新教材人教b版選擇性必修第三冊(cè)6.2.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值課件

6.2.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值第六章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解極值、極值點(diǎn)的概念,明確極值存在的條件.(數(shù)學(xué)抽象)2.會(huì)求函數(shù)的極值.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.會(huì)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4.能利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)極值、最值相關(guān)的綜合問(wèn)題.(邏輯推理)課前篇自主預(yù)習(xí)【情境導(dǎo)入】“極大”與“極小”都是文藝復(fù)興時(shí)期德意志庫(kù)薩的尼古拉的用語(yǔ).尼古拉認(rèn)為一個(gè)事物,如果沒(méi)有比它更大的事物存在,就叫做最大或極大,極大與極小是對(duì)立一致的.那么數(shù)學(xué)中“極大值”與“極小值”又是如何界定的呢?【知識(shí)梳理】

一、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值1.極值點(diǎn)與極值

只與附近值比較一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,設(shè)x0∈D,如果對(duì)于x0附近的任意不同于x0的x,都有(1)f(x)<f(x0),則稱(chēng)x0為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn),且f(x)在x0處取極大值;(2)f(x)>f(x0),則稱(chēng)x0為函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn),且f(x)在x0處取極小值.

不是點(diǎn)的坐標(biāo)極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)都稱(chēng)為極值點(diǎn),極大值與極小值都稱(chēng)為極值.顯然,極大值點(diǎn)在其附近函數(shù)值最大,極小值點(diǎn)在其附近函數(shù)值最小.2.極值點(diǎn)的求法一般地,如果x0是y=f(x)的極值點(diǎn),且f(x)在x0處可導(dǎo),則必有

f'(x0)=0.名師點(diǎn)析

求函數(shù)y=f(x)極值的步驟第1步,求導(dǎo)數(shù)f'(x).第2步,求方程f'(x)=0的所有實(shí)數(shù)根.第3步,觀(guān)察在每個(gè)根x0附近,從左到右,導(dǎo)函數(shù)f'(x)的符號(hào)如何變化.如果f'(x)的符號(hào)由正變負(fù),則f(x0)是極大值;如果由負(fù)變正,則f(x0)是極小值.如果在f'(x)=0的根x=x0的左、右側(cè),f'(x)的符號(hào)不變,則f(x0)不是極值.微思考1(1)函數(shù)是否一定存在極值?若存在,是否唯一?(2)極大值是否一定比極小值大?(3)函數(shù)的極值點(diǎn)是否可以出現(xiàn)在區(qū)間的端點(diǎn)?提示

(1)在一個(gè)給定的區(qū)間上,函數(shù)可能存在若干個(gè)極值,也可能不存在極值;函數(shù)可以只有極大值沒(méi)有極小值,或者只有極小值沒(méi)有極大值,也可能既有極大值又有極小值.(2)極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系,即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值.(3)不可以,函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處一定不可能取得極值,因?yàn)椴环蠘O值點(diǎn)的定義.微思考2(1)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎?(2)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定等于0嗎?提示

(1)不一定,例如對(duì)于函數(shù)f(x)=x3,雖有f'(0)=0,但x=0并不是f(x)=x3的極值點(diǎn),要使導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)成為極值點(diǎn),還必須滿(mǎn)足其他條件.(2)不一定,例如函數(shù)f(x)=|x-1|,它在x=1處取得極小值,但它在x=1處不可導(dǎo),就更談不上導(dǎo)數(shù)等于0了.但對(duì)可導(dǎo)函數(shù)來(lái)說(shuō),極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值一定等于0.二、函數(shù)的最值函數(shù)f(x)的最大(小)值是函數(shù)定義域內(nèi)最大(小)的函數(shù)值.名師點(diǎn)析

求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步驟第1步,求f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)所有使f'(x)=0的點(diǎn).第2步,計(jì)算函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)使f'(x)=0的所有點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值.微思考函數(shù)的極值與最值有什么聯(lián)系與區(qū)別?提示

(1)函數(shù)的極值是表示函數(shù)在某一點(diǎn)附近的變化情況,是在局部上對(duì)函數(shù)值的比較,具有相對(duì)性;而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個(gè)定義域上的情況,是對(duì)整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較,具有絕對(duì)性.(2)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上若存在最大值或最小值,則最大值或最小值最多只能各有一個(gè),具有唯一性;而極大值和極小值可能多于一個(gè),也可能沒(méi)有,例如:常函數(shù)就沒(méi)有極大值,也沒(méi)有極小值.(3)極值只能在函數(shù)的定義域內(nèi)部取得,而最值可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得.有極值的不一定有最值,有最值的不一定有極值,極值有可能成為最值,最值只要不是在端點(diǎn)處取到,則一定是某個(gè)極值.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例1求下列函數(shù)的極值:(1)f(x)=1+3x-x3;(3)f(x)=x2e-x.思路分析按照求極值的方法,首先從方程f'(x)=0入手,求出函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)所有可解的極值點(diǎn),然后按極值的定義判斷并求值.解

(1)函數(shù)定義域?yàn)镽,且f'(x)=3-3x2,令f'(x)=0,得x=±1.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘-1↗3↘所以f(x)在x=-1處取極小值-1,在x=1處取極大值3.(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=2xe-x+x2e-x(-x)'=x(2-x)e-x,令f'(x)=0,得x=0或x=2,當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:從表中可以看出,當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)有極小值,且f(0)=0;當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)有極大值,且f(2)=4e-2.x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘0↗4e-2↘反思感悟

求函數(shù)極值的解題策略求函數(shù)的極值必須嚴(yán)格按照求函數(shù)極值的步驟進(jìn)行,其重點(diǎn)是列表判斷導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值是不是異號(hào),若異號(hào),則是極值;否則,不是極值.另外,在求函數(shù)的極值前,首先要研究函數(shù)的定義域.變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),當(dāng)a∈R且a≠時(shí),求函數(shù)的極值.解

f'(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.令f'(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.x(-∞,-2a)-2a(-2a,a-2)a-2(a-2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗∴f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)內(nèi)是增函數(shù),在(-2a,a-2)內(nèi)是減函數(shù).∴函數(shù)f(x)在x=-2a處取得極大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a;函數(shù)f(x)在x=a-2處取得極小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.若a<,則-2a>a-2,當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:∴f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)內(nèi)是增函數(shù),在(a-2,-2a)內(nèi)是減函數(shù).∴函數(shù)f(x)在x=a-2處取得極大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2;函數(shù)f(x)在x=-2a處取得極小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.x(-∞,a-2)a-2(a-2,-2a)-2a(-2a,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗探究二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例2求下列函數(shù)的最值:(1)f(x)=x3-2x2+1,x∈[-1,2];思路分析按照求函數(shù)最值的步驟求解.從上表可知,最大值是f(0)=f(2)=1,最小值是f(-1)=-2.(3)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=-1,令f'(x)=0,得x2=1-ln

x,顯然x=1是方程的解.令g(x)=x2+ln

x-1,x∈(0,+∞),則g'(x)=2x+>0,∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴x=1是方程f'(x)=0的唯一解.∵當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)=-1>0,當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0,∴函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)有最大值,且最大值是f(1)=-1,函數(shù)f(x)無(wú)最小值.反思感悟

求函數(shù)最值的解題策略(1)如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖像是一條連續(xù)不間斷的曲線(xiàn),那么它必有最大值和最小值.(2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在區(qū)間[a,b]上的最值可簡(jiǎn)化過(guò)程,即直接將極值點(diǎn)的函數(shù)值與端點(diǎn)的函數(shù)值比較大小,即可判定最大(或最小)的函數(shù)值,就是最大(或最小)值.(3)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí),需要對(duì)各個(gè)極值與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較,有時(shí)需要作差、作商,有時(shí)還要估算,甚至有時(shí)需要進(jìn)行分類(lèi)討論.(4)求函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上的最值時(shí),要借助導(dǎo)數(shù)分析研究函數(shù)的單調(diào)性與極值情況,從而畫(huà)出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像求出最值.變式訓(xùn)練2a為常數(shù),求函數(shù)f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.解

f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).若a≤0,則f'(x)≤0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=0時(shí),有最大值f(0)=0.探究三根據(jù)函數(shù)的極值與最值求參數(shù)值(或范圍)例3(1)若函數(shù)f(x)=ax3+bx-4在x=1處取得極值,且極值為0,求實(shí)數(shù)a,b的值.(2)已知函數(shù)f(x)=ax3-6ax2+b(a≠0),是否存在實(shí)數(shù)a,b使f(x)在區(qū)間[-1,2]上取得最大值3,最小值-29?若存在,求出a,b的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.思路分析(1)可利用f'(1)=0,f(1)=0求解;(2)利用求最值的方法建立關(guān)于a,b的方程組確定a,b的值,注意對(duì)a的討論.解

(1)由于f(x)=ax3+bx-4,所以f'(x)=3ax2+b.依題意,可得f'(1)=0且f(1)=0.(2)存在.f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f'(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去).①當(dāng)a>0,x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-1,0)0(0,2)f'(x)+0-f(x)↗極大值↘所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最大值.所以b=3.又f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2),所以當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得最小值,所以-16a+3=-29,即a=2.②當(dāng)a<0,x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最小值.所以b=-29.又f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1),所以當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得最大值,所以-16a-29=3,即a=-2.綜上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.x(-1,0)0(0,2)f'(x)-0+f(x)↘極小值↗反思感悟

根據(jù)函數(shù)極值與最值求參數(shù)值(或范圍)的解題策略(1)已知函數(shù)的極值或最值求參數(shù)值時(shí),主要根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0和已知的極值,列出方程(組),利用待定系數(shù)法求解;同時(shí)應(yīng)注意,導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性.(2)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),若它有極值點(diǎn)x0,則必有f'(x0)=0,因此函數(shù)f(x)有極值的問(wèn)題,往往可以轉(zhuǎn)化為方程f'(x)=0有根的問(wèn)題,從而可借助方程的知識(shí)進(jìn)行求解.(3)有些含參數(shù)的問(wèn)題,需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論求解.解

f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)內(nèi)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),如圖所示.探究四極值問(wèn)題的綜合應(yīng)用例4已知函數(shù)f(x)=x3-3x+a(a為實(shí)數(shù)),若方程f(x)=0有三個(gè)不同實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.思路分析求出函數(shù)的極值,要使f(x)=0有三個(gè)不同實(shí)根,則應(yīng)有極大值大于0,極小值小于0,由此可得a的取值范圍.解

令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,解得x1=-1,x2=1.當(dāng)x<-1時(shí),f'(x)>0;當(dāng)-1<x<1時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0.所以當(dāng)x=-1時(shí),f(x)有極大值f(-1)=2+a;當(dāng)x=1時(shí),f(x)有極小值f(1)=-2+a.因?yàn)榉匠蘤(x)=0有三個(gè)不同實(shí)根,所以y=f(x)的圖像與x軸有三個(gè)交點(diǎn),如圖.解得-2<a<2,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,2).要點(diǎn)筆記

極值綜合問(wèn)題的求解策略利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性,研究函數(shù)的極值情況,并在此基礎(chǔ)上畫(huà)出函數(shù)的大致圖像,從直觀(guān)上判斷函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).延伸探究

1本例中,若方程f(x)=0恰有兩個(gè)不同實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的值如何求解?解

由例題,知函數(shù)的極大值f(-1)=2+a,極小值f(1)=-2+a,若f(x)=0恰有兩個(gè)不同實(shí)根,則有2+a=0,或-2+a=0,所以a=-2或a=2.延伸探究

2本例中,若方程f(x)=0有且只有一個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

由例題可知,要使方程f(x)=0有且只有一個(gè)實(shí)根,只需2+a<0或-2+a>0,即a<-2或a>2.故a的取值范圍為(-∞,-2)∪(2,+∞).

素養(yǎng)形成不等式恒成立問(wèn)題典例

已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R).(1)若函數(shù)f(x)在x=-1和x=3處取得極值,求a,b的值;(2)在(1)的條件下,當(dāng)x∈[-2,6]時(shí),f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范圍.解

(1)f'(x)=3x2-2ax+b(a,b,c∈R).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=-1和x=3處取得極值,所以-1,3是方程3x2-2ax+b=0的兩根.(2)由(1),知f(x)=x3-3x2-9x+c(a,b,c∈R),則f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化如下表:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值c+5↘極小值c-27↗而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,所以x∈[-2,6]時(shí),f(x)的最大值為c+54.要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|成立即可.當(dāng)c≥0時(shí),c+54<2c,所以c>54;當(dāng)c<0時(shí),c+54<-2c,所以c<-18.所以c的取值范圍為(-∞,-18)∪(54,+∞).方法點(diǎn)睛

不等式恒成立時(shí),求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的常用方法:先分離參數(shù),再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.在求函數(shù)最值時(shí),可以借助