基本體投影及表面交線

第三章立體3.1基本體的投影、表面取點(diǎn)及切割3.2立體相貫平面基本體曲面基本體一、基本體的分類一、平面立體棱柱棱柱切割體棱錐棱錐切割體你能畫嗎？§3.1平面立體及其切割1.棱柱(1)棱柱的三視圖23（4）(3)1(1)32(1)4(4)(2)67（8）75(5)765886ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ定頂點(diǎn)，連棱線，顯平面，立體現(xiàn)

aa

aA

aa

a1.棱柱(2)棱柱的面上取點(diǎn)234（3）1321（4）421

b

b

b

B

b

bb2（3）1（4）2341ⅠⅡⅢⅣ⑶棱柱面上取點(diǎn)的思路已知影面的積聚性第二影點(diǎn)三規(guī)第三影棱上取點(diǎn)的思路已知影第二影、第三影棱上的點(diǎn)在棱上截交線截平面平面截切立體在立體表面會形成截交線平面立體的截交線形狀是平面多邊形。怎樣求平面立體的截交線?截交線是截平面與平面立體表面的公共線，截交線截平面ⅠⅣⅢⅡ截交線上的點(diǎn)是截平面與立體表面的公共點(diǎn)。求平面立體截交線的實(shí)質(zhì)就是求截平面與立體表面的公共點(diǎn)3）平面立體的截交線的性質(zhì)①求平面立體的截交線的步驟截交線截平面ⅠⅣⅢⅡ①求點(diǎn)求平面立體的棱線與截平面的交點(diǎn)；②連線按一定順序并根據(jù)可見性連線。23（4）3113214422311324（4）ⅠⅣⅢⅡ⑴棱柱的截切⑴棱柱的截切33（5）11（2）5（4）2（4）123451.棱錐(1)棱錐的三視圖bacss(c)ba(d)bacsddbacsdbacs(d)s(c)badSCBAD⑵棱柱的面上取點(diǎn)Ⅰ1ssa1sasassSA11a1aa⑵棱錐的面上取點(diǎn)的思路已知影第二影第三影面上作輔助線點(diǎn)三規(guī)截交線截平面(3)棱錐的截切⑴棱錐的截切Aaa32bcss(c)ba(d)bcsdd2（4）311321441ⅠⅣⅢⅡ⑴棱錐的截切31234214（4）132⑴棱錐的截切1、棱柱面上取點(diǎn)的思路已知影面的積聚性第二影點(diǎn)三規(guī)第三影3、棱上取點(diǎn)的思路已知影棱上的點(diǎn)在棱上第二影、第三影已知影面上作輔助線第二影點(diǎn)三規(guī)第三影2、棱錐的面上取點(diǎn)的思路小結(jié)三、回轉(zhuǎn)體（１）圓柱體的三視圖１圓柱mmm（２）圓柱面上取點(diǎn)mmmM傾斜于軸線

橢圓平行于軸線

直線2）圓柱的截交線平面截圓柱時(shí)，由于截平面與圓柱的軸線相對位置不同，其截線有三種不同的形狀。垂直于軸線圓⑶圓柱面上取點(diǎn)111222333444555666777888ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ3）求回轉(zhuǎn)體截交線步驟：1.分析

截交線的形狀及投影形狀2.求點(diǎn) （1）求特殊點(diǎn)(最上點(diǎn)、最下點(diǎn)、最左點(diǎn)、最右點(diǎn)、最前點(diǎn)、最后點(diǎn)、輪廓線上的點(diǎn)等) （2）求一般點(diǎn)3.連線圓柱截交線ⅠⅡ3(4)ⅢⅣ1(2)3'4'2'1'（3″）1″（4″）2″（１）圓錐體的三視圖bacss(c)ba(d)bacsddSCBAD2.圓錐⑵圓錐表面上取點(diǎn)1assa1asSⅠAbmssmbmsSMo⑵圓錐表面上取點(diǎn)111222344433555677766888ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ（３）圓錐切割傾斜于軸線θ＞α橢圓圓垂直于軸線θ=90°雙曲線傾斜于軸線θ＜α拋物線平行于一條素線θ=α2、圓錐的截交線:平面截切圓錐時(shí)，根據(jù)截平面與圓錐軸線相對位置不同，圓錐面上產(chǎn)生五種不同形狀的截交線。3.圓球（１）圓球的三視圖，，ⅠⅡⅢ123

1231233.圓球（２）圓球面上取點(diǎn)輔助圓法，ｏ，bmmbmMo，，（３）圓球的截交線，111222344433555677766888例1：已知半球體的Ｖ面投影，求其Ｈ／Ｗ投影輔助圓法，，４、圓環(huán)（1）圓環(huán)的投影輔助圓法，ｏbmbmoM

（２）圓環(huán)面上取點(diǎn)1、圓柱面上取點(diǎn)的思路已知影面的積聚性第二影點(diǎn)三規(guī)第三影3、輪廓線上取點(diǎn)的思路已知影輪廓線上的點(diǎn)在輪廓線上第二影、第三影已知影面上作輔助線第二影點(diǎn)三規(guī)第三影2、圓錐的面上取點(diǎn)的思路小結(jié)3.2兩立體相貫

【教學(xué)重點(diǎn)】掌握兩回轉(zhuǎn)體表面相貫線的求作思路與方法【教學(xué)難點(diǎn)】如何選擇切平面【教學(xué)內(nèi)容】項(xiàng)目：圓柱與圓柱相貫圓柱與圓錐相貫?zāi)Ｐ腿蝿?wù)：繪制圓柱與圓柱相貫圓柱與圓錐相貫的三視圖能力目標(biāo)：能繪制相貫體的三視圖立體表面相貫線相貫線一、相貫2、相貫線的概念：兩立體表面的交線稱為相貫線。1、相貫的概念：兩立體相交稱為相貫。一、相貫二、相貫線的性質(zhì)如下：1、相貫線是兩立體表面的共有線，也是兩相交立體表面的分界線。2、相貫線上的所有點(diǎn)都是兩立體表面的共有點(diǎn)。三、求相貫線的思路:求相貫線→求相貫線上的點(diǎn)→求兩立體表面的共有點(diǎn)四、求兩回轉(zhuǎn)體相貫線的投影的步驟：1、求特殊點(diǎn)的投影，(1)一個(gè)回轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)向輪廓線與另一個(gè)回轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)向輪廓線的交點(diǎn)，(2)一個(gè)回轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)向輪廓線與另一個(gè)回轉(zhuǎn)體的表面的交點(diǎn),(3)對稱的相貫線在其對稱面上的點(diǎn)，(4)最高、最低、最左、最右、最前、最后這些確定相關(guān)線形狀和范圍的點(diǎn)，2、求作一般點(diǎn)，3、用光滑的曲線連接各點(diǎn)的同面投影，從而作出相貫線的投影。（一）積聚性法(1)積聚性法

當(dāng)兩回轉(zhuǎn)體相交，如果其中有一個(gè)是軸線垂直于投影面的圓柱，則相貫線在該投影面上的投影就在圓柱面的積聚性投影上。這樣就可以在相貫線的積聚性投影上取一些點(diǎn)，按回轉(zhuǎn)體表面上取點(diǎn)的方法作出相貫線的其他投影。這就是積聚性法.(2)思路五、求兩回轉(zhuǎn)體相貫線的投影的方法積聚性法輔助平面法。求相貫線→求點(diǎn)→在積聚性投影（已知投影）上確定點(diǎn)→用表面上取點(diǎn)的方法確定第二投影→根據(jù)點(diǎn)的兩面投影及點(diǎn)的三面投影規(guī)律確定第三投影→連接各點(diǎn)的同面投影→相貫線

（一）積聚性法(1)積聚性法

當(dāng)兩回轉(zhuǎn)體相交，如果其中有一個(gè)是軸線垂直于投影面的圓柱，則相貫線在該投影面上的投影就在圓柱面的積聚性投影上。這樣就可以在相貫線的積聚性投影上取一些點(diǎn)，按回轉(zhuǎn)體表面上取點(diǎn)的方法作出相貫線的其他投影。這就是積聚性法.(2)思路五、求兩回轉(zhuǎn)體相貫線的投影的方法積聚性法輔助平面法。求相貫線→求點(diǎn)→在積聚性投影（已知投影）上確定點(diǎn)→用表面上取點(diǎn)的方法確定第二投影→根據(jù)點(diǎn)的兩面投影及點(diǎn)的三面投影規(guī)律確定第三投影→連接各點(diǎn)的同面投影→相貫線

例2如圖所示，已知兩圓柱的三面投影，求作它們的相貫線。

分析：由于兩圓柱的軸線分別為鉛垂線和側(cè)垂線，兩軸線垂直相交，其相貫線的水平投影就積聚在鉛垂圓柱的水平投影上，側(cè)面投影積聚在側(cè)垂圓柱的側(cè)面投影圓上。已知相貫線的兩個(gè)投影既可求出其正面投影。

１、求特殊點(diǎn)：定出1’、2’→1、2、→1”、2”它們是水平圓柱最上、最下素線上的點(diǎn)的投影

2"1"(2)１33"4"3'(4')2'4定出3、4→3”、4”點(diǎn)，→3’、4’它們是水平圓柱最前、最后素線上的點(diǎn)的投影ⅡⅠⅢⅣ

b1'2、求一般點(diǎn)。（１）在相貫線的側(cè)面投影上定出上下、前后對稱的四點(diǎn)5”、6”、7”、8”，5"6"(7')8'7"8"6(8)6'(5')5(7)（２）求出它們的水平投影5、6、7、8，（３）由這四點(diǎn)的兩面投影，求出對應(yīng)的正面投影5’6’7’8’。在積聚性投影上確定點(diǎn)用表面上取點(diǎn)確定第二投影根據(jù)點(diǎn)的兩投影及點(diǎn)的三面投影規(guī)律確定第三投影積點(diǎn)→面點(diǎn)→規(guī)點(diǎn)ⅥⅤ連接各點(diǎn)的正面投影，即得相貫線的正面投影。由于前半相貫線在兩個(gè)圓柱的前半個(gè)圓柱面上，所以其正面投影1’5’3’8’2’可見，而后半相貫線的正面投影1’6’4’7’2’不可見，但與前半相貫線重合.(7')8'6'(5')2'1'3'(4')連接各點(diǎn)的正面投影，即得相貫線的正面投影。由于前半相貫線在兩個(gè)圓柱的前半個(gè)圓柱面上，所以其正面投影1’5’3’8’2’可見，而后半相貫線的正面投影1’6’4’7’2’不可見，但與前半相貫線重合.六、當(dāng)圓直徑變化時(shí)，相貫線的變化趨勢。(a)(b)(c)連接各點(diǎn)的正面投影，即得相貫線的正面投影。由于前半相貫線在兩個(gè)圓柱的前半個(gè)圓柱面上，所以其正面投影1’5’3’8’2’可見，而后半相貫線的正面投影1’6’4’7’2’不可見，但與前半相貫線重合.2"1"(2)１33"4"3'(4')2'4

b1'(6)577'(8')6'85'9"10"(11')12'11"12"10(12)10'(9')9(11)連接各點(diǎn)的正面投影，即得相貫線的正面投影。由于前半相貫線在兩個(gè)圓柱的前半個(gè)圓柱面上，所以其正面投影1’5’3’8’2’可見，而后半相貫線的正面投影1’6’4’7’2’不可見，但與前半相貫線重合.(7')8'6'(5')2'1'3'(4')連接各點(diǎn)的正面投影，即得相貫線的正面投影。由于前半相貫線在兩個(gè)圓柱的前半個(gè)圓柱面上，所以其正面投影1’5’3’8’2’可見，而后半相貫線的正面投影1’6’4’7’2’不可見，但與前半相貫線重合.連接各點(diǎn)的正面投影，即得相貫線的正面投影。由于前半相貫線在兩個(gè)圓柱的前半個(gè)圓柱面上，所以其正面投影1’5’3’8’2’可見，而后半相貫線的正面投影1’6’4’7’2’不可見，但與前半相貫線重合.二、求圓柱與圓錐的相貫線1.分析：圓柱全部穿進(jìn)左半圓錐，相貫線為封閉的空間曲線由于相貫線在圓柱的側(cè)面上，而圓柱的側(cè)面投影又積聚成圓，所以相貫線的側(cè)面投影也必然重合在這個(gè)圓上。相貫線的側(cè)面投影已知，只需求相貫線的正面投影和水平投影。2.求相貫線上的點(diǎn)（1）輪廓線與輪廓線的交點(diǎn)Ⅰ2.求相貫線上的點(diǎn)（1）輪廓線與輪廓線的交點(diǎn)1"(2)１1'2'2"用過前后對稱面的正平面P1切圓柱和圓錐,ⅡP1（1）確定1’、2’，（2）確定1”、2”(3)求出1、2，？哪個(gè)投影能確定ⅢⅣ（2）輪廓線與面的交點(diǎn)3"344"3'(4')1）用過圓柱的前后輪廓線的水平面P2切圓柱和圓錐,P2aO切之結(jié)果？如何切之？為何這樣切？（1）確定3”、4”，（2）求出3、4，(3)求出3’、4’？截交線哪個(gè)投影能確定截交線的交點(diǎn)哪個(gè)投影能確定ⅢⅣ2）輔助平面法：用輔助平面切割兩立體，輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體會切出截交線，它們的截交線的交點(diǎn)必為兩立體表面的共有點(diǎn)，既相貫線上的點(diǎn)，這種求相貫線的方法稱為輔助平面法。討論：輔助平面法的思路求共有點(diǎn)求相貫線作有共有點(diǎn)的線用輔助平面切割兩立體作出輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線確定交點(diǎn)線一定要能畫出來直線或圓（正平圓、水平圓和側(cè)平圓）

輔助切平面應(yīng)為正平面、水平面和側(cè)平面3）輔助平面法的思路將點(diǎn)連成線交點(diǎn)就是相貫線上的點(diǎn)ⅢⅣ平行切求交線定交點(diǎn)連成線切靈魂一定要ⅤⅥ5"6"65P31）用過圓柱的上半部分的水平面P3切圓柱和圓錐,b（1）確定5”、6”，（2）求出5、6，(3)求出5’、6’（3）面與面的一般交點(diǎn)O6'(5')？截交線哪個(gè)投影能確定截交線的交點(diǎn)哪個(gè)投影能確定8"(7')8'7"(8)(7)2）用過圓柱的下半部分的水平面P4切圓柱和圓錐,（1）確定7”、8”，（2）求出7、8，(3)求出7’、8’P4ⅦⅧOc(7')8'6'(5')2'1'3'(4')65(8)(7)34(2)１根據(jù)可見性判斷別原則可知：正面投影中1’、6’

、3’

、8’

、2’點(diǎn)在前半個(gè)圓柱面上可見，正面投影中1’、5’

、4’

、7’、2’點(diǎn)在后半個(gè)圓柱面上不可見，但前后兩者重合，畫實(shí)線。水平投影中3、6、1、5、4點(diǎn)在上半個(gè)圓柱面上，可見，故畫實(shí)線，水平投影中3、8、2、7、4點(diǎn)在下半個(gè)圓柱面上，不可見，故畫虛線，3、依次連接各點(diǎn)的同面投影4、整理三、圓柱與圓錐相貫的三種情況（1）（2）（3）平行切求交線定交點(diǎn)連成線四、小結(jié)作業(yè)：習(xí)題集18頁4、5、6相貫線需求點(diǎn)輪輪交、輪面交、面面交、最之交用輔助平面法求相貫線的方法平行切求交線定交點(diǎn)連成線四、小結(jié)(二）輔助平面法（1）輔助平面法：用輔助平面切割兩立體，分別作出輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體的截交線，這兩條截交線的交點(diǎn)必為兩立體表面的共有點(diǎn)既相貫線上的點(diǎn)，這種求相貫線的方法稱為輔助平面法。例6如圖4-21所示，求作圓臺與半球的相貫線。分析：從已知條件可以看出，圓臺的軸線不通過球心，但圓臺和球前后對稱，相貫線是一條前后對稱的封閉的空間曲線，前半段相貫線與后半段相貫線的正面投影重合。由于兩個(gè)立體表面都沒有積聚性投影，故其投影可采用輔助平面法求出。根據(jù)選擇輔助平面的原則，對圓臺而言，應(yīng)選擇通過圓臺延伸后的錐頂或垂直于圓臺軸線的平面；對球而言，應(yīng)選擇投影面的平行面。綜合這兩種情況，輔助平面除了可選擇過圓臺軸線的正平面和側(cè)平面外，還應(yīng)選擇水平面。

作圖：

1、求特殊位置點(diǎn)（1）選擇過圓臺軸線的正平面為輔助平面，它與圓臺表面相交于最左、最右兩條素線，與球面相交于平行于正面的大圓，在它們的正面投影的交點(diǎn)，就是相貫線上點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ的正面投影1’、2’，由1’、2’可直接作出1、2和1”、2”。

1'(1")2'2"2１ⅠⅡ（2）再選擇過圓臺軸線的側(cè)平面為輔助平面，它與圓臺表面的截交線是最前、最后兩條素線，與半球的截交線是側(cè)平半圓，作出它們的側(cè)面投影的交點(diǎn)3”、4”,即為相貫線上點(diǎn)Ⅲ、Ⅳ的側(cè)面投影。由3”、4”可直接作出3