石大數(shù)學(xué)文化課件04若干數(shù)學(xué)觀點(diǎn)中的數(shù)學(xué)文化-2“類比”的觀點(diǎn)

1第四章若干數(shù)學(xué)觀點(diǎn)中的數(shù)學(xué)文化

第二節(jié)“類比”的觀點(diǎn)

2一、什么是類比

類比，是根據(jù)兩個(gè)（或兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，從而推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨苹蛳嗤囊环N推理方法，也是一種觀點(diǎn)。類比的推理是一種“合情推理”，不是證明，它無(wú)法保證已知相同的屬性與推出的屬性之間有必然的聯(lián)系。但是，它是獲得新思路，新發(fā)現(xiàn)的一種觀點(diǎn)、一種手段。3二、插值問(wèn)題中的類比

1．問(wèn)題：有函數(shù)不知其式，在處取值，在處取值，在處取值，問(wèn)函數(shù)（解析式）為何？

2．類比：有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩，五五數(shù)之剩，七七數(shù)之剩，問(wèn)物幾何？4

這是我們?cè)谇懊妗绊n信點(diǎn)兵與中國(guó)剩余定理”一節(jié)中已經(jīng)解決的問(wèn)題。當(dāng)時(shí)我們有一種成功的方法,叫“單因子構(gòu)件湊成法”。這種方法是：對(duì)每個(gè)要素分別做出一個(gè)構(gòu)件，叫單因子構(gòu)件，再把它們湊在一起，從而解決問(wèn)題。5

具體說(shuō)是：先找到用3除余1、用5和7除均能除盡的數(shù)——70；再找到用5除余1、用3和7除均能除盡的數(shù)——21；找到用7除余1、用3和5除均能除盡的數(shù)——15；然后算出[3，5，7]=105。最后令

，即為所求。6

3．插值問(wèn)題的解法

通過(guò)類比，發(fā)現(xiàn)插值問(wèn)題（有函數(shù)不知其式的問(wèn)題）與“有物不知其數(shù)的問(wèn)題”結(jié)構(gòu)相同，因此可以考慮用“單因子構(gòu)件湊成法”：先作函數(shù)，在處值為1，在處值均為0；再作函數(shù)，在處值為1，在處值均為0；再作函數(shù)，在處值為1，在處值均為0。7

即，；，；，，那么

就是所求的函數(shù)。8原問(wèn)題：有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩，五五數(shù)之剩，七七數(shù)之剩，問(wèn)物幾何？現(xiàn)問(wèn)題：有函數(shù)不知其式，在處取值，在處取值，在處取值，問(wèn)函數(shù)（解析式）為何？原問(wèn)題的解現(xiàn)問(wèn)題的解9

下邊求。最簡(jiǎn)單的是用多項(xiàng)式的方法。比如設(shè)是一個(gè)多項(xiàng)式，則據(jù)條件知，它有兩個(gè)一次因式，可令，再用條件去求。，∴。故。10

同理，可求出，。于是得:

11

經(jīng)驗(yàn)證，它符合要求，稱為插值公式。即該函數(shù)在三點(diǎn)，插進(jìn)去的都是預(yù)先指定的值。它簡(jiǎn)單，明快，可順利地推廣到任意有限多個(gè)點(diǎn)插值的情況。這樣，就可以用一個(gè)連續(xù)的函數(shù)去擬合離散的測(cè)量結(jié)果。12

華羅庚由此聯(lián)想到如何解決具有類似結(jié)構(gòu)的各種問(wèn)題。正是他把上述解決問(wèn)題的基本思想稱為“單因子構(gòu)件湊成法”，并概括成如下的“合成原則”：要做出具有平行的、類似的幾個(gè)性質(zhì)A，B，C的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，而A，B，C分別以某種量刻劃，這時(shí)，可用“單因子構(gòu)件湊成法”：先作B，C不發(fā)生作用，而A取單位量的構(gòu)件，再作C，A不發(fā)生作用，B取單位量的構(gòu)件；再作A、B不發(fā)生作用，C取單位量的構(gòu)件。然后用這些構(gòu)件湊出所求的結(jié)構(gòu)。這個(gè)原則在有的書(shū)里稱為“孫子—華原則”。體現(xiàn)了“化繁為簡(jiǎn)”的思想。13[思]：如何用“類比”的觀點(diǎn)，

推廣

“現(xiàn)問(wèn)題”的上述解答：14原問(wèn)題：有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩，五五數(shù)之剩，七七數(shù)之剩，問(wèn)物幾何？現(xiàn)問(wèn)題：有函數(shù)不知其式，在處取值，在處取值，在處取值，問(wèn)函數(shù)（解析式）為何？原問(wèn)題的解現(xiàn)問(wèn)題的解15三、分割問(wèn)題中的類比

1．問(wèn)題：

5個(gè)平面最多把空間分為幾個(gè)部分？

平面互相盡可能多地相交，才能分割最多。如果5個(gè)平面全都平行，那末空間分成的是6部分，就較少。但5個(gè)平面如何相交最多以致分割最多，一時(shí)也想不清楚，我們想起從“抓三堆”趣味問(wèn)題中學(xué)到的數(shù)學(xué)思想，先把問(wèn)題一般化，再把問(wèn)題特殊化，逐漸找規(guī)律。162．問(wèn)題一般化：

n個(gè)平面最多把空間分為幾個(gè)部分？

記分為個(gè)部分;再令把問(wèn)題特殊化。17

3．問(wèn)題特殊化：從簡(jiǎn)單的情況做起，以便“類比”

4個(gè)平面的情況不易想清楚了。但想到要使平面相交最多，才能把空間分割最多。平面相交最多，有兩個(gè)含義，一是每個(gè)平面都與其它所有平面相交，且任意三個(gè)平面都只交于一點(diǎn)；二是每個(gè)平面都不過(guò)它以外任意三個(gè)平面的交點(diǎn)。18

由此我們想到了空間的四面體，這似乎是四個(gè)平面相交最多（從而分割最多）的情況，把四面體的四個(gè)面延展成四個(gè)平面，是否就能把空間分為最多的部分呢？到底現(xiàn)在把空間分成了幾個(gè)部分呢？暫難想象。由此我們想到去類比“直線分割平面”的情形。194．類比3條直線分割平面的情形這也可以看成是把三角形的三條邊均延長(zhǎng)為直線，看這3條直線把平面分為幾部分。數(shù)一數(shù)，是7部分。這對(duì)我們有什么啟示？20

②①③④⑤⑥⑦21

我們分析一下這7個(gè)部分的特點(diǎn)：

一個(gè)是有限的部分，在三角形內(nèi)部，即①

；其余六個(gè)是無(wú)限的部分，其中②，③，④與三角形有公共頂點(diǎn)，⑤，⑥，⑦與三角形有公共邊。把它們加起來(lái)，于是1+3+3=7。所以3條直線分割平面，最多分為7個(gè)部分。22

5．類比考慮四面體的四個(gè)面延展成4個(gè)平面，把空間分為幾個(gè)部分：有限部分（四面體內(nèi)部）數(shù)為1；無(wú)限部分與原四面體或有一個(gè)公共頂點(diǎn)（有4個(gè)部分），或有一條公共棱（有6個(gè)部分），或有一個(gè)公共面（有4個(gè)部分），于是所分空間總的部分?jǐn)?shù)為1+4+6+4=15。以下仍要考慮這就是一開(kāi)始提出的問(wèn)題：5個(gè)平面最多把空間分為幾個(gè)部分？23

這一問(wèn)題在平面上的類似問(wèn)題是什么？是5條還是4條直線分割平面？又如何類比？想不清楚了。對(duì)我們來(lái)說(shuō)，不如在“一般情形”下考慮問(wèn)題：個(gè)平面分割空間和條直線分割平面。條直線“處于一般位置”的要求也可以說(shuō)是：任何兩條直線都相交；任何三條直線都不共點(diǎn)。個(gè)平面“處于一般位置”的要求是：任兩平面都相交，且任意三個(gè)平面都只交于一點(diǎn)；每個(gè)平面都不過(guò)它以外任意三個(gè)平面的交點(diǎn)。24

進(jìn)而，我們?cè)兕惐戎本€上的問(wèn)題：個(gè)一般位置的點(diǎn)分割直線的問(wèn)題。這一問(wèn)題的結(jié)論比較清楚：個(gè)點(diǎn)最多把直線分為個(gè)部分。這對(duì)我們會(huì)有啟發(fā)。如果我們把極端情況——有零個(gè)分割元素的情況——也考慮在內(nèi)，那么被“分割”成的部分?jǐn)?shù)是1。下圖綜合列出點(diǎn)分直線、直線分平面、平面分空間的已取得的結(jié)果。25

6．類比一般化

（解釋記號(hào)，然后看圖）

分割元素個(gè)數(shù)

被分成的部分?jǐn)?shù)

點(diǎn)分直線直線分平面

平面分空間

011

1

12

2

2

23

4

4

3

47

84

5

155

6

26

于是，我們得到了一系列待解決的問(wèn)題。弧立的問(wèn)題有時(shí)難于理解，而解決系列問(wèn)題有時(shí)比解決弧立問(wèn)題好入手。現(xiàn)在，原問(wèn)題“”已處在系列問(wèn)題之中，比之原來(lái)的情形，求解已有進(jìn)展。27

7．（用類比的觀點(diǎn)）猜想觀察上表中已得到的結(jié)果，看看表中的數(shù)字間有什么聯(lián)系？其中有什么規(guī)律性？從最右一列，先以為有“2的方冪”的規(guī)律，但8后邊的表明這個(gè)猜想不對(duì)。反復(fù)求索的結(jié)果，我們可能忽然看到表中有

34；78715

，以及聯(lián)想到3+4=7，7+8=15。這是一個(gè)獨(dú)特的聯(lián)系：表中已出現(xiàn)的每個(gè)數(shù)都可由它“頭上”的數(shù)與“左肩”上的數(shù)相加而得到。28

表中已出現(xiàn)的每個(gè)數(shù)都可由它“頭上”的數(shù)與“左肩”上的數(shù)相加而得到。

分割元素個(gè)數(shù)

被分成的部分?jǐn)?shù)

點(diǎn)分直線直線分平面

平面分空間

011

1

12

2

2

23

4

4

3

47

84

5

155

6

29

這是我們解決原問(wèn)題的鑰匙嗎？我們猜想它確是規(guī)律。那我們把表按此規(guī)律，順沿到，原問(wèn)題的解就是？

30

分割元素個(gè)數(shù)

被分成的部分?jǐn)?shù)

點(diǎn)分直線直線分平面

平面分空間

011

1

12

2

2

23

4

4

3

47

84

5

（11）

155

6

（16）

（26）

31類比不是證明

但這種類比不是證明，只是合理的猜測(cè)，是合情推理；還需要用邏輯推理分析這一猜測(cè)，去認(rèn)定這一猜測(cè)，或者否定這一猜測(cè)。這才是用類比、歸納的方法去研究問(wèn)題的決定性步驟。32

8．分析、推理我們的分析從“時(shí)直線分平面”入手，我們已經(jīng)通過(guò)“順沿上表”猜想：4條直線最多把平面劃分為11個(gè)部分。它是正確的嗎？我們?cè)?條直線分平面為7個(gè)部分的基礎(chǔ)上，再添加一條直線（用紅色），這條直線與原來(lái)的每條直線都相交，但又不過(guò)任意兩條直線的交點(diǎn)。如右圖。我們數(shù)一下，現(xiàn)在確實(shí)把平面分成了11個(gè)部分。所以這猜測(cè)是對(duì)的，但它為什么是對(duì)的呢？我們?cè)僮鞣治觯黾右恍├硇哉J(rèn)識(shí)，也許還能從中找到理解一般情形的線索。3334

3條直線分平面為7個(gè)部分；4條直線就分平面為11個(gè)部分了，即增加了4部分；從3條直線添一條直線，為什么分割平面正好多出4部分？分析一下：新添的直線與原來(lái)3條直線每條都相交，而且交在與原交點(diǎn)不同的點(diǎn)，這就交出了3個(gè)新交點(diǎn)，這3點(diǎn)把新添的直線分為4段，每一段把它穿過(guò)的（由前3條直線分成的）那個(gè)區(qū)域一分為二，因此“平面分割”增加了4個(gè)部分，這就是“4”的來(lái)歷，而且這個(gè)分析表明，這個(gè)“4”也正是3點(diǎn)把直線分為4部分的“4”，也就是“11”左肩上的“4”。11=4+7原來(lái)是這樣產(chǎn)生的。這種分析已經(jīng)是邏輯推理了，令人信服，極大地增強(qiáng)了我們對(duì)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的信心。35

分割元素個(gè)數(shù)

被分成的部分?jǐn)?shù)

點(diǎn)分直線直線分平面

平面分空間

011

1

12

2

2

23

4

4

3

47

84

5

（11）

155

6

（16）

（26）

36

9．再類比得一般情形的公式

及

我們?cè)兕惐确治鰰r(shí)平面分空間的情況。這時(shí)我們不容易在平面的黑板上作立體圖了，只能借助于剛才四面體延展的那個(gè)圖來(lái)想像。但是我們可以從思維上、語(yǔ)言上類比剛才的情形。37

我們?cè)?個(gè)平面分空間為8個(gè)部分的基礎(chǔ)上，再添加一個(gè)平面，這個(gè)平面與原來(lái)的3個(gè)平面都相交，并且又不過(guò)原來(lái)3平面的交點(diǎn)，從而不過(guò)原來(lái)任兩平面的交線，這就交出了3條新直線，這3條直線把新添加的平面分為7個(gè)部分（就是上面“類比一般化”的大表格中的“7”），每一部分把它穿過(guò)的（由前3個(gè)平面分成的）區(qū)域一分為二，因此“空間分割”增加了7個(gè)部分，而原有8個(gè)部分，這就是15=7+8的來(lái)歷。38

分割元素個(gè)數(shù)

被分成的部分?jǐn)?shù)

點(diǎn)分直線直線分平面

平面分空間

011

1

12

2

2

23

4

4

3

47

84

5

（11）

155

6

（16）

（26）

39

這里的到的過(guò)渡，并沒(méi)有任何特殊的地方，我們可以完全類似地分析由向過(guò)渡時(shí)發(fā)生的情況，得到一般的表達(dá)式。與段落“8”類似地可以得到公式：

與段落“9”類似地可以得到公式：

這兩個(gè)公式都是遞推公式。這種遞推公式與斐波那契數(shù)列的遞推公式有區(qū)別，但思想精神是相通的。40

我們只再敘述一遍較為復(fù)雜的公式

得到的過(guò)程。它實(shí)際上只要在上面的敘述中，把“3個(gè)平面”換為“個(gè)平面”，把“8個(gè)部分”換為“個(gè)部分”，把“3條新直線”換為“條新直線”，把“7個(gè)部分”換為“個(gè)部分”，把“15”換為“”就完成了。簡(jiǎn)單說(shuō)，是在“往前數(shù)三屏”的敘述中，做下邊的代換：，，，。41

個(gè)平面把空間最多分為個(gè)部分，求，不厭其繁地詳細(xì)說(shuō)一遍，就是：我們?cè)趥€(gè)平面分空間為個(gè)部分的基礎(chǔ)上，再添加一個(gè)平面，這個(gè)平面與原來(lái)的個(gè)平面都相交，并且又不過(guò)原來(lái)任3個(gè)平面的交點(diǎn)，從而不過(guò)原來(lái)任兩平面的交線，這就交出了條新直線，這條直線把新添的平面分為個(gè)部分，每一部分把它穿過(guò)的（由前個(gè)平面分成的）區(qū)域一分為二，因此，“空間分割”增加了個(gè)部分，而原有個(gè)部分，所以現(xiàn)在，空間共被分割成的“部分?jǐn)?shù)”是。這就是推出這一公式的邏輯推理過(guò)程。另一公式的邏輯推理過(guò)程，請(qǐng)同學(xué)自己完成。42

分割元素個(gè)數(shù)

被分成的部分?jǐn)?shù)

點(diǎn)分直線直線分平面

平面分空間

011

1

12

2

2

23

4

4

3

47

84

5

（11）

155

6

（16）

（26）

43

10．推出顯公式及

上邊得到的還只是遞推公式、關(guān)系公式，我們希望進(jìn)一步得到像那樣的、關(guān)于及的顯公式，即直接用的解析式來(lái)表達(dá)及。下邊的技巧是常用的。利用及遞推公式得到下面一系列等式，然后等號(hào)兩邊分別相加44

1）直線分平面的情形2）平面分空間的情形454611．另法：用數(shù)學(xué)歸納法證明顯公式

另一種方法是：用不完全歸納法總結(jié)出（或者說(shuō)“猜出”）顯公式，再用數(shù)學(xué)歸納法去證明該顯公式。

1）直線分平面的情形（略）

2）平面分空間的情形（略）47

趣題——填骨牌：用１０個(gè)１×２矩形骨牌擠滿２×１０矩形盒，有多少種方法？如下圖。（矩形骨牌）

（矩形盒）

48

用１０個(gè)１×２矩形骨牌擠滿２×１０矩形盒，有多少種方法？如下圖。