高等數(shù)學(xué)中兩個重要極限

高等數(shù)學(xué)中兩個重要極限第一頁，共64頁。兩個重要的極限第二頁，共64頁。預(yù)備知識1.有關(guān)三角函數(shù)的知識2.有關(guān)對數(shù)函數(shù)的知識以e為底的指數(shù)函數(shù)y=ex的反函數(shù)y=logex，叫做自然對數(shù)，在工程技術(shù)中經(jīng)常被運用，常簡記為y=lnx.數(shù)e

是一個無理數(shù)，它的前八位數(shù)是：e=2.7182818第三頁，共64頁。3.有關(guān)指數(shù)運算的知識4.無窮小量定義在某個變化過程中，以0為極限的變量稱為在這個變化過程中的無窮小量，常用字母性質(zhì)

無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量.第四頁，共64頁。5.極限的運算法則第五頁，共64頁。X10.50.10.010.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998X－1－0.5－0.1－0.01－0.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998第一個重要極限第六頁，共64頁。OxBACD證第七頁，共64頁。解這個結(jié)果可以作為公式使用例1求第八頁，共64頁。例2注：在運算熟練后可不必代換，直接計算：第九頁，共64頁。練習(xí)1.求下列極限:第十頁，共64頁。第十一頁，共64頁。

例3解例4解第十二頁，共64頁。思考題第十三頁，共64頁。練習(xí)3：下列等式正確的是（）

．

練習(xí)4：下列等式不正確的是（）第十四頁，共64頁。練習(xí)5.下列極限計算正確的是（）練習(xí)6.已知當(dāng)（）時，為無窮小量.

第十五頁，共64頁。，當(dāng)

時，為無窮小量．

練習(xí)7.已知練習(xí)8.練習(xí)9.第十六頁，共64頁。

X-10-100-1000-10000-100000…2.8682.7322.7202.71832.71828

X10100100010000100000…2.5942.7052.7172.7182.71827第二個重要極限第十七頁，共64頁。第十八頁，共64頁。第十九頁，共64頁。解因為所以，有例1第二十頁，共64頁。例2

解

方法一令u=-x，因為x0時u0，所以第二十一頁，共64頁。方法二掌握熟練后可不設(shè)新變量第二十二頁，共64頁。例3解

第二十三頁，共64頁。練習(xí)1.解第二十四頁，共64頁。練習(xí)2.解第二十五頁，共64頁。練習(xí)3.解第二十六頁，共64頁。兩個重要極限:小結(jié)第二十七頁，共64頁。練習(xí)題第二十八頁，共64頁。第二十九頁，共64頁。思考題解因為所以令u=x

-3

，當(dāng)x

時u

，因此第三十頁，共64頁。附錄兩個重要極限的證明第三十一頁，共64頁。OxRABC證

AOB面積<扇形AOB面積<AOC面積,即例兩個重要極限的證明第三十二頁，共64頁。因為所以再次運用定理6即可得≤≤第三十三頁，共64頁。重要極限1

其中的兩個等號只在x=0時成立.證設(shè)圓心角過點A作圓的切線與OB的延長線交于點C，又作則sinx=BD，tanx=AC，第三十四頁，共64頁。第三十五頁，共64頁。這就證明了不等式(7).從而有第三十六頁，共64頁。第三十七頁，共64頁。重要極限2證第三十八頁，共64頁。第三十九頁，共64頁。這是重要極限2常用的另一種形式.第四十頁，共64頁。分析：此是一個和式的極限，顯然第一項及第二項函數(shù)中分子、分母的極限均存在且分式函數(shù)中分母的極限不等于零，因此可以直接利用極限的運算法則求解。極限綜合練習(xí)題(一)

第四十一頁，共64頁。第四十二頁，共64頁。例3求下列極限：第四十三頁，共64頁。解：當(dāng)x從0的左側(cè)趨于0時，當(dāng)x從0的右側(cè)趨于0時,第四十四頁，共64頁。例5求下列極限分析：本例中均是求分式的極限問題，且在各自的極限過程中，分子、分母的極限均為零，不能直接用極限商的運算法則。求解此類極限的關(guān)鍵是找出分子、分母中共同的致零因式，把它們約去后再求解。尋找致零因式常用的方法為：①若是有理分式的極限，則需把分子分母、分別分解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；②若是無理分式的極限，則需要把分子、分母有理化。第四十五頁，共64頁。解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求極限。第四十六頁，共64頁。求解。又當(dāng)x→0時，ax→0，bx→0，于是有第四十七頁，共64頁。分析：當(dāng)x→0時，分子，分母的極限均為0，且分子是一個無理函數(shù)，分母是正弦函數(shù)，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以，然后看是否可利用第1個重要極限。第四十八頁，共64頁。第四十九頁，共64頁。解法2：第五十頁，共64頁。分析：當(dāng)x→0時，分式中分子分母的極限均為0，不能直接使用極限的運算法則，但前面所介紹“分解因式”、“有理化”的方法在此又不適用。能否利用第1個重要極限呢？這就需要首先利用三角恒等式對函數(shù)進行適當(dāng)?shù)淖冃巍５谖迨豁?，?4頁。解：因當(dāng)x→∞時，sinx的極限不存在，故不能用極限的運算法則求解，考慮到第五十二頁，共64頁。第五十三頁，共64頁。解1.求極限:極限綜合練習(xí)題(二)

第五十四頁，共64頁。解:利用第一重要極限和函數(shù)的連續(xù)性計算，即2.求下列極限：第五十五頁，共64頁。解:對分子進行有理化，然后消去零因子，再利用四則運算法則和第一重要極限計算，即3.求下列極限：第五十六頁，共64頁。分析：此極限屬于時有理分式的極限問題，且m=n，可直接利用上述結(jié)論得出結(jié)果，也可用分子、分母同除以x15來計算。解：分子分母同除以x15，有第五十七頁，共64頁。=22+1=5解5.求第五十八頁，共64頁。解6.求極限第五十九頁，共64頁。解：容易算出分式分子的最高次項是，分式分母的最高次項是，所以7.求極限第六十頁，共64頁。8.求極限第六十一頁，共64頁。9.設(shè)函數(shù)問：（1）當(dāng)a為何值時，f(x)在x=0右連續(xù)；（2）a,b為何值時，f(x)在x=0處有極限存在；（3）當(dāng)a,b為何值時，f(x)在x=0處連續(xù)。處右連續(xù)。在時，。故當(dāng)，從而，，又右連續(xù)，須有在要使解：0)(11sin0lim)0()0