高中數(shù)學(xué)填空題的解題方法

填空題的解題方法題型地位數(shù)學(xué)填空題是一種只要求寫出結(jié)果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，填空題的類型一般可分為完形填空題、多選填空題、條件與結(jié)論開放的填空題，這說明了填空題是數(shù)學(xué)高考命題改革的試驗(yàn)田，創(chuàng)新型的填空題將會(huì)不斷出現(xiàn)．填空題的分值一般占全卷的13%左右．題型特點(diǎn)根據(jù)填空時(shí)所填寫的內(nèi)容形式，可以將填空題分成兩種類型：(1)定量型，要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系，如方程的解、不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線段長(zhǎng)度、角度大小等．由于填空題和選擇題相比，缺少選項(xiàng)的信息，所以高考題多以定量型問題出現(xiàn)．(2)定性型，要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對(duì)象或者填寫給定數(shù)學(xué)對(duì)象的某種性質(zhì)，如填寫給定二次曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等，近幾年又出現(xiàn)了定性型的具有多重選擇性的填空題．解題策略數(shù)學(xué)填空題絕大多數(shù)是計(jì)算型(尤其是推理計(jì)算型)和概念(性質(zhì))判斷型的試題，解答時(shí)必須按規(guī)則進(jìn)行切實(shí)的計(jì)算或者合乎邏輯的推演和判斷，幾乎沒有間接方法可言，更是無從猜答，所以在解填空題時(shí)，一般要有合理的分析和判斷，要求推理、運(yùn)算的每一步都正確無誤，并且還要將答案表達(dá)準(zhǔn)確、完整．合情推理、優(yōu)化思路、少算多思是快速、準(zhǔn)確解答填空題的基本要求，簡(jiǎn)言之，解填空題的基本原則是“小題不能大做”，基本策略就是“準(zhǔn)”“巧”“快”．其基本方法一般有直接求解法、圖象法和特殊法以及等價(jià)轉(zhuǎn)化法等．另外，在解答填空題時(shí)還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)結(jié)果要書寫規(guī)范，如分式的分母不含根式，特殊角的函數(shù)要寫出函數(shù)值，近似計(jì)算要達(dá)到精確度要求等．(2)結(jié)果要完整，如函數(shù)的解析式要寫出定義域，應(yīng)用題不要忘記寫單位，求軌跡要排除不滿足條件的點(diǎn)等．(3)結(jié)果要符合教材要求，如求不等式的解集要寫成集合或區(qū)間的形式，不能只用一個(gè)不等式表示．總之，解填空題的基本原則是“直撲結(jié)果”．eq\x(命題方向1直接法)對(duì)于計(jì)算型的試題，多通過直接計(jì)算求得結(jié)果，這是解決填空題的基本方法．它是直接從題設(shè)出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論，通過巧妙地變形，直接得到結(jié)果的方法．要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，有意識(shí)地采取靈活、簡(jiǎn)捷的解法解決問題．例1(1)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＝2，cosC＝－eq\f(1,4)，3sinA＝2sinB，則c＝4.[解析]在△ABC中，因?yàn)?sinA＝2sinB．由正弦定理可知3a＝2b，因?yàn)閍＝2，所以b＝3.由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝16，所以c＝4.(2)(2017·江蘇卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－2x＋ex－eq\f(1,ex)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1，eq\f(1,2)].[解析]因?yàn)閒(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－eq\f(1,e－x)＝－x3＋2x－ex＋eq\f(1,ex)＝－f(x)．所以f(x)＝x3－2x＋ex－eq\f(1,ex)是奇函數(shù)，因?yàn)閒(a－1)＋f(2a2)≤0，所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)．因?yàn)閒′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2eq\r(ex·e－x)＝3x2≥0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，所以－1≤a≤eq\f(1,2).『規(guī)律總結(jié)』直接法是解決計(jì)算型填空題最常用的方法，在計(jì)算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計(jì)算過程簡(jiǎn)化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解填空題關(guān)鍵．【跟蹤訓(xùn)練】1．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)＝4x，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝－2.[解析]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，所以－f(1)＝f(1)，即f(1)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－4eq\f(1,2)＝－2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(1)＝－2.2．(2017·山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝2py(p>0)交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x.[解析]設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,x2＝2py，))得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，∴y1＋y2＝eq\f(2pb2,a2).又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋eq\f(p,2)＋y2＋eq\f(p,2)＝4×eq\f(p,2)，即y1＋y2＝p，∴eq\f(2pb2,a2)＝p，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x.eq\x(命題方向2特例法)當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當(dāng)特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點(diǎn)、特殊方程、特殊模型等)進(jìn)行處理，從而得出探求的結(jié)論．為保證答案的正確性，在利用此方法時(shí)，一般應(yīng)多取幾個(gè)特例．例2拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左頂點(diǎn)，點(diǎn)M是這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|＝2p，則雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(6),2)x.[解析]由拋物線的定義可知，點(diǎn)M到準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)＝－a的距離就是|MF|＝2p，不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為eq\f(3p,2)，代入y2＝2px，得點(diǎn)M(eq\f(3p,2)，eq\r(3)p)，即M(3a,2eq\r(3)a)，代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,2)，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(6),2)x.『規(guī)律總結(jié)』特例法的理論依據(jù)：若對(duì)所有值都成立，那么特殊值也成立．我們可以利用填空題不需要過程、只需要結(jié)果這一“弱點(diǎn)”，“以偏概全”來求解．如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線與直線AB、AC分別交于不同的兩點(diǎn)P、Q，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2.[解析]由題意可知，eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)的值與點(diǎn)P、Q的位置無關(guān)，而當(dāng)直線PQ與直線BC重合時(shí)，則有λ＝μ＝1，所以eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2.eq\x(命題方向3圖象分析法)對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對(duì)圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果．這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點(diǎn)間距離等，求解的關(guān)鍵是明確幾何含義，準(zhǔn)確規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形．例3若函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿足f(x＋1)＝f(x－1)且x∈[1,3]時(shí)，f(x)＝－x2＋4x－3，函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log8xx>0，,－\f(1,x)x<0，))則方程f(x)－g(x)＝0在區(qū)間[－3,3]上根的個(gè)數(shù)為4.[解析]由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x＋2)＝f(x)，可知此函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，因?yàn)榉匠蘤(x)－g(x)＝0在區(qū)間[－3,3]內(nèi)根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)f(x)和g(x)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．畫出f(x)和g(x)的圖象(如圖所示)，得兩圖象有4個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)－g(x)＝0在區(qū)間[－3,3]上根的個(gè)數(shù)為4.『規(guī)律總結(jié)』數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，在解題時(shí)要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時(shí)要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．【跟蹤訓(xùn)練】函數(shù)f(x)＝4cos2eq\f(x,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))－2sinx－|ln(x＋1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.[解析]函數(shù)f(x)＝4cos2eq\f(x,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))－2sinx－|ln(x＋1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程4cos2eq\f(x,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))－2sinx－|ln(x＋1)|＝0的根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)g(x)＝4cos2eq\f(x,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))－2sinx＝sin2x與h(x)＝|ln(x＋1)|的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．分別畫出其函數(shù)圖象的草圖如圖所示，由圖可知，函數(shù)g(x)與h(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)．eq\x(命題方向4構(gòu)造法)用構(gòu)造法解填空題的關(guān)鍵是由條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，從而簡(jiǎn)化推導(dǎo)與運(yùn)算過程．構(gòu)造法是建立在觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎(chǔ)之上的，首先應(yīng)觀察題目，觀察已知(例如代數(shù)式)形式上的特點(diǎn)，然后積極調(diào)動(dòng)思維，聯(lián)想、類比已學(xué)過的知識(shí)及各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)模型，深刻地了解問題及問題的背景(幾何背景、代數(shù)背景)，從而構(gòu)造幾何、函數(shù)、向量等具體的數(shù)學(xué)模型，達(dá)到快速解題的目的．例4(1)如圖，已知球O的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(2)，則球O的體積等于eq\r(6)π.[解析]如圖，以DA，AB，BC為棱長(zhǎng)構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為球O的直徑，所以CD＝eq\r(\r(2)2＋\r(2)2＋\r(2)2)＝2R，所以R＝eq\f(\r(6),2)，故球O的體積V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\r(6)π.(2)已知f(x)為定義在(0，＋∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)>xf′(x)恒成立，則不等式x2f(eq\f(1,x))－f(x)>0的解集為(C)A．(0,1) B．(1,2)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)[解析]設(shè)g(x)＝eq\f(fx,x)，則g′(x)＝eq\f(xf′x－fx,x2)，又因?yàn)閒(x)>xf′(x)，所以g′(x)＝eq\f(xf′x－fx,x2)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函數(shù)g(x)＝eq\f(fx,x)為(0，＋∞)上的減函數(shù)，又因?yàn)閤2f(eq\f(1,x))－f(x)>0?eq\f(f\f(1,x),\f(1,x))>eq\f(fx,x)?g(eq\f(1,x))>g(x)，則有eq\f(1,x)<x，解得x>1.故選C．『規(guī)律總結(jié)』構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題．【跟蹤訓(xùn)練】設(shè)f(x)是定義在(0，＋∞)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f′(x)<f(x)，則關(guān)于x的不等式xf(1)<ef(lnx)的解集為(1，e).[解析]設(shè)函數(shù)g(x)＝eq\f(fx,ex)，則g′(x)＝eq\f(exf′x－exfx,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)<0，所以g(x)＝eq\f(fx,ex)為(0，＋∞)上的單調(diào)遞減函數(shù)．當(dāng)x>0時(shí)，不等式xf(1)<ef(lnx)等價(jià)于eq\f(flnx,x)>eq\f(f1,e)，即eq\f(flnx,x)>eq\f(f1,e)，所以0<lnx<1，即1<x<e.eq\x(命題方向5正反互推法)多選型問題給出多個(gè)命題或結(jié)論，要求從中選出所有滿足條件的命題或結(jié)論，這類問題要求較高，涉及圖形、符號(hào)和文字語言，要準(zhǔn)確閱讀題目，讀懂題意，通過推理證明，命題或結(jié)論之間正反互推，相互印證，也可舉反例判斷錯(cuò)誤的命題或結(jié)論．例5對(duì)于函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，sinx≤cosx，,cosx，sinx>cosx，))給出下列四個(gè)結(jié)論：①該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；②當(dāng)且僅當(dāng)x＝π＋kπ(k∈Z)時(shí)，該函數(shù)取得最小值－1；③該函數(shù)的圖象關(guān)于x＝eq\f(5π,4)＋2kπ(k∈Z)對(duì)稱；④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ<x<eq\f(π,2)＋2π(k∈Z)時(shí)，0<f(x)≤eq\f(\r(2),2).其中正確結(jié)論的序號(hào)是③④.(請(qǐng)將所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上)[解析]如圖所示，作出f(x)在區(qū)間[0,2π]上的圖象．由圖象易知，函數(shù)f(x)的最小正周期為2π；在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，該函數(shù)都取得最小值－1，故①②錯(cuò)誤．由圖象知，函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝eq\f(5π,4)＋2kπ(k∈Z)對(duì)稱；當(dāng)且僅當(dāng)2kπ<x<eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，0<f(x)≤eq\f(\r(2),2)，故③④正確．『規(guī)律總結(jié)』正反互推法適用于多選型問題，這類問題一般有兩種形式，一是給出總的已知條件，判斷多種結(jié)論的真假；二是多種知識(shí)點(diǎn)的匯總考查，主要覆蓋考點(diǎn)功能．兩種多選題在處理上不同，前者需要扣住已知條件進(jìn)行分析，后者需要獨(dú)立利用知識(shí)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，利用正反互推結(jié)合可以快速解決這類問題．【跟蹤訓(xùn)練】已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，有f(x＋1)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，給出下列命題：①f(2017)＋f(－2018)的值為0；②函數(shù)f(x)在定義域上是周期為2的周期函數(shù)；③直線y＝x與函數(shù)f(x)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；④函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1,1)．其中正確的命題序號(hào)有①③④.[解析]根據(jù)題意，可在同一坐標(biāo)系中畫出直線y＝x和函數(shù)f(x)的圖象如下：根據(jù)圖象可知①f(2017)＋f(－2018)＝0正確，②函數(shù)f(x)在定義域上不是周期函數(shù)，所以②不正確，③根據(jù)圖象確實(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，所以正確，④根據(jù)圖象，函數(shù)f(x)的值域是(－1,1)，正確．eq\x(命題方向6歸納推理法)對(duì)于概念與性質(zhì)的判斷等類型的填空題，應(yīng)按照相關(guān)的定義、性質(zhì)、定理等進(jìn)行合乎邏輯的推理和判斷，尤其是新定義型問題．必須進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理，才能得到正確的結(jié)果．例6(2017·貴陽監(jiān)測(cè))已知不等式1＋eq\f(1,4)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,16)<eq\f(7,4)，照此規(guī)律總結(jié)出第n個(gè)不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…