ()A.ξ的所有取值是1,2,3 B.P(ξ=1)=1C.E(ξ)=1 D.D(ξ)=1【解析】選BCD.ξ的所有可能取值為0,1,3,ξ=0表示三位同學(xué)全坐錯(cuò)了,有2種情況,即編號(hào)為1,2,3的座位上分別坐了編號(hào)為2,3,1或3,1,2的學(xué)生,則P(ξ=0)=2A33=13;ξ=1表示三位同學(xué)只有1位同學(xué)坐對了,則P(ξ=1)=ξ=3表示三位同學(xué)全坐對了,即對號(hào)入座,則P(ξ=3)=1A33=1ξ013P111E(ξ)=0×13+1×12+3×D(ξ)=13×(0-1)2+12×(1-1)2+16×二、填空題(每小題5分,共10分)5.若某事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)的方差等于0.25,則該事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為________.

【解析】事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)記為X,則X服從兩點(diǎn)分布,則D(X)=p(1-p),所以p(1-p)=0.25,解得p=0.5.答案:6.有10張卡片,其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5,若從中隨機(jī)抽出3張,設(shè)這3張卡片上的數(shù)字和為X,則D(X)=________.

【解析】由題意得,隨機(jī)變量X的可能取值為6,9,12.P(X=6)=C83C103=7P(X=12)=C81×C22C103=115D(X)=715×(6-7.8)2+715×(9-7.8)2+115×答案:三、解答題(每小題10分,共20分)7.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),一輛從北京開往天津的長途汽車在無雨天盈利230元,小雨天盈利163元,中雨天盈利90元.根據(jù)天氣預(yù)報(bào),明天無雨的概率是0.2,有小雨的概率是0.3,有中雨的概率是0.5.問:明天發(fā)一輛長途汽車盈利的期望是多少元?方差和標(biāo)準(zhǔn)差各是多少?【解析】用X表示明天發(fā)一輛車的盈利,由題意知P(X=230)=0.2,P(X=163)=0.3,P(X=90)=0.5,所以E(X)=230×0.2+163×0.3+90×0.5=139.9(元).所以明天發(fā)一輛長途汽車盈利的期望是139.9元.方差D(X)=(230-139.9)2×0.2+(163-139.9)2×0.3+(90-139.9)2×=3028.69,標(biāo)準(zhǔn)差D(X)=所以方差和標(biāo)準(zhǔn)差各是3028.69,55.8.設(shè)在12個(gè)同類型的零件中有2個(gè)次品,抽取3次進(jìn)行檢驗(yàn),每次抽取一個(gè),并且取出不再放回,若以X和Y分別表示取出次品和正品的個(gè)數(shù).(1)求X的分布列、均值及方差;(2)求Y的分布列、均值及方差.【解析】(1)X的可能值為0,1,2.若X=0,表示沒有取出次品,其概率為P(X=0)=C20C同理,有P(X=1)=C21C102C12所以X的分布列為X012P691所以E(X)=0×611+1×922+2×122D(X)=0-122×611+1-122(2)Y的可能值為1,2,3,顯然X+Y=3.P(Y=1)=P(X=2)=122,P(Y=2)=P(X=1)=9P(Y=3)=P(X=0)=611Y123P196所以Y=-X+3,所以E(Y)=E(3-X)=3-E(X)=3-12=52,D(Y)=(-1)2D(X)=(20分鐘·40分)1.(5分)某同學(xué)上學(xué)路上要經(jīng)過3個(gè)路口,在每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是13A.6 B.3 C.3 【解析】選A.因?yàn)樵撏瑢W(xué)經(jīng)過每個(gè)路口時(shí),是否遇到紅燈互不影響,所以可看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),即X～B3,13,則X的方差D(X)=3×13×1-13=23,所以Y的方差D(Y)=32·2.(5分)若X是離散型隨機(jī)變量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,且x1<x2,又已知E(X)=43,D(X)=29,則xA.53 B.73 C.3 【解析】選C.x1,x2滿足2解得x1=1因?yàn)閤1<x2,所以x1=1,x2=2,所以x1+x2=3.3.(5分)已知離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=0.1,D(X)=0.89,則對應(yīng)x1,x2,x3的概率p1,p2,p3分別為________,________,________.

【解析】由題意知,-p1+p3=0.1,123=0.89.又p1+p2+p3=1,解得p1=0.4,p2=0.1,p3=0.5.答案:4.(5分)一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和4個(gè)黑球.若采取放回抽樣方式,從中摸出兩個(gè)球,則兩球恰好顏色不同的概率為________,若采取不放回抽樣方式,從中摸出兩個(gè)球,則摸出白球的個(gè)數(shù)的方差為________.

【解析】“有放回摸取”可看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),每次摸出一球是白球的概率為p=26=1所以“有放回摸兩次,顏色不同”的概率為C21×13×1-13=49.“P(X=1)=C21C41C6所以E(X)=0×25+1×815+2×115D(X)=0-232×25+1-232答案:495.(10分)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率;(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).【解析】(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”,A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”,B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè).”因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2××××2=0.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率為P(X=0)=C30(1-0.6)P(X=1)=C31·0.6(1-0.6)P(X=2)=C32·P(X=3)=C33·X0123P因?yàn)閄～B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3××(1-0.6)=0.72.6.(10分)甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ,η,已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán),且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值與方差,并以此比較甲、乙的射擊技術(shù).【解析】(1)由題意得:0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因?yàn)橐疑渲?0,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.所以乙射中7環(huán)的概率為1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分別為ξ10987Pη10987P(2)由(1)得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2;E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7;D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96;D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.由于E(ξ)>E(η),D(ξ)<D(η),說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高,且成績比較穩(wěn)定,所以甲比乙的射擊技術(shù)好.1.某種種子每粒發(fā)芽的概率是90%,現(xiàn)播種該種子1000粒,對于沒有發(fā)芽的種子,每粒需再補(bǔ)種2粒,補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,則X的方差是 ()A.90 B.180 C.270 【解析】選D.由題意可知播種了1000粒,沒有發(fā)芽的種子數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布,即ξ～B(1000,0.1).而每粒需再補(bǔ)種2粒,補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,故X=2ξ,故方差為D(X)=D(2ξ)=22·D(ξ)=4×1000×0.1×0.9=360.2.A,B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2.根據(jù)市場分析,X1和X2的分布列分別為X15%10%PX22%8%12%P(1)在A,B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬元,Y1(萬元)和Y2(萬元)分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤,求方差D(Y1),D(Y2);(2)將x(0≤x≤100)萬元投資A項(xiàng)目,(100-x)萬元投資B項(xiàng)目,f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x為何值時(shí),f(x)取到最小值.【解析】(1)由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列分別為Y