完整版高二數(shù)學(xué)雙曲線知識點及例題

(完整word版)高二數(shù)學(xué)雙曲線知識點及例題高二數(shù)學(xué)雙曲線知識點及例題一知識點1。雙曲線第一定義：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離差的絕對值是常數(shù)(小于|鵬2|)的點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離怛式2|叫焦距。2。雙曲線的第二定義：平面內(nèi)與一個定點的距離和到一條定直線的距離的比是常數(shù)e(e)1)的點的軌跡叫雙曲線。定點叫雙曲線的焦點，定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e叫雙曲線的離心率.3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點在x軸上的：三一二=1(a>0,b>0)a2b2(2)焦點在y軸上的：V2x2———=1(a>0,b>0)a2b2(3)當(dāng)a=b時，X2-y2=a2或y2-x2=a2叫等軸雙曲線。注9=a2+b24。雙曲線的幾何性質(zhì)：(1)焦點在x軸上的雙曲線上—V2=1(a>0，b>0)的幾何性質(zhì)：a2b2（完整word版）高二數(shù)學(xué)雙曲線知識點及例題1>范圍：x<-a,或x>a2>對稱性：圖形關(guān)于x軸、y軸,原點都對稱?！?>頂點：A1（—a,0）,A2（a,0）線段A1A2叫雙曲線的實軸，且|A1A"=2a;線段482叫雙曲線的虛軸，且|B1B2|=2b.4>離心率：e=￡（e>1）ae越大，雙曲線的開口就越開闊。5>漸近線：y=±—Xa<6>準(zhǔn)線方程：x=±竺c5.若雙曲線的漸近線方程為：y=±LXa則以這兩條直線為公共漸近線的雙曲線系方程可以寫成:x2-22八-0）a2b2【典型例題】例1.選擇題。若方程二-上=1表示雙曲線，則m的取值范圍是（）2+mm+1（完整word版）高二數(shù)學(xué)雙曲線知識點及例題—2—2<m<一1m<—2或m>—1C.m中—2且mw—1 D.meR.ab＜。時，方程ax2+by2=c表示雙曲線的是（）A。必要但不充分條件 B.充分但不必要條件C。充分必要條件 D.既不充分也不必要條件.設(shè)a是第二象限角，方氈2sina-y2sina=cosa表示的曲線是（）A.焦點在x軸上的橢圓 B.焦點在y軸上的橢圓C.焦點在y軸上的雙曲線 D。焦點在x軸上的雙曲線TOC\o"1-5"\h\z.雙曲線上—y2=1上有一點P,F、F是雙曲線的焦點，且/FPF=-,16 9 1 2 1 2 3則小1Pf2的面積為（ ）A.9 B.6,3 C.3、3 D.9Q例2?已知：雙曲線經(jīng)過兩點P（，-4后）P（9，5]，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1 2v4 7例3。已知b（—5，0），C（5,0）是3BC的兩個頂點，且sinB-sinC=3sinA，求頂點A的軌跡方程。5例4?（1）求與橢圓上+21=1有公共焦點，并且離心率為由的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。9 4 2（2）求與雙曲線上-21=1有共同漸近線，且經(jīng)過點M[9，-1）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。9 4 V2 7例5。已知雙曲線方程三一Zi=14 2（1）過點M（1,1）的直線交雙曲線于A、B兩點，若M為AB的中點，求直線AB的方程;(完整word版)高二數(shù)學(xué)雙曲線知識點及例題(2)是否存在直線I,使點g為直線|被雙曲線截得的弦的中點，若存在求出直線I的方程，若不存在說明理由.例六：L若二+上=1表示焦點在y軸上的雙曲線，那么它的半焦距c的取值范圍是陽一21-k()A.(I,+oo)Bo(0,2)C.(2,+oo)D.(1,2)2.雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°,則雙曲線的離心率為( )A.2或空Bo2C.空D.產(chǎn)3 33。圓J：G+3)2+>2=1和圓C?：G-3)2+>2=9,動圓M同時與圓J及圓C2相外切,求動圓圓心M的軌跡方程.［例題答案］例一：解：1.把所給方程與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程對照易知：2+m與m+1應(yīng)同號即可.12+m>0或12+m<0\m+1>0 +1<0>-2?\m<-2-［或1［m>-1［m<-1m>-1或m<-22.若〃X2+⑺2=C表示雙曲線，則一定有

(完整word版)高二數(shù)學(xué)雙曲線知識點及例題會「當(dāng)C中0時，表示雙曲線右ab<°L t+一+一］當(dāng)c=0時，表示直線???選A3.a是第二象限角，，sina>0,cosa<0??X<0cosa原方程化為：X2.sin0cosa cosa易知：X2的系數(shù)為負(fù)，y2的系數(shù)為正,方程表示焦點在y軸上的雙曲線4.由雙曲線方程知：a=4,b=3,c=5設(shè)|設(shè)|PF|=m，pF|=n，則|m-n=8，iqFj=2c=10由余弦定理：(2c)2=m2+n2-2mn-cos—3100=加一n)2+2mn-mnTOC\o"1-5"\h\z1 c1 、3 —?..S=—mn?sin60°=--36?——=9<3、第pf2 2 2 2例二：解：設(shè)所求雙曲線方程為Ax2-By2=1,(AB>0)‘9A-32B=1A=-181 o,9—A-25B=1D 1<16B=--1 16???所求雙曲線方程為:二-三二116 9依題意：JTOC\o"1-5"\h\z例三：分析:在^ABC中由正弦定理可把sinB-sinC=3sinA轉(zhuǎn)化為b-c=3a，結(jié)合圖形可知頂點A的軌5 5跡是以B、C為兩焦點，實軸長為6的雙曲線的左支。（完整word版）高二數(shù)學(xué)雙曲線知識點及例題解:在3BC中，|BC|二10由正弦定理：sinB-sinC=3sinA5可化為：|AC|_|AB尸3|BC|=6???頂點A的軌跡是以B、C為兩個焦點，實軸長為6的雙曲線的左支又..(=51=3,「.13=4???頂點a的軌跡方程為E-22=1（x<-3）9 16注：（1）利用正弦定理可以實現(xiàn)邊與角的轉(zhuǎn)換，這是求軌跡方程的關(guān)鍵;（2）對于滿足曲線定義的，可以直接寫出軌跡方程；（3）求軌跡要做到不重不漏，應(yīng)刪除不滿足條件的點。例四：解：（1）由橢圓方程知：a=3,b=2,c=55,焦點fi（石，0）,小，50）???設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：上-22=1a2b2

1 1（完整word版）高二數(shù)學(xué)雙曲線知識點及例題由已知條件得:a由已知條件得:a=2ib=1via2

iC2=12+b21111???所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:（2）解法一:

—1）在第四象限TOC\o"1-5"\h\z又?.?雙曲線上_龍=1的漸近線為y=±2%9 4 3將M點的橫坐標(biāo)x=2代入y=- =-32 3 -???雙曲線的焦點必在X軸上J設(shè)雙曲線方程為：上-￡=1。2 /?2(b2=18=8???所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：蘭-Zi=i18 8解法二：?.?所求雙曲線與已知雙曲線有共同的漸近線）=±2]3???設(shè)所求雙曲線方程為：上-21=入（入工。）9 4又所求雙曲線過點嵋,又所求雙曲線過點嵋,-1(-1)2 二入，.,.入=2所求雙曲線方程為：=-Zi=i18 8

（完整word版）高二數(shù)學(xué)雙曲線知識點及例題解：（1）設(shè)AB的方程為:y-1=k（x-1）-y=kx+1-k<x2y2 ，消去y——--=1TOC\o"1-5"\h\z[4 2I-2k2*2+Qk2-4k1-2k2+4k-6=0設(shè)A(x,y),B(x,y)，則Mfx「x2,y「/"|1 1 2 2I2 2).. 4k-4k2 x+x 2k-2k2 4…x+x= ，即t——2-= =11 2 1-2k2 2 1-2k2又A=(4k2-4k)2-4(1-2k2)(-2k2+4k-6)將k=，代入A>02???所求直線AB的方程為：x-2y+1=0(1)另儂：設(shè)A(x,y),B(x,y)，則Mfx1+x2,y1+y2]1 1 2 2I2 2J?A、B在雙曲線上-或4 2x2<1>-<2>：(x+x)(x-x1+y2)(y-2)=0又?x+x=2，y+y=2「.2（x-x）=4（y-y）當(dāng)0=x2時，直線AB與雙曲線沒有交點。豐x，那么工——入-=—，k=—2x-x2AB212直線AB的方程為：x-2y+1=0(完整word版)高二數(shù)學(xué)雙曲線知識點及例題???雙曲線的一條漸近線為y=立x2又1<2,?直線與雙曲線有兩個交點TOC\o"1-5"\h\z2 2 …x-2y+1=0即為AB的方程(2)假設(shè)過n[1,1^的直線l交雙曲線于C(x3,y3),D(x4,y/兩點住—A1 <3>則14 2X2一"=1 <4>[4 2<3>-<4>：(x+x)4-X)-2(y-y)(y+y)=0依題意xwx，又x+x=2，y+y=1???二4二1二kx-x CD3 4??雙曲線的一條漸近線為y=11x2??1>二，.二直線/與雙曲線沒有公共點2二使點N[1，1^|為弦的中點的直線不存在例六：1.答案：A3.分析：解決本題的關(guān)鍵是尋找動點M滿足的條件，對于兩圓相切，自然找圓心距與半徑的關(guān)系。（完整word版）高二數(shù)學(xué)雙曲線知識點及例題解：設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和B，根據(jù)兩圓外切的充要條件知:|MC|-|AC1=