材料力學(xué)Ⅰ電子教案三

第九章壓桿穩(wěn)定§9-1

壓桿穩(wěn)定性的概念§9-2

細(xì)長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式§9-3

不同桿端約束下細(xì)長壓桿臨界力的歐拉公式·壓桿的長度因數(shù)§9-4

歐拉公式的應(yīng)用范圍·臨界應(yīng)力總圖§9-5

實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)§9-6

壓桿的穩(wěn)定計(jì)算·壓桿的合理截面1§9-1壓桿穩(wěn)定性的概念實(shí)際的受壓桿件實(shí)際的受壓桿件由于:其軸線并非理想的直線而存在初彎曲，2.作用于桿上的軸向壓力有“偶然”偏心，3.材料性質(zhì)并非絕對(duì)均勻，因此在軸向壓力作用下會(huì)發(fā)生彎曲變形，且由此引起的側(cè)向位移隨軸向壓力的增大而更快地增大。第九章壓桿穩(wěn)定2對(duì)于細(xì)長的壓桿(大柔度壓桿)，最終會(huì)因?yàn)閺椥缘膫?cè)向位移過大而喪失承載能力；對(duì)于中等細(xì)長的壓桿(中等柔度壓桿)則當(dāng)側(cè)向位移增大到一定程度時(shí)會(huì)在彎－壓組合變形下發(fā)生強(qiáng)度破壞(壓潰)。對(duì)于實(shí)際細(xì)長壓桿的上述力學(xué)行為，如果把初彎曲和材質(zhì)不均勻的影響都?xì)w入偶然偏心的影響，則可利用大柔度彈性直桿受偏心壓力作用這一力學(xué)模型來研究。第九章壓桿穩(wěn)定3圖a為下端固定，上端自由的實(shí)際壓桿的力學(xué)模型；為列出用來尋求F－d關(guān)系所需撓曲線近似微分方程而計(jì)算橫截面上的彎矩時(shí),需把側(cè)向位移考慮在內(nèi)，即

M(x)=F(e+d-w)，這樣得到的撓曲線近似微分方程EIzw"=F(e+d-w)和積分后得到的撓曲線方程便反映了大柔度桿偏心受壓時(shí)側(cè)向位移的影響。第九章壓桿穩(wěn)定(a)4按照這一思路求得的細(xì)長壓桿在不同偏心距e時(shí)偏心壓力F與最大側(cè)向位移d的關(guān)系曲線如圖b所示。第九章壓桿穩(wěn)定(b)由圖可見雖然偶然偏心的程度不同(e3>e2>e1)，但該細(xì)長壓桿喪失承載能力時(shí)偏心壓力Fcr卻相同。其它桿端約束情況下細(xì)長壓桿的F－d關(guān)系曲線其特點(diǎn)與圖b相同。5抽象的細(xì)長中心受壓直桿由圖b可知，當(dāng)偶然偏心的偏心距e→0時(shí)，細(xì)長壓桿的F-d關(guān)系曲線就逼近折線OAB，而如果把細(xì)長壓桿抽象為無初彎曲，軸向壓力無偏心，材料絕對(duì)均勻的理想中心壓桿，則它的F-d關(guān)系曲線將是折線OAB。第九章壓桿穩(wěn)定6由此引出了關(guān)于壓桿失穩(wěn)(buckling)這一抽象的概念：當(dāng)細(xì)長中心壓桿上的軸向壓力F小于Fcr時(shí)，桿的直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定的；當(dāng)F＝Fcr時(shí)桿既可在直線狀態(tài)下保持平衡(d＝0)，也可以在微彎狀態(tài)下保持平衡，也就是說F＝Fcr時(shí)理想中心壓桿的直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的，壓桿在軸向壓力Fcr作用下會(huì)喪失原有的直線平衡狀態(tài)，即發(fā)生失穩(wěn)。Fcr則是壓桿直線狀態(tài)的平衡由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的臨界力(criticalforce)。第九章壓桿穩(wěn)定7從另一個(gè)角度來看，此處中心受壓桿的臨界力又可理解為：桿能保持微彎狀態(tài)時(shí)的軸向壓力。顯然，理想中心壓桿是有偶然偏心等因素的實(shí)際壓桿的一種抽象。第九章壓桿穩(wěn)定8細(xì)長中心受壓直桿失穩(wěn)現(xiàn)象第九章壓桿穩(wěn)定9壓桿的截面形式及支端約束壓桿的臨界力既然與彎曲變形有關(guān)，因此壓桿橫截面的彎曲剛度應(yīng)盡可能大；圖a為鋼桁架橋上弦桿(壓桿)的橫截面，圖b為廠房建筑中鋼柱的橫截面。在可能條件下還要盡量改善壓桿的桿端約束條件，例如限制甚至阻止桿端轉(zhuǎn)動(dòng)。第九章壓桿穩(wěn)定10§9-2細(xì)長中心受受壓直桿臨臨界力的歐歐拉公式本節(jié)以兩端球形鉸鉸支(簡稱兩端鉸鉸支)的細(xì)長中心心受壓桿件件(圖a)為例，按照照對(duì)于理想想中心壓桿桿來說臨界力就是是桿能保持持微彎狀態(tài)態(tài)時(shí)的軸向向壓力這一概念，，來導(dǎo)出求求臨界力的的歐拉(L.Euler)公式。第九章壓壓桿穩(wěn)定(a)11在圖a所示微彎狀狀態(tài)下，兩兩端鉸支壓壓桿任意x截面的撓度度(側(cè)向位移)為w，該截面上的彎彎矩為M(x)=Fcrw（圖b）。桿的撓曲曲線近似微微分方程為為第九章壓壓桿穩(wěn)定(b)(a)上式中負(fù)號(hào)是由于在圖示坐標(biāo)中，對(duì)應(yīng)于正值的撓度w，撓曲線切線斜率的變化率為負(fù)的緣故。12令k2=Fcr/EI，將撓曲線近近似微分方方程(a)改寫成該二階常系數(shù)數(shù)線性微分分方程(b)的通解為(b)(c)第九章壓壓桿穩(wěn)定此式中有未知量A和B以及隱含有有Fcr的k，但現(xiàn)在能夠夠利用的邊邊界條件只只有兩個(gè)，，即x=0，w=0和x=l，w=0，顯然這不可可能求出全全部三個(gè)未未知量。這這種不確定定性是由F=Fcr時(shí)桿可在任意微微彎狀態(tài)下下(d可為任意微微小值)保持平衡這這個(gè)抽象概概念所決定定的。事實(shí)實(shí)上，對(duì)于于所研究的的問題來說說只要能從從(c)式求出與臨界界力相關(guān)的的未知常數(shù)數(shù)k就可以了。。13將邊界條件件x=0，w=0代入式(c)得B=0。于是根據(jù)(c)式并利用邊界條條件x=l，w=0得到第九章壓壓桿穩(wěn)定(c)(a)注意到已有有B=0，故上式中的的A不可能等于于零，否則則(c)式將成為w≡0而壓桿不能能保持微彎彎狀態(tài)，也也就是桿并并未達(dá)到臨臨界狀態(tài)。。由此可知知，欲使(c)成立，則必必須sinkl=014滿足此條件件的kl為或即由于意味著臨界力Fcr＝0，也就是桿根本未受軸向壓力，所以這不是真實(shí)情況。在kl≠0的解中，最小解kl＝p相應(yīng)于最小的臨界力，這是工程上最關(guān)心的臨界力。第九章壓壓桿穩(wěn)定由kl＝p有亦即15從而得到求求兩端鉸支支細(xì)長中心心壓桿臨界界力的歐拉拉公式：此時(shí)桿的撓撓曲線方程程可如下導(dǎo)導(dǎo)出。前已已求得B=0，且取kl＝p，以此代入式式(c)得第九章壓壓桿穩(wěn)定注意到當(dāng)x=l/2時(shí)w=d，故有A=d。從而知，對(duì)對(duì)應(yīng)于kl＝p，亦即對(duì)應(yīng)于于Fcr=p2EI/l2，撓曲線方程程為可見此時(shí)的的撓曲線為為半波正弦弦曲線。16需要指出的的是，盡管管上面得到到了A=d，但因?yàn)闂U在在任意微彎彎狀態(tài)下保保持平衡時(shí)時(shí)d為不確定的的值，故不不能說未知知量A已確定。事實(shí)上，在在推導(dǎo)任何何桿端約束束情況的細(xì)細(xì)長中心壓壓桿歐拉臨臨界力時(shí)，，撓曲線近近似微分方方程的通解解中，凡與與桿的彎曲曲程度相關(guān)關(guān)的未知量量總是不確確定的。第九章壓壓桿穩(wěn)穩(wěn)定(a)17思考：在上述推推導(dǎo)中若若取kl＝2p，試問相應(yīng)應(yīng)的臨界界力是取取kl＝p時(shí)的多少倍？？該臨界界力所對(duì)對(duì)應(yīng)的撓撓曲線方方程和撓撓曲線形形狀又是是怎樣的的？第九章壓壓桿穩(wěn)穩(wěn)定18§9-3不同桿端端約束下下細(xì)長壓壓桿臨界界力的歐歐拉公公式·壓桿的長長度因數(shù)數(shù)現(xiàn)在通過過二個(gè)例例題來推推導(dǎo)另一一些桿端端約束條條件下求求細(xì)長中中心壓桿桿臨界力力的歐拉拉公式。。第九章壓壓桿穩(wěn)穩(wěn)定19例題9-1試推導(dǎo)下下端固定定、上端端自由的的等直細(xì)細(xì)長中心心壓桿臨臨界力的的歐拉公公式，并并求壓桿桿相應(yīng)的的撓曲線線方程。。圖中xy平面為桿桿的彎曲曲剛度最最小的平平面，亦亦即桿最最容易發(fā)發(fā)生彎曲曲的平面面。第九章壓壓桿穩(wěn)穩(wěn)定20解：根據(jù)該壓壓桿失穩(wěn)穩(wěn)后符合合桿端約約束條件件的撓曲曲線的大大致形狀狀可知，，任意x橫截面上上的彎矩矩為桿的撓曲線近近似微分分方程則則為這里，等號(hào)右邊取正號(hào)是因?yàn)閷?duì)應(yīng)于正值的(d-w)，亦為正。將上式改寫為第九章壓壓桿穩(wěn)穩(wěn)定21并令有有此微分方程程的通解解為從而亦有有根據(jù)邊界界條件x=0，w=0得Ak=0；注意到不不會(huì)會(huì)等于零零，故知知A＝0，從而有w＝Bcoskx+d。再利用邊界界條件x=0，w=0得B=-d。于是此壓壓桿的撓撓曲線方方程成為為第九章壓壓桿穩(wěn)穩(wěn)定22至此仍未未得到可可以確定定隱含F(xiàn)cr的未知量量k的條件。。為此，，利用x=l時(shí)w=d這一關(guān)系系，從而而得出從式(a)可知d不可能等等于零，，否則w將恒等于零，，故上式式中只能能coskl=0。滿足此條條件的kl的最小值值為kl=p/2，亦即從而得到到求此壓壓桿臨界界力的歐歐拉公式式：(b)亦即第九章壓壓桿穩(wěn)穩(wěn)定23以kl=p/2亦即k=p/(2l)代入式(a)便得到此此壓桿對(duì)對(duì)應(yīng)于式式(b)所示臨界界力的撓撓曲線方方程：第九章壓壓桿穩(wěn)穩(wěn)定24例題9-2試推導(dǎo)下下端固定定、上端端鉸支的的等直細(xì)細(xì)長中心心壓桿臨臨界力的的歐拉公公式，并并求該壓壓桿相應(yīng)應(yīng)的撓曲曲線方程程。圖(a)中的xy平面為桿桿的最小小彎曲剛剛度平面面。第九章壓壓桿穩(wěn)穩(wěn)定(a)25解：1.在推導(dǎo)臨臨界力公公式時(shí)需需要注意意，在符合桿桿端約束束條件的的微彎狀狀態(tài)下，，支座處處除軸向向約束力外還有無無橫向約束力和約束力偶矩。在推導(dǎo)臨臨界力公公式時(shí)這這是很重重要的一一步，如如果在這這一步中中發(fā)生錯(cuò)錯(cuò)誤，那那么得到到的結(jié)果果將必定定是錯(cuò)誤誤的。第九章壓壓桿穩(wěn)穩(wěn)定(b)圖b示出了該該壓桿可可能的微微彎狀態(tài)態(tài)，與此此相對(duì)應(yīng)應(yīng)，B處應(yīng)有逆時(shí)時(shí)針轉(zhuǎn)向向的約束力偶矩MB，并且根據(jù)整個(gè)個(gè)桿的平衡條條件ΣMB＝0可知，桿的上上端必有向右右的水平約束力Fy；從而亦知桿桿的下端有向向左的水平約束力Fy。262.桿的任意x截面上的彎矩矩為從而有撓曲線線近似微分方方程：上式等號(hào)右邊的負(fù)號(hào)是因?yàn)閷?duì)應(yīng)于正值的w，為負(fù)而加的。第九章壓桿桿穩(wěn)定(b)27令k2=Fcr/EI，將上式改寫為為亦即第九章壓桿桿穩(wěn)定此微分方程的通通解為從而亦有式中共有四個(gè)未未知量：A，B，k，F(xiàn)y。28對(duì)于此桿共有有三個(gè)邊界條條件。由邊界條件x=0，w=0得A=Fy/(kFcr)。又由邊界條件件x=0，w=0得B=-Fyl/Fcr。將以上A和B的表達(dá)式代入入式(a)有第九章壓桿桿穩(wěn)定(a)再利用邊界條件件x=l，w=0，由上式得29由于桿在微彎彎狀態(tài)下保持持平衡時(shí)，F(xiàn)y不可能等于零零，故由上式式得滿足此條件的最小非零解為kl=4.49，亦即，從而得到此壓桿求臨界力的歐拉公式：亦即第九章壓桿桿穩(wěn)定303.將kl=4.49，亦即k=4.49/l代入式(c)即得此壓桿對(duì)對(duì)應(yīng)于上列臨臨界力的撓曲曲線方程：利用此方程還還可以進(jìn)一步步求得該壓桿桿在上列臨界界力作用下?lián)蠐锨€上的拐拐點(diǎn)在x=0.3l處(圖b)。第九章壓桿桿穩(wěn)定(b)31壓桿的長度因因數(shù)和相當(dāng)長長度第九章壓桿桿穩(wěn)定32表9-1中列出了幾種種典型的理想想桿端約束條條件下，等截截面細(xì)長中心心受壓直桿的的歐拉公式。。從表中可見見，桿端約束越強(qiáng)強(qiáng)，壓桿的臨臨界力也就越越高。表中將求臨界界力的歐拉公公式寫成了同同一的形式：：式中，m稱為壓桿的長長度因數(shù)，它與桿端約約束情況有關(guān)關(guān)；ml稱為壓桿的相當(dāng)長長度(equivalentlength)，它表示某種桿桿端約束情況況下幾何長度度為l的壓桿，其臨臨界力相當(dāng)于于長度為ml的兩端鉸支壓壓桿的臨界力力。表9-1的圖中從幾何何意義上標(biāo)出出了各種桿端端約束情況下下的相當(dāng)長度度ml。第九章壓桿桿穩(wěn)定33運(yùn)用歐拉公式式計(jì)算臨界力力時(shí)需要注意意：當(dāng)桿端約束情情況在各個(gè)縱縱向平面內(nèi)相相同時(shí)(例如球形鉸)，歐拉公式中中的I應(yīng)是桿的橫截截面的最小形形心主慣性矩矩Imin。當(dāng)桿端約束在在各個(gè)縱向平平面內(nèi)不同時(shí)時(shí)，歐拉公式式中所取用的的I應(yīng)與失穩(wěn)(或可能失穩(wěn))時(shí)的彎曲平面面相對(duì)應(yīng)。例例如桿的兩端端均為如圖所所示柱形鉸的的情況下：xyz軸銷第九章壓桿桿穩(wěn)定34對(duì)應(yīng)于桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，，桿端約束接接近于兩端固固定，對(duì)應(yīng)于桿在xz平面內(nèi)的失穩(wěn)穩(wěn)，桿端約束束相當(dāng)于兩端端鉸支，而取用的臨界力力值應(yīng)是上列列兩種計(jì)算值值中的較小者者。第九章壓桿桿穩(wěn)定xyz軸銷35

思考：圖a，b所示細(xì)長中心壓桿均與基礎(chǔ)剛性連接，但圖a所示桿的基礎(chǔ)置于彈性地基上，圖b所示桿的基礎(chǔ)則置于剛性地基上。試問兩壓桿的臨界力是否均為？為什么？并由此判斷壓桿的長度因數(shù)m是否可能大于2。第九章壓桿桿穩(wěn)定36§9-4歐拉公式的應(yīng)應(yīng)用范圍·臨界應(yīng)力總圖圖Ⅰ.歐拉公式應(yīng)用用范圍在推導(dǎo)細(xì)長中中心壓桿臨界界力的歐拉公公式時(shí)，應(yīng)用用了材料在線線彈性范圍內(nèi)內(nèi)工作時(shí)的撓撓曲線近似微微分方程，可可見歐拉公式只可可應(yīng)用于壓桿桿橫截面上的的應(yīng)力不超過過材料的比例例極限sp的情況。按照抽象的概概念，細(xì)長中中心壓桿在臨臨界力Fcr作用時(shí)可在直直線狀態(tài)下維維持不穩(wěn)定的的平衡，故其其時(shí)橫截面上上的應(yīng)力可按按scr＝Fcr/A來計(jì)算，亦即即第九章壓桿桿穩(wěn)定37式中，scr稱為臨界應(yīng)力；為壓桿橫截面對(duì)于失穩(wěn)時(shí)繞以轉(zhuǎn)動(dòng)的形心主慣性軸的慣性半徑；ml/i為壓桿的相當(dāng)長度與其橫截面慣性半徑之比，稱為壓桿的長細(xì)比(slenderness)或柔度，記作l，即根據(jù)歐拉公式式只可應(yīng)用于于scr≤sp的條件，由式(a)知該應(yīng)用條件件就是亦即或?qū)懽鞯诰耪聣簵U桿穩(wěn)定38可見就是可以應(yīng)用歐拉公式的壓桿最小柔度。對(duì)于Q235鋼，按照

E＝206GPa，sp＝200MPa，有通常把l≥lp的壓桿，亦即即能夠應(yīng)用用歐拉公式式求臨界力力Fcr的壓桿，稱稱為大柔度壓桿桿或細(xì)長壓壓桿，而把l<lp的壓桿，亦即即不能應(yīng)用用歐拉公式式的壓桿，，稱為小柔度壓桿桿。第九章壓壓桿穩(wěn)定39圖中用實(shí)線線示出了歐歐拉公式應(yīng)應(yīng)用范圍內(nèi)內(nèi)(l≥lp)的scr-l曲線，它是是一條雙曲曲線，稱為為歐拉臨界力力曲線，簡簡稱歐拉曲曲線。需要指出的的是，由于于實(shí)際壓桿桿都有初彎彎曲，偶然然偏心和材材質(zhì)不勻，，所以從實(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來來分析，可可以應(yīng)用歐歐拉公式求求臨界力的的最小柔度度比這里算算得的lp要大一些。。第九章壓壓桿穩(wěn)定40*Ⅱ.研究小柔度度壓桿臨界界力的折減減彈性模量量理論工程中的絕絕大部分壓壓桿為小柔柔度壓桿，，不能應(yīng)用用歐拉公式式。研究小小柔度壓桿桿（l<lp）臨界應(yīng)力的的理論很多多，此處介介紹的折減減彈性模量量理論是其其中之一?！，F(xiàn)先以矩形截面小小柔度鋼壓壓桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)穩(wěn)為例來探探討。第九章壓壓桿穩(wěn)定41第九章壓壓桿穩(wěn)定(a)圖a所示為鋼在在壓縮時(shí)的的s－e曲線。當(dāng)加載過程程中應(yīng)力s超過比例極極限時(shí)，材材料在某一一應(yīng)力水平平下的彈性性模量可應(yīng)應(yīng)用切線模模量Es；而卸載時(shí)，，材料的彈彈性模量由由卸載規(guī)律律可知，它它與初始加加載時(shí)的彈彈性模量E相同。42(1)橫截面上應(yīng)應(yīng)力的變化化情況按抽象的概概念，小柔柔度中心壓壓桿與大柔柔度中心壓壓桿一樣，，當(dāng)F=Fcr時(shí)桿既可在直線線狀態(tài)下保保持平衡，，也可在微微彎狀態(tài)下下保持平衡衡。小柔度壓桿桿在直線狀狀態(tài)下保持持平衡時(shí)其其橫截面上上的應(yīng)力是是均勻的，，其值為scr=Fcr/A（圖b）。第九章壓壓桿穩(wěn)定(b)43當(dāng)壓桿在此此應(yīng)力水平平下發(fā)生微微彎時(shí)，中中性軸一側(cè)側(cè)(圖b中z軸右側(cè))橫截面上產(chǎn)產(chǎn)生附加拉拉應(yīng)力，使使原有的壓壓應(yīng)力scr減小，故屬屬于減載，，附加彎曲曲拉應(yīng)力為為st=Ey/r(x)；第九章壓壓桿穩(wěn)定(b)中性軸另一一側(cè)橫截面面上產(chǎn)生附附加應(yīng)力，，使原有的的壓應(yīng)力scr增大，故屬屬于加載，，附加彎曲曲壓應(yīng)力為為sc=Esy/r(x)。因?yàn)镋≠Es，故微彎時(shí)時(shí)中性軸不不通過橫截截面形心，，它離左邊邊緣的距離離為h1，離右邊緣的的距離為h2。44(2)中性軸的具具體位置根據(jù)壓桿由由于微彎產(chǎn)產(chǎn)生的正應(yīng)應(yīng)力在橫截截面上不應(yīng)應(yīng)組成合力力有即應(yīng)有亦即要求第九章壓壓桿穩(wěn)定(b)45這就要求注意到h1+h2=h，由上式可解解得第九章壓壓桿穩(wěn)定(b)46(3)橫截面上彎彎矩M(x)與曲率r(x)的關(guān)系根據(jù)有第九章壓壓桿穩(wěn)定(b)上式中，Iz,1=bh13/3和Iz,2=bh23/3都是z軸一側(cè)的矩矩形對(duì)z軸的慣性矩矩。47由上式可得得為了表達(dá)方方便，用I來表示bh3/12，于是有為將上式表達(dá)為一般彎曲問題中的形式，引入折減彈性模量Er：第九章壓壓桿穩(wěn)定(b)48于是有亦即或者說，撓撓曲線的近近似微分方方程為對(duì)于非矩形形截面的小小柔度壓桿桿，其折減減彈性模量量可類似于于上面所述述的方法求求得，而撓撓曲線方程程的形式仍仍如式(c)所示。第九章壓壓桿穩(wěn)定(c)49(4)小柔度壓桿桿的臨界力力和臨界應(yīng)應(yīng)力表達(dá)式式小柔度壓桿桿的撓曲線線近似微分分方程(c)與大柔度壓桿的的w"＝±M(x)/EI完全一致，可見見對(duì)不同桿端約約束下各種截面面形狀的小柔度度壓桿都有如下下公式：臨界力臨界應(yīng)力第九章壓桿穩(wěn)穩(wěn)定50Ⅲ.壓桿的臨界應(yīng)力力總圖臨界應(yīng)力總圖是是指同一材料制制作的壓桿，其其臨界應(yīng)力scr隨柔度l變化的關(guān)系曲線線。第九章壓桿穩(wěn)穩(wěn)定在l≥lp的部分，有歐拉拉公式scr＝p2E/l2表達(dá)scr－l關(guān)系；但在壓桿柔度l很小時(shí)，由于該該理論存在的不不足，計(jì)算所得得scr可能會(huì)大于材料料的屈服極限ss，故取scr＝ss。在l<lp的范圍內(nèi)可利用用折減彈性模量量理論公式scr＝p2Er/l2表達(dá)scr－l關(guān)系；51此外，該理論公式中有與與截面形狀相關(guān)關(guān)的折減彈性模模量Er，故l<lp范圍內(nèi)的scr－l曲線實(shí)際上還因因截面形狀而有有所不同。第九章壓桿穩(wěn)穩(wěn)定52§9-5實(shí)際壓桿的穩(wěn)定定因數(shù)為保證實(shí)際壓桿桿具有足夠的穩(wěn)穩(wěn)定性，在穩(wěn)定定計(jì)算中需納入入穩(wěn)定安全因數(shù)nst，取穩(wěn)定條件(stabilitycondition)為式中，[s]st=scr/nst為壓桿的穩(wěn)定許許用應(yīng)力。亦即第九章壓桿穩(wěn)穩(wěn)定由于scr與壓桿的柔度l有關(guān)，而且考慮慮到不同柔度的的壓桿其失穩(wěn)的的危險(xiǎn)性也有所所不同，故所選選用的穩(wěn)定安全全因數(shù)nst也隨l變化，因此[s]st是一個(gè)與壓桿柔柔度的關(guān)系比較較復(fù)雜的量。53為了應(yīng)用方便，，將穩(wěn)定許用應(yīng)應(yīng)力[s]st寫為材料的強(qiáng)度度許用應(yīng)力[s]乘以一個(gè)隨壓桿桿柔度l變化的穩(wěn)定因數(shù)數(shù)j=j(l)，即我國鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)計(jì)規(guī)范根據(jù)對(duì)常常用截面形式、、尺寸和加工工工藝的96根鋼壓桿，并考考慮初曲率和加加工產(chǎn)生的殘余余應(yīng)力所作數(shù)值值計(jì)算結(jié)果，在在選取適當(dāng)?shù)陌舶踩驍?shù)后，給給出了鋼壓桿穩(wěn)穩(wěn)定因數(shù)j與柔度l的一系列關(guān)系值值。該規(guī)范按鋼壓桿桿中殘余應(yīng)力對(duì)對(duì)臨界應(yīng)力的影影響從小到大分分為a，b，c三類截面。大多多數(shù)鋼壓桿可取取作b類截面壓桿。表表9-3為Q235鋼b類截面中心壓桿桿隨柔度l變化的穩(wěn)定因數(shù)數(shù)j。第九章壓桿穩(wěn)穩(wěn)定54表9-3Q235鋼b類截面中心受壓壓直桿的穩(wěn)定因因數(shù)j第九章壓桿穩(wěn)穩(wěn)定55思考：1.已知Q235鋼的[s]=170MPa，E=206GPa。表9-3中列出有l(wèi)＝120的b類截面中心壓桿桿的相應(yīng)值j＝0.437。試推算其所采用的的穩(wěn)定安全因數(shù)數(shù)nst的值。2.已知Q235鋼的ss＝240MPa，試推算取取用[s]=170MPa時(shí)的強(qiáng)強(qiáng)度安安全因因數(shù)n的值。。第九章章壓壓桿穩(wěn)穩(wěn)定56

例題9-3

圖a，b，c所示兩端球形鉸支的組合截面中心壓桿，由兩根110mm×70mm×7mm的角鋼用綴條和綴板聯(lián)成整體，材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力[s]=170MPa。試求該壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力。第九章章壓壓桿穩(wěn)穩(wěn)定57解：1.確定組組合截截面形形心和和形心心主慣慣性軸軸圖c所示組組合截截面的的形心心離角角鋼短短肢的的距離離顯然然就是是y0＝35.7mm，并落在在對(duì)稱稱軸y軸上。。根據(jù)據(jù)y軸為對(duì)對(duì)稱軸軸可知知，圖圖c中所示示通過過組合合截面面形心心的y軸和z軸就是是該組組合截截面的的形心心主慣慣性軸軸。2.計(jì)算組組合截截面的的形心心主慣慣性矩矩第九章章壓壓桿穩(wěn)穩(wěn)定58可見，，在組組合截截面對(duì)對(duì)于所所有形形心軸軸的慣慣性矩矩中，，Imax=Iz，Imin=Iy,按通常常的說說法就就是z軸為強(qiáng)強(qiáng)軸，，而y軸為弱弱軸。3.計(jì)算壓壓桿的的柔度度此壓桿桿兩端端為球球形鉸鉸支座座，在在各個(gè)個(gè)縱向向平面面內(nèi)對(duì)對(duì)桿端端的約約束相相同，，故失失穩(wěn)時(shí)時(shí)橫截截面將將繞弱弱軸y軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)。壓壓桿的的柔度度應(yīng)據(jù)據(jù)此計(jì)計(jì)算。。第九章章壓壓桿穩(wěn)穩(wěn)定594.計(jì)算壓壓桿的的穩(wěn)定定許用用應(yīng)力力按b類截面面中心心壓桿桿，由由表9－3查得l＝97時(shí)j＝0.575，從而得第九章壓壓桿穩(wěn)定60§9-6壓桿的穩(wěn)定定計(jì)算·壓桿的合理理截面根據(jù)上節(jié)中中所述，中中心壓桿的的穩(wěn)定條件件可以表達(dá)達(dá)為需要注意的的是，式中中A所表示的橫橫截面面積積，即使當(dāng)當(dāng)壓桿被釘釘孔等局部部削弱時(shí)也也還采用不考慮慮削弱的毛毛面積，因因?yàn)閴簵U的的穩(wěn)定性取取決于整體體的抗彎能能力，受局局部削弱的影響很很小。這與強(qiáng)度計(jì)計(jì)算中必須須以橫截面面被釘孔等等削弱后的的凈面積為為依據(jù)是有有所不同的的。第九章壓壓桿穩(wěn)定61在穩(wěn)定計(jì)算算中如需按按穩(wěn)定條件件選擇壓桿桿的橫截面面尺寸，那那么由于查查表確定穩(wěn)穩(wěn)定因數(shù)j時(shí)需要依據(jù)據(jù)與截面尺尺寸相關(guān)的的柔度l，所以要用試試算法。壓桿的臨界應(yīng)力隨柔度的減小而增大，因而當(dāng)桿端約束在各縱向平面內(nèi)相同時(shí)，壓桿的合理截面應(yīng)是：Ⅰ.對(duì)兩個(gè)形心主慣性軸的慣性半徑相等的截面，亦即兩個(gè)形心主慣性矩相等(

Imax=Imin)的截面；Ⅱ.在橫截面面積相同的條件下，對(duì)形心主慣性軸的慣性半徑盡可能大的截面，亦即形心主慣性矩盡可能大的截面。第九章壓壓桿穩(wěn)定62對(duì)于桿端約約束在壓桿桿各縱向平平面內(nèi)不同同的情況，，其橫截面以以使壓桿在在各縱向平平面內(nèi)的柔柔度l相同或接近近相同為合合理。圖示截面中中，對(duì)于桿桿端約束在在各縱向平平面內(nèi)相同同的壓桿來來說，正方形截面面較矩形截截面合理；；圓截面合合理，且空空心圓截面面較實(shí)心圓圓截面更合合理。圖e所示組合截截面其兩個(gè)個(gè)槽鋼的形形心間距離離h以能使Iy等于或稍大大于Iz者為合理。。第九章壓壓桿穩(wěn)定63例題9-4圖示為簡易易起重裝置置，其扒桿桿(圖中的斜桿桿)為平均直徑徑d=300mm的紅松，長長度l＝6m，順紋抗壓強(qiáng)強(qiáng)度許用應(yīng)應(yīng)力[s]＝10MPa。試求該扒桿桿所能承受受的許可壓壓力值。第九章壓壓桿穩(wěn)定64解：1.我國規(guī)范的的有關(guān)規(guī)定定我國木結(jié)構(gòu)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范范中對(duì)木制制壓桿，按按樹種的彎彎曲強(qiáng)度分分兩類給出出穩(wěn)定因數(shù)數(shù)j的計(jì)算公式式。紅松屬屬于樹種強(qiáng)強(qiáng)度TC13級(jí)(“13”表示彎曲強(qiáng)強(qiáng)度為13MPa)，該等級(jí)所屬屬分類的穩(wěn)穩(wěn)定因數(shù)計(jì)計(jì)算公式為為時(shí)時(shí)第九章壓壓桿穩(wěn)定652.扒桿的柔度度該扒桿在軸軸向壓力作作用下如果果在圖示平平面內(nèi)失穩(wěn)穩(wěn)，則由于于其上端受受水平鋼絲絲繩的約束束而基本上上不能產(chǎn)生生側(cè)向位移移而只能轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，其下下端由于銷銷釘?shù)募s束束也只能轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，故扒扒桿大致相相當(dāng)于兩端端鉸支壓桿桿，長度因因數(shù)可取為為m＝1。扒桿在垂直直于圖示平平面的方向向，其上端端通常沒有有任何約束束，而下端端由于受銷銷釘約束基基本上不能能轉(zhuǎn)動(dòng)而可可視為固定定端，故長長度因數(shù)可可取為m＝2。第九章壓壓桿穩(wěn)定66比較扒桿在在兩個(gè)相互互垂直平面面內(nèi)的長度度因數(shù)m，并注意到這是是圓截面桿桿可知，決決定該扒桿桿許可壓力力的是垂直直于圖示平平面內(nèi)的穩(wěn)穩(wěn)定性。從從而有第九章壓壓桿穩(wěn)定3.穩(wěn)定因數(shù)及及許可壓力力因l>91，故按下式計(jì)算穩(wěn)穩(wěn)定因數(shù)：：從而有許可可壓力：67例題9-5廠房的鋼柱柱由兩根槽槽鋼組成，，并由綴板板和綴條聯(lián)聯(lián)結(jié)成整體體，承受軸軸向壓力F=270kN。根據(jù)桿端約束束情況，該鋼鋼柱的長度因因數(shù)取為m＝1.3。鋼柱長7m，材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用用應(yīng)力[s]=170MPa。該柱屬于b類截面中心壓壓桿。由于桿桿端連接的需需要，其同一一橫截面上有有4個(gè)直徑為d0=30mm的釘孔。試為為該鋼柱選擇擇槽鋼號(hào)碼。。第九章壓桿桿穩(wěn)定68解：1.按穩(wěn)定條件選選擇槽鋼號(hào)碼碼為保證此槽鋼鋼組合截面壓壓桿在xz平面內(nèi)和xy平面內(nèi)具有同同樣的穩(wěn)定性性，應(yīng)根據(jù)ly=lz確定兩槽鋼的的合理間距h?，F(xiàn)先按壓桿在在xy平面內(nèi)的穩(wěn)定定條件通過試試算選擇槽鋼鋼號(hào)碼。假設(shè)j＝0.50，得到壓桿的的穩(wěn)定許用應(yīng)應(yīng)力為因而按穩(wěn)定條條件算得每根根槽鋼所需橫橫截面面積為為第九章壓桿桿穩(wěn)定69由型鋼表查得，，14a號(hào)槽鋼的橫截截面面積為A=18.51cm2＝18.51×10-4m2，而它對(duì)z軸的慣性半徑徑為iz=5.52cm=55.2mm。下面來檢查采采用兩根14a號(hào)槽鋼的組合合截面柱其穩(wěn)穩(wěn)定因數(shù)j是否不小于假假設(shè)的j＝0.5。第九章壓桿桿穩(wěn)定注意到此組合合截面對(duì)于z軸的慣性矩Iz和面積A都是單根槽鋼鋼的兩倍，故故組合截面的的iz值就等于單根根槽鋼的iz值。于是有該該組合截面壓壓桿的柔度：：70由表9-3查得，Q235鋼b類截面中心壓壓桿相應(yīng)的穩(wěn)穩(wěn)定因數(shù)為j＝0.262。顯然，前面假假設(shè)的j＝0.5這個(gè)值過大，，需重新假設(shè)設(shè)j值再來試算；；重新假設(shè)的的j值大致上取以以