重積分的概念續(xù)及性質(zhì)

重積分的概念續(xù)及性質(zhì)第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日第一節(jié)黎曼積分(續(xù))第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日黎曼積分的性質(zhì)設(shè)為R3中的可度量的幾何形體，則黎曼積分應(yīng)具有一些極限所具有的性質(zhì)這就是說，第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日性質(zhì)1若則其中，為區(qū)域的度量值?；叵肷瞎?jié)課講的質(zhì)量計(jì)算以及在均勻變化時(shí)質(zhì)量=密度×幾何形體的度量值就可以理解這個(gè)性質(zhì)。二重積分：相當(dāng)于以D為底，高為1的平頂柱體體積V=|D|。第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日定積分(區(qū)間[a,b]的長(zhǎng)度)二重積分(平面區(qū)域D的面積)(R3中立體的體積)三重積分曲線積分(平面曲線L的弧長(zhǎng))曲面積分(曲面∑的面積)例1第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日計(jì)算解這相當(dāng)于質(zhì)量問題中的(均勻分布)故常數(shù)因子提出來？極限中有這個(gè)性質(zhì)沒有？比較一下：以D為底高為4的平頂柱體體積例2第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日性質(zhì)2(線性性質(zhì))若為實(shí)數(shù)，則且該性質(zhì)可以推廣至有限個(gè)函數(shù)的線性組合情形第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日由函數(shù)對(duì)區(qū)域和函數(shù)f(X),g(X)進(jìn)行分割,代替,求和,取極限得由極限的運(yùn)算法則，有證第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日性質(zhì)3(對(duì)積分區(qū)域的可加性)定積分的這個(gè)性質(zhì)大家十分熟悉，現(xiàn)在看看二重積分的情形：表示以D為底，以為頂?shù)那斨w的體積?，F(xiàn)在將D分成兩部分D1和D2，相應(yīng)地曲頂柱體也被分成兩個(gè)柱體，這兩個(gè)柱體體積之和等于原柱體的體積嗎？應(yīng)不應(yīng)該有什么限制條件？第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日觀察，比較這兩個(gè)圖形，看將D分成D1+D2時(shí)應(yīng)滿足什么條件？?jī)纱蔚谑?，共三十二頁?022年，8月28日敘述性質(zhì)3設(shè)將任意分成可度量的兩個(gè)部分：與除邊界外無其它公共部分，則且第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日想一想：分成下面的與行不行？將行！行！行！第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日可以將性質(zhì)3中的任意分成有限個(gè)只有公共邊界的部分：第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日性質(zhì)4(保號(hào)性)在一元函數(shù)中我們講過函數(shù)極限的保號(hào)性和連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性（它實(shí)際上也是函數(shù)極限的保號(hào)性）。黎曼積分是經(jīng)過分割—代替—求和—取極限來定義的，它的定義式也是一個(gè)極限式，所以極限的保號(hào)性性質(zhì)也會(huì)在黎曼積分中反映出來。例如，定積分中就講過這個(gè)性質(zhì)。第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日敘述性質(zhì)4設(shè)則第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日性質(zhì)4的推論1設(shè)則第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日性質(zhì)4推論1推論2絕對(duì)值不等式推論1和推論2的詳細(xì)敘述和證明請(qǐng)看書。看就看看就看估值定理極值，有界性第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日性質(zhì)5(估值定理)設(shè)且則有..二維空間兩個(gè)圓柱體之間第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日若是有界閉區(qū)域，則函數(shù)在上必取到它的最大值和最小值各一次。設(shè)則即由這個(gè)式子，你能得到一個(gè)什么樣的結(jié)論？第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日若是有界閉區(qū)域，則函數(shù)在上必取到它的最大值和最小值各一次。設(shè)則即連續(xù)函數(shù)的介值定理看看你得到的結(jié)論是不是下面敘述的形式。由這個(gè)式子，你能得到一個(gè)什么樣的結(jié)論？第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日性質(zhì)6(積分中值定理)若是有界閉區(qū)域，則至少存在一點(diǎn)使得現(xiàn)在看這里如果會(huì)有什么結(jié)果出現(xiàn)？第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日性質(zhì)6若是有界閉區(qū)域，則至少存在一點(diǎn)使得現(xiàn)在看這里如果會(huì)有什么結(jié)果出現(xiàn)？是有界閉區(qū)域，則至少現(xiàn)在看這里需要什么條件來保證(積分中值定理)第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日/能不能確保中值定理中的如果在區(qū)域上恒有則可保證還不能存在U(X0),使得f(X)>0。保號(hào)性行了至少存在一點(diǎn)X0,使得f(X)>0。第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日性質(zhì)6的推論1若是有界閉區(qū)域，且有但/則你能根據(jù)剛才的分析證明這個(gè)推論嗎？第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日證由于及/所以使而故由連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性可知：使令則且用積分的保號(hào)性性質(zhì):≥0用積分中值定理:>0自己在紙上畫一下的圖形第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日從而由積分對(duì)區(qū)域的可加性(性質(zhì)3),得現(xiàn)在由這個(gè)推論反過去想:如果函數(shù)在的任意一個(gè)小區(qū)域上的積分均為零，則函數(shù)在上應(yīng)是什么形式？第二十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日從而由積分對(duì)區(qū)域的可加性(性質(zhì)3),得現(xiàn)在由這個(gè)推論反過去想:如果函數(shù)在的任意一個(gè)小區(qū)域上的積分均為零，則函數(shù)在上應(yīng)是什么形式？啊！第二十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日性質(zhì)6的推論2設(shè)若有則運(yùn)用反證法：設(shè)/則至少有一點(diǎn)X0，使由推論1便可得出矛盾。實(shí)踐出真知學(xué)生自己做第二十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日設(shè)若有則運(yùn)用反證法：設(shè)/則至少有一點(diǎn)X0，使由推論1便可得出矛盾。實(shí)踐出真知學(xué)生自己做令什么結(jié)果？性質(zhì)6的推論2第二十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日性