新教材人教b版選擇性必修第二冊4.1.2乘法公式與全概率公式學案

4．乘法公式與全概率公式新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.結合古典概型，了解并掌握乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式的含義數(shù)學抽象2.會利用乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式解決一些簡單的實際問題邏輯推理狼來了這個故事大家都聽過，那么從心理學角度分析，這個小孩是如何一步步喪失村民信任的呢？我們可以通過特殊概率公式來解讀．設A為事件“小孩說謊”，B為“村民覺得小孩可信”；不妨設可信的小孩說謊的概率為，,經過第一次撒謊，第二次撒謊后，狼真的來了，小孩第三次呼救的時候，村民都不再相信這是真的，覺得這是誰家熊孩子真氣人，沒人再上山救他．于是，狼在前兩次跳出來嚇唬完小孩就跑走后，成功在第三次抓走小孩，而且無人打擾，由此可見心理學結合概率統(tǒng)計學很重要！[問題]上述問題可以用哪種概率公式來解釋？知識點一乘法公式1．由條件概率的計算公式可知，P(BA)＝P(A)P(B|A)．2．假設Ai表示事件，i＝1，2，3，且P(A1)＞0，P(A1A2)P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)一定成立，其中P(A3|A1A2)表示已知A1與A2都發(fā)生時A3發(fā)生的概率，而P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同時發(fā)生的概率．乘法公式的幾何直觀意義是什么？提示：如圖，用單位正方形來表示樣本空間Ω，用正方形內封閉曲線圍成的圖形表示事件，把圖形的面積理解為相應事件的概率．設A，B是Ω的子集．無條件概率P(B)＝eq\f(P（B）,P（Ω）)(注意P(Ω)＝1)相當于B在空間Ω中所占的比例，亦可表示為P(B)＝P(B|Ω)．條件概率P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)，實際上是僅局限于A事件這個范圍來考查B事件發(fā)生的概率．幾何直觀上，相當于B在A內的那部分AB在A中所占的比例．因此P(AB)＝P(A)P(B|A)，同理，P(AB)＝P(B)P(A|B)．知識點二全概率公式及貝葉斯公式1．全概率公式(1)一般地，如果樣本空間為Ω，而A，B為事件，則BA與Beq\x\to(A)是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋eq\x\to(A))＝BA＋Beq\x\to(A)，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))．這稱為全概率公式．(2)定理1：若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(BAi)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．上述公式也稱為全概率公式．2．貝葉斯公式(1)一般地，當1＞P(A)＞0且P(B)＞0時，有P(A|B)＝eq\f(PAPB|A,PB)＝eq\f(PAPB|A,PAPB|A＋P\x\to(A)PB|\x\to(A)).這稱為貝葉斯公式．(2)定理2：若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝eq\f(PAjPB|Aj,PB)＝eq\f(PAjPB|Aj,\i\su(i＝1,n,P)AiPB|Ai).上述公式也稱為貝葉斯公式．eq\a\vs4\al()全概率公式與貝葉斯公式的區(qū)別(1)如果所求事件的概率是由多個原因引起的，此時，應用全概率公式，如果所求概率為條件概率P(A|B)，而B由多個原因引起，此時應用貝葉斯公式；(2)全概率公式與貝葉斯公式兩者的最大不同是處理的對象不同，其中全概率公式用來計算復雜事件的概率，而貝葉斯公式是用來計算簡單條件下發(fā)生的復雜事件的概率，也就是說，全概率公式是計算普通概率的，貝葉斯公式是用來計算條件概率的．1．對以往數(shù)據(jù)分析結果表明，當機器調整良好時，產品的合格率為98%，而當機器發(fā)生某種故障時，其合格率為55%，每天早上機器開動時，機器調整良好的概率為95%，已知某日早上第一件產品是合格時，機器調整良好的概率是________()．解析：設A表示產品合格，B表示機器調整良好．已知P(A|B)，P(A|B)，P(B)，P(B)，所需求的概率為P(B|A)．由貝葉斯公式P(B|A)＝eq\f(P（A|B）P（B）,P（A|B）P（B）＋P（A|B）P（B）)＝eq\f×,××0.05)≈0.97.這就是說，當生產出第一件產品是合格品時，此時機器調整良好的概率為0.97.答案：2．采購員要購買10個一包的電器元件．他的采購方法是：從一包中隨機抽查3個，如這3個元件都是好的，他才買下這一包．假定含有4個次品的包數(shù)占30%，而其余包中各含有1個次品，求采購員拒絕購買的概率．解：設A1表示取到的是含4個次品的一包，A2表示取到的是含1個次品的一包，B表示采購員拒絕購買．則A1，A2構成樣本空間的一個劃分，且P(A1)，P(A2)，又由古典概型計算知P(B|A1)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)，P(B|A2)＝1－eq\f(7,10)＝eq\f(3,10)，從而由全概率公式得到P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq\f(23,50).乘法公式[例1](鏈接教科書第46頁例1，第47頁例2)設某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為eq\f(1,2)，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為eq\f(7,10)，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為eq\f(9,10)，求透鏡落下三次而未打破的概率．[解]法一：以Ai(i＝1,2,3)表示透鏡第i次落下打破，以B表示透鏡落下三次而未打破．因為B＝eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3，故有P(B)＝P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＝P(eq\x\to(A)3|eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2)P(eq\x\to(A)2|eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,10)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,200).法二：由題意eq\x\to(B)＝A1∪eq\x\to(A)1A2∪eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3.而A1，eq\x\to(A)1A2，eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3是兩兩互斥的事件，故有P(eq\x\to(B))＝P(A1)＋P(eq\x\to(A)1A2)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)．已知P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2|eq\x\to(A)1)＝eq\f(7,10)，P(A3|eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2)＝eq\f(9,10)，即有P(eq\x\to(A)1A2)＝P(A2|eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)1)＝eq\f(7,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(7,20)，P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝P(A3|eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2)P(eq\x\to(A)2|eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)1)＝eq\f(9,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(27,200).故得P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)＋eq\f(7,20)＋eq\f(27,200)＝eq\f(197,200)，P(B)＝1－eq\f(197,200)＝eq\f(3,200).eq\a\vs4\al()應用乘法公式求概率的步驟(1)根據(jù)題目的提問(一般是A1，A2，…，An，n個事件同時發(fā)生的概率)，找到A1，A2，…，An；(2)用A1，A2，A3，…，An表示已知條件和待求事件；(3)代入乘法公式求解．[跟蹤訓練]據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P(A)＝P(孩子得病)＝，P(B|A)＝P(母親得病|孩子得病)＝，P(C|AB)＝P(父親得病|母親及孩子得病)＝．解：所求概率為P(ABeq\x\to(C))(注意：由于“母病”“孩病”“父病”都是隨機事件，這里不是求P(eq\x\to(C)|AB))．由條件概率的計算公式得P(eq\x\to(C)|AB)＝1－P(C|AB)＝1－0.4＝0.6，從而P(ABeq\x\to(C))＝P(A)P(B|A)P(eq\x\to(C)|AB)××0.6＝0.18.全概率公式[例2](鏈接教科書第48頁例3，第50頁例4)設有甲、乙兩袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球：(1)取到(即從乙袋中取到)白球的概率是多少？(2)第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球．先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率．[解](1)記A1，A2分別表示從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋，再記B表示再從乙袋中取得白球．∵B＝A1B＋A2B且A1B，A2B互斥，∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq\f(n,n＋m)×eq\f(N＋1,N＋M＋1)＋eq\f(m,n＋m)×eq\f(N,N＋M＋1).(2)記C1表示從第一盒子中取得2只紅球，C2表示從第一盒子中取得2只白球，C3表示從第一盒子中取得1只紅球，1只白球，D表示從第二盒子中取得白球，顯然C1，C2，C3兩兩互斥，C1∪C2∪C3＝Ω，由全概率公式，有P(D)＝P(C1)P(D|C1)＋P(C2)P(D|C2)＋P(C3)P(D|C3)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,9))×eq\f(5,11)＋eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,9))×eq\f(7,11)＋eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,9))×eq\f(6,11)＝eq\f(53,99).eq\a\vs4\al()應用全概率公式求概率的步驟(1)根據(jù)題意找出完備事件組，即滿足全概率公式的Ω的一個劃分A1，A2，A3，…，An；(2)用Ai(i＝1，2，3，…，n)來表示待求的事件；(3)代入全概率公式求解．[跟蹤訓練]一學生接連參加同一課程的兩次考試．第一次及格的概率為P，若第一次及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為eq\f(P,2).(1)若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率；(2)若已知他第二次已經及格，求他第一次及格的概率．解：記Ai：他第i次及格，i＝1,2，已知P(A1)＝P(A2|A1)＝P，P(A2|eq\x\to(A)1)＝eq\f(P,2).(1)記B：至少有一次及格，所以eq\x\to(B)＝eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2，所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2)＝1－P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2|eq\x\to(A)1)＝1－[1－P(A1)][1－P(A2|eq\x\to(A)1)]＝1－(1－P)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(P,2)))＝eq\f(3,2)P－eq\f(1,2)P2.(2)P(A1|A2)＝eq\f(PA1A2,PA2)，(*)由乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝P2，由全概率公式，有P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(eq\x\to(A)1)·P(A2|eq\x\to(A)1)＝P·P＋(1－P)·eq\f(P,2)＝eq\f(P2,2)＋eq\f(P,2).將以上兩個結果代入(*)得P(A1|A2)＝eq\f(P2,\f(P2,2)＋\f(P,2))＝eq\f(2P,P＋1).貝葉斯公式[例3](鏈接教科書第51頁例5)已知男性中有5%是色盲患者，%是色盲患者．今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？[解]設A1表示挑選出男性，A2表示挑選出女性，B表示挑選出色盲，顯然A1∪A2＝Ω，A1A2＝?.由已知條件知P(A1)＝P(A2)＝eq\f(1,2)，P(B|A1)＝5%，P(B|A2)%，由貝葉斯公式，有P(A1|B)＝eq\f(P（A1）P（B|A1）,P（B）)＝eq\f(P（A1）P（B|A1）,P（A1）P（B|A1）＋P（A2）P（B|A2）)＝eq\f(\f(1,2)×\f(5,100),\f(1,2)×\f(5,100)＋\f(1,2)×\f(25,10000))＝eq\f(20,21).eq\a\vs4\al()應用貝葉斯公式求概率的步驟(1)根據(jù)題目的提問，事件B是由多個原因引起，這多個原因為A1，A2，…，An，且A1，A2，…，An是樣本空間Ω的一個劃分；(2)利用全概率公式求出P(B)；(3)代入貝葉斯公式得概率．[跟蹤訓練]已知產品中90%是正品，，而誤認廢品為合格品的概率為0.05.求：(1)用這種方法，檢查一件產品為合格品的概率；(2)用這種方法，檢查為合格品的一件產品確實是正品的概率．解：根據(jù)題意，得概率樹形圖如下：由圖可看出：一件產品檢查為合格品有兩種情況．一件產品檢查為合格品且確定是正品的情況只有一種．設A表示正品，A表示廢品，B表示檢查為合格品，B表示檢查為廢品．由圖可知：(1)P(B)××0.05＝0.887.(2)P(A|B)＝eq\f×,0.887)≈0.994.全概率公式和貝葉斯公式的綜合應用[例4](鏈接教科書第55頁練習B5題)某電子設備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的．根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供元件的份額ⅠⅡⅢ設這三家工廠的產品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標志．(1)在倉庫中隨機地取一只元件，求它是次品的概率；(2)在倉庫中隨機地取一只元件，若已知取到的是次品，為分析此次品出自何廠，需求出此次品由三家工廠生產的概率分別是多少．試求這些概率．[解]設A表示取到的是一只次品，Bi(i＝1，2，3)表示所取到的產品是由第i家工廠提供的．本題的概率樹形圖如下：易知，B1，B2，B3是樣本空間Ω的一個劃分，且有P(B1)，P(B2)，P(B3)，P(A|B1)，P(A|B2)，P(A|B3)＝0.03.(1)由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(A|B3)P(B3)5.(2)由貝葉斯公式得P(B1|A)＝eq\f(P（A|B1）P（B1）,P（A）)＝eq\f×,5)＝0.24.同理可得P(B2|A)，P(B3|A)，這只次品來自第2家工廠的可能性最大．eq\a\vs4\al()概率樹在全概率公式和貝葉斯公式中的應用對于復雜問題，運用概率樹圖解法比較方便．先根據(jù)題意，畫出圖形，在圖形中用相應的符號表示事件，并標注概率大小，然后根據(jù)圖形，找到全概率公式和貝葉斯公式中的量，代入公式求解．[跟蹤訓練]有兩箱同種類型的零件．第一箱裝50只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品．今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣，試求：(1)第一次取到的零件是一等品的概率；(2)第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率．解：設Bi表示第i次取到一等品，i＝1，2，Aj表示第j箱產品，j＝1，2，顯然A1∪A2＝Ω，A1A2＝?，(1)P(B1)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B1|A2)＝eq\f(1,2)×eq\f(10,50)＋eq\f(1,2)×eq\f(18,30)＝eq\f(2,5)＝0.4.(2)P(B2|B1)＝eq\f(P（B1B2）,P（B1）)＝eq\f(\f(1,2)×\f(10,50)×\f(9,49)＋\f(1,2)×\f(18,30)×\f(17,29),\f(2,5))≈6.1．裝有10件某產品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丟失一件產品，但不知是幾等品，今從箱中任取2件產品，結果都是一等品，則丟失的也是一等品的概率為()A.eq\f(2,9) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,9)解析：選C設事件A＝{從箱中任取2件都是一等品}，事件Bi＝{丟失的為i等品}(i＝1，2，3)，則P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq