高中數(shù)學(xué)集合與函數(shù)基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)分析新課標(biāo)人教A版必修

集與數(shù)本質(zhì)識(shí)分一集一集的關(guān)念1.關(guān)于集合的元素的特征（）元的定）元素互性元素?zé)o性2.元素與集合的關(guān)系；屬于a∈A不屬于a二集的示法列舉法；描述法；圖示法；符號(hào)簡(jiǎn)記法。三）集合的基本關(guān)系：1、集合與集合之間的“包含”系；2、集合與集合之間的“等”關(guān)系；A且BA則A中元素是樣的，因此

即

A

AB3、真子集的概念4、空集的概念：不含有任何元的集合稱為空集，記作：

規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。5、結(jié)論：1eq\o\ac(○,1)

Aeq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)A，且C，C2集與數(shù)集的交集是（例A={(，yy=x+1}B={=x+1}則∩=）一般地，含n(n≠個(gè)素的集a,集的個(gè)數(shù)是，有真子集的個(gè)數(shù)是2n12n

-1，非空真子集的個(gè)數(shù)為

四集的本算1.并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩显厮M成的集合，稱為集合A與B的并集記作：∪；∪B={x|x∈，∈B}圖示：A

BA∪2.交集：一般地，由屬于集合A且于集合的元所組成的集合，叫做集合A與B的交（intersection記作：∩；∩B={x|∈，x∈交集的Venn圖表示3.補(bǔ)集：全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合全集Universe通常記作U補(bǔ)集：對(duì)于全集U的一個(gè)子集A，由全集U中所有不屬于集合A的有元素組成集合稱為集合相于全集U的補(bǔ)集（complementary）簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)，記作：A；CA={x|x∈且x∈A}說：補(bǔ)集的概念必須要有全集的限制補(bǔ)集的Venn圖表示4.集合基本運(yùn)算的一些結(jié)論：

交集：A∩B，A∩BA∩A=A，∩=,A∩B=B∩

/

U

1212并集：∪，B∪，∪A=A∪A∪B=B∪補(bǔ)集（A）∪，（）∩若A∩B=A，A，之也成

若A∪，A

B，反之也成立若x∈（∩x∈且x∈6．摩根反演律∩B）∪C=（∪C）∩A∪）（∪）∩C=（A∩C）∪（∩C）二函相概和質(zhì)、函數(shù)念解式分函、合數(shù)概：）映函數(shù)）函的示

若x∈（∪∈，xB列表法：用表格的形式表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法，稱為列表法．圖象法：用圖象把兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系表示出來的方法，稱為圖象法．解析法：一個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用自變量的解析式表示出來，這種方法稱為解析法．）分函（分段函數(shù)的定義：在定義域的不同部分，有不同對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)稱為分段函數(shù)．（分段函數(shù)的定義域和值域：分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，其值域是各段值域的并．）復(fù)函:是的數(shù)，u又的函數(shù)，即

y(),(x),x,b),(,n)

，那么y關(guān)于x的函

yf[f(x(a,b

，叫做f的合函數(shù)u做中間變量u的值范圍是

()

的值域。、函數(shù)義：（）確定函數(shù)定義域的原則（四條）（）復(fù)函數(shù)定義域的求法：①若已知

f[()]

的定義域?yàn)?/p>

a)求()

的定義域，其方法是：利用

a，得(x)

的范圍，此即

f(x

的定義域。②若已知

f(x

的定義域?yàn)?/p>

xab，f[g(x)]

的定義域，其方法是：利用

g(x，得x范圍，此即

f[()]

的定義域、函值求方：一、直接法：從自變量x的圍出發(fā)，推出

yf()

的取值范圍。二、配方法（二次函數(shù)法法式求“二次函數(shù)類”值域的基本方法。形如F()af()x的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法三、反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，到原函數(shù)的值域。四、分離常數(shù)法：分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法，此類問題一般也可以反函數(shù)法。五、換元法：運(yùn)用代數(shù)代換，獎(jiǎng)所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值，形如yaxcx

（

、

、

c

、

均為常數(shù)，且

）的函數(shù)常用此法求解。六、判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于

x

的二次方程

,)

；通過方程有實(shí)數(shù)根，判別式

，從而求ax得原函數(shù)的值域，形如y11（、不時(shí)為零）的函數(shù)的值域，常用此方法求解。ax2七、函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個(gè)定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值。八、利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求最值：當(dāng)一個(gè)函數(shù)在定義域上可導(dǎo)時(shí)，可據(jù)其導(dǎo)數(shù)求最值。九、利用重要的不等式：基本不等式求值域。十、圖像法（數(shù)形結(jié)合法圖像是掌握函數(shù)的重要手段，利用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)函數(shù)圖求得函數(shù)值域，是一種求值域的重要方法。注求函數(shù)的值域沒有通性解法，只有根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征來確定相應(yīng)的解法。但不論哪種方法都應(yīng)遵循一個(gè)原則：定義域優(yōu)先的原則。、反數(shù)1）反函數(shù)的定義：

y

()/

2）原函數(shù)與反函數(shù)有兩個(gè)“交關(guān)系量與因變量、定義域與值.求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)，分三步：逆解、交換、定域（確定原函數(shù)的值域，并作為反函數(shù)的定義注：

faf

()

，

f[f

(x)]

，

f

(x)]

，但

f[f

()]f

()]

.②函數(shù)yfx的反函數(shù)是y

()

，而不是f

(.、函的調(diào)：1）定義；特征：增（減）函數(shù)，隨自變量x的增大而增大（減小從左邊往右邊看函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)圖象是下降的．2）若函數(shù)

yx)

在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)

yfx)

在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)

yx)

的單調(diào)區(qū)間此也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函3）判斷證明函數(shù)單調(diào)性的一般驟是：⑴設(shè)x,x是定間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x<；作差(x)－f(x)，將差式變形（要注意變2112形的程度判f)－fx)的負(fù)（要注意說理的充分性根()－f()的號(hào)確定其212增減性4）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷對(duì)于函數(shù)

y)

和

g(x

，如果

g(x

在區(qū)間

(a)

上是具有單調(diào)性，當(dāng)

xa)

時(shí)，(,)

且

y)

在區(qū)間

(mn

上也具有單調(diào)性復(fù)合函數(shù)

yf((x))

在區(qū)間

(a)

具有單調(diào)性的規(guī)律見下表：以上規(guī)律還可總結(jié)為同向得增，異向得減”或“同增異減”、函奇性

y)g(xyf((x))

增↗減↘增↗減↘增↗減↘增↗減↘減↘增↗1、定義：如果對(duì)于函數(shù)()定義域內(nèi)的任意都有(－x)=－()，則稱fx)為奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意都f－xf()，則稱f為偶函數(shù)。如果函數(shù)(不具有上述性質(zhì)，則()不具有奇偶性如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則(既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注

意：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)函是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)由函數(shù)的奇偶性定義可知，數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則－x也定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（）用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)首先定函數(shù)的定義域，并斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)確定f(－)與()的關(guān)系；eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,)作出應(yīng)結(jié)論：若－)=f)或－x－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若－)－()或f－)＋(x=，則fx)是奇函數(shù)。2、函數(shù)奇偶性的幾個(gè)性質(zhì)：（）偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（）偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x都必須成立；（）

f((x)f(x)f()f()

是偶函數(shù)，f((x)f(xf()f(x)

是奇函數(shù)；（）圖象的對(duì)稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)；②設(shè)f(x)，gx)的定義域分別是，那么在它的公共定義域上：12奇奇奇奇偶，偶偶偶偶偶，奇奇（）據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)注任函數(shù)均可表示為一個(gè)奇函與一個(gè)偶函數(shù)之和，即：F()(x)(x其中g(shù)x)為奇數(shù)，h(x)為偶函數(shù)/

hx

F()(()(),g()2、周性（）義：如果存在使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有(x+T)=()的非零常數(shù)T，則稱fx)為周期函數(shù)；（）質(zhì)：①(x+T)=(x常常寫作

f(

TT)f(x),2

若(x)的周期，存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱它為fx)T的最小正周期；②若周期函數(shù)(x的周期為T，f(ω)（ω≠）是周期函數(shù)，且周期為。、最（）義：最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=fx)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿：①對(duì)于任的x∈，都有()≤；②存在x∈，使得()=。那么，稱M是函數(shù)=()最大值。最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=fx)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿：①對(duì)于任的x∈，都有()≥；②存在x∈，使得()=。那么，稱M是函數(shù)=()最大值。注意：①函數(shù)最大（?。┦紫葢?yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x∈I，使得f(x=；②函數(shù)最大（?。?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑?，即對(duì)于任意I，都有(≤（(≥（）用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ǎ篹q\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)利用次函數(shù)的性質(zhì)（配方）求函數(shù)的最大（?。┲担籩q\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)利用象求函數(shù)的最大（小值